大學(xué)物理教案上

1、第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1-1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述一、參照系 坐標(biāo)系 質(zhì)點(diǎn)1、參照系為描述物體運(yùn)動(dòng)而選擇的參考物體叫參照系。2、坐標(biāo)系為了定量地研究物體的運(yùn)動(dòng)，要選擇一個(gè)與參照系相對(duì)靜止的坐標(biāo)系。如圖1-1。說(shuō)明：參照系、坐標(biāo)系是任意選擇的，視處理問(wèn)題方便而定。3、質(zhì)點(diǎn)忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個(gè)具有質(zhì)量、占據(jù)空間位置的物體，這樣的物體稱為質(zhì)點(diǎn)。說(shuō)明： 質(zhì)點(diǎn)是一種理想模型，而不真實(shí)存在（物理中有很多理想模型） 質(zhì)點(diǎn)突出了物體兩個(gè)基本性質(zhì) 1）具有質(zhì)量 2）占有位置 物體能否視為質(zhì)點(diǎn)是有條件的、相對(duì)的。二、位置矢量 運(yùn)動(dòng)方程 軌跡方程 位移1、位置矢量定義：由坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量稱為位置矢

2、量（簡(jiǎn)稱位矢或徑矢）。如圖12，取的是直角坐標(biāo)系，為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量 （1-1）位矢大?。?（1-2）方向可由方向余弦確定：，2、運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，稱為運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程 矢量式： （1-3） 標(biāo)量式：， （1-4）3、軌跡方程從式（1-4）中消掉，得出、之間的關(guān)系式。如平面上運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程為，得軌跡方程為（拋物線）4、位移以平面運(yùn)動(dòng)為例，取直角坐標(biāo)系，如圖13。設(shè)、時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位矢分別為、，則時(shí)間間隔內(nèi)位矢變化為 （1-5）稱為該時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移。 （1-6）大小為討論： 比較與：二者均為矢量；前者是過(guò)程量，后者為瞬時(shí)量 比較與（AB路程）二者均為過(guò)程量；前者是矢量，

3、后者是標(biāo)量。一般情況下。當(dāng)時(shí)，。 什么運(yùn)動(dòng)情況下，均有？三、速度為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向，從而引進(jìn)速度概念。1、平均速度如圖1-3， 定義： （1-7）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。 (1-8）方向：同方向。說(shuō)明：與時(shí)間間隔相對(duì)應(yīng)。2、瞬時(shí)速度粗略地描述了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速度。定義：稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度。 （1-9）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 （1-10）式中 ， 。 、分別為在、軸方向的速度分量。的大?。旱姆较颍核谖恢玫那芯€向前方向。與x正向軸夾角滿足。3、平均速率與瞬時(shí)速率定義：（參見(jiàn)圖1-3）稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段內(nèi)得平均速率。

4、為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速率。定義：稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率，簡(jiǎn)稱速率。當(dāng)時(shí)（參見(jiàn)圖1-3），有 可知： 即 （1-11）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)速率等于其速度大小或等于路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明： 比較與：二者均為過(guò)程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。 比較與：二者均為瞬時(shí)量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。四、加速度為了描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢，從而引進(jìn)加速度的概念。1、平均加速度定義：（見(jiàn)圖1-4）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度。2、瞬時(shí)加速度為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)加速度。定義：稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度。 （1-12）結(jié)論：加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。式中：

5、，。、分別稱為在x、y軸上的分量。的大?。?的方向： 與x軸正向夾角滿足說(shuō)明：沿的極限方向，一般情況下與方向不同（如不計(jì)空氣阻力的斜上拋運(yùn)動(dòng)）。 瞬時(shí)量：，綜上： 過(guò)程量：，矢量：，標(biāo)量：，五、直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，如圖1-51、位移：沿+x軸方向；：沿-x軸方向。2、速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。3、加速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。由上可見(jiàn)，一維運(yùn)動(dòng)情況下，由、的正負(fù)就能判斷位移、速度和加速度的方向，故一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)量式代替矢量式。六、運(yùn)動(dòng)的二類(lèi)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程、等例1-1：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（SI），求： t=1s和t=2s時(shí)位矢； t=1s到t=2s內(nèi)位移； t=1s到t=

6、2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度； t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度； t=1s到t=2s內(nèi)的平均加速度； t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度。解： m m m m/s m/sm/s m/s2 m/s2例1-2：一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，已知加速度為(SI)，初始條件為：時(shí)，m。求：運(yùn)動(dòng)方程。解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，由加速度定義有（一維可用標(biāo)量式）由初始條件有：得： 由速度定義得：由初始條件得：即m由上可見(jiàn)，例1-1和例1-2分別屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第一類(lèi)和第二類(lèi)問(wèn)題。1-2圓周運(yùn)動(dòng)一、自然坐標(biāo)系圖2-1中，BAC為質(zhì)點(diǎn)軌跡，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P位于A點(diǎn)，、分別為A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以A為原點(diǎn)，切向和法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此構(gòu)成的

7、參照系為自然坐標(biāo)系（可推廣到三維）二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如圖1-7，質(zhì)點(diǎn)做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速度 （2-1）式（2-1）中，為速率。加速度為 （2-2）式（2-2）中，第一項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化引起的，方向與共線，稱該項(xiàng)為切向加速度，記為 （2-3）式（2-3）中， （2-4）為加速度的切向分量。結(jié)論：切向加速度分量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 。 2、法向加速度式（2-2）中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變引起的。如圖1-8，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有因?yàn)?，所以、夾角為。 （見(jiàn)圖1-9）當(dāng)時(shí)，有。因?yàn)?，所以由A點(diǎn)指向圓心O，可有式（2-2）中第二項(xiàng)為：該項(xiàng)為矢量，

8、其方向沿半徑指向圓心，稱為法向加速度，記為 （2-5）大小為 （2-6）式（2-6）中，是加速度的法向分量。結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑 。3、總加速度 （2-7）大?。?（2-8）方向：與夾角（見(jiàn)圖1-10）滿足4、一般曲線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線運(yùn)動(dòng)，只要把曲率半徑看作變量即可。討論： 如圖1-10，總是指向曲線的凹側(cè)。 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)時(shí)，有限，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述1、角坐標(biāo)如圖1-11，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在A處，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在B處，是OA與x軸正向夾角，是OB與x軸正向夾角，稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，為時(shí)間間隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱為在時(shí)

9、間間隔內(nèi)的角位移。2、角速度平均角速度：定義： （2-9）稱為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運(yùn)動(dòng)。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)瞬時(shí)角速度。定義： （2-10） （2-11）結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角速度是矢量，的方向與角位移方向一致。3、角加速度為了描述角速度變化的快慢，引進(jìn)角加速度概念。（1）平均角加速度：設(shè)在內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)角速度增量為定義： （2-12）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均角加速度瞬時(shí)角加速度：定義： （2-13）稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱角加速度。 （2-14）結(jié)論：角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角加速度是矢量，方

10、向沿方向。4、線量與角量的關(guān)系把物理量、等稱為線量，等稱為角量。（1）、與關(guān)系如圖2-7，時(shí)，有 即 （2-15）（2）、與關(guān)系式（2-15）兩邊對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，有即 （2-16）（3）、與關(guān)系即 （2-17）1-3相對(duì)運(yùn)動(dòng)本節(jié)討論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用兩個(gè)參考系來(lái)描述，并得出兩個(gè)參考系中物理量（如：速度、加速度）之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。一、相對(duì)位矢設(shè)有參照系E、M，其上固連的坐標(biāo)系，如圖1-13，二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，M相對(duì)于E運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)E、M的位矢分別為、，相對(duì)位矢為： (2-18) 結(jié)論：P對(duì)E的位矢等于P對(duì)M的位矢與對(duì)E的位矢的矢量和。二、相對(duì)位移由（2-18）有 （2-19）結(jié)論：P對(duì)

11、E的位移等于P對(duì)M的位移與對(duì)E的位移的矢量和。三、相對(duì)速度將式（2-18）兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-20）結(jié)論：P對(duì)E的速度等于P對(duì)M的速度與M對(duì)E的速度的矢量和。四、相對(duì)加速度由式（2-20）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-21）結(jié)論：P對(duì)E的加速度等于P對(duì)M的加速度與M對(duì)E的加速度的矢量和。例1-3：質(zhì)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為，和，速度為，試說(shuō)明下式正確的有哪些？解：因?yàn)闃?biāo)量矢量，所以不對(duì)。又，而，故不對(duì)。而，因此正確。由于中為曲率半徑，而這里為位矢的大小，不一定是曲率半徑，所以不對(duì)。例1-4：在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪上，一個(gè)齒尖P沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程隨時(shí)間的變化

12、規(guī)律為，其中，都是正的常數(shù)，則時(shí)刻齒尖P的速度和加速度大小為多少？解：例1-5：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為（SI），求：（1）（2）解： m/sm/s2(注意此方法，給定運(yùn)動(dòng)方程，先求出、，之后求，這樣比用求簡(jiǎn)單)例1-6：拋射體運(yùn)動(dòng)，拋射角為，初速度為，不計(jì)空氣阻力，問(wèn)運(yùn)動(dòng)中變化否？、變否？任意位置、為多少？拋出點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)、各為多少？曲率半徑為多少？解：如圖所取坐標(biāo)，x軸水平，y軸豎直，為拋射點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)受重力恒力作用，有，故不變.，而改變，變。而不變，變，變。任意位置P處，質(zhì)點(diǎn)的、為拋射點(diǎn)處，有最高點(diǎn)：，落地點(diǎn)：與出射點(diǎn)對(duì)稱 例1-7：一質(zhì)點(diǎn)從靜止（）出發(fā)，沿半徑為m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度大小不

13、變，為m/s2,在時(shí)刻，其總加速度恰與半徑成45角，求解：依題意知，與夾角為45，有 由有得： s例1-8：某人騎自行車(chē)以速率向西行使，北風(fēng)以速率吹來(lái)（對(duì)地面），問(wèn)騎車(chē)者遇到風(fēng)速及風(fēng)向如何？解：地為靜系E，人為動(dòng)系M。風(fēng)為運(yùn)動(dòng)物體P絕對(duì)速度：，方向向南；牽連速度：，方向向西；求相對(duì)速度方向如何？ 有圖1-15。 45 方向：來(lái)自西北?；驏|偏南45。第二章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律2-1牛頓運(yùn)動(dòng)定律 力一、牛頓運(yùn)動(dòng)定律1、第一定律時(shí)， （2-1）說(shuō)明：反映物體的慣性，故叫做慣性定律。給出了力的概念，指出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。2、第二定律 （2-2）說(shuō)明： 為合力 為瞬時(shí)關(guān)系 矢量關(guān)系 只適應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)

14、解題時(shí)常寫(xiě)成（直角坐標(biāo)系） （2-3） （自然坐標(biāo)系） （2-4）3、第三定律 （2-5） 說(shuō)明： 、在同一直線上，但作用在不同物體上。 、同有同無(wú)互不抵消。二、幾種常見(jiàn)的力1、力力是指物體間的相互作用。2、力學(xué)中常見(jiàn)的力（1）萬(wàn)有引力 （2-6）即任何二質(zhì)點(diǎn)都要相互吸引，引力的大小和兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、的乘積成正比，和它們距離的平方成反比；引力的方向在它們連線方向上。說(shuō)明：通常所說(shuō)的重力就是地面附近物體受地球的引力。（2）彈性力彈簧被拉伸或壓縮時(shí)，其內(nèi)部就產(chǎn)生反抗力，并企圖恢復(fù)原來(lái)的形狀，這種力稱為彈簧的恢復(fù)力。（3）摩擦力 當(dāng)一物體在另一物體表面上滑動(dòng)或有滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，在接觸面上有一種阻礙它們

15、相對(duì)滑動(dòng)的力，這種力稱為摩擦力。3、兩種質(zhì)量由可證明： ，適選單位可有 。以后不區(qū)別二者，統(tǒng)稱為質(zhì)量。2-2力學(xué)單位制和量綱（自學(xué)）2-3慣性系 力學(xué)相對(duì)性原理一、慣性參照系在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，參照系可任選，在應(yīng)用牛頓定律時(shí)，參照系不能任選，因?yàn)榕ｎD運(yùn)動(dòng)定律不是對(duì)所有的參照系都適用。如圖2-1，假設(shè)火車(chē)車(chē)廂的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，顯然小球受合外力=0，當(dāng)火車(chē)以加速度向前開(kāi)時(shí)，車(chē)上人看見(jiàn)小球以加速度向后運(yùn)動(dòng)。而對(duì)地面上人來(lái)說(shuō)，小球的加速度為零。如果取地參系，小球的合外力等于零，故此時(shí)牛頓運(yùn)動(dòng)定律（第一、二定律）成立。如果取車(chē)廂為參照系，小球的加速度，而作用小球的合外力，故此時(shí)牛頓運(yùn)動(dòng)定律（

16、第一、第二定律）不成立。凡是牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參照系，稱為慣性系。牛頓定律不成立的參照系稱為非慣性系。說(shuō)明：（1）一個(gè)參照系是否為慣性系，要由觀察和實(shí)驗(yàn)來(lái)判斷。天文學(xué)方面的觀察證明，以太陽(yáng)中心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸的方向指向恒星的坐標(biāo)軸是慣性系。理論證明，凡是對(duì)慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系都是慣性系。（2）地球是否為慣性系？因?yàn)樗凶赞D(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球?qū)μ?yáng)這個(gè)慣性系不是作勻速直線運(yùn)動(dòng)的，嚴(yán)格講地球不是慣性系。但是，地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度都很小，故可以近似看成是慣性系。二、力學(xué)相對(duì)性原理在1-3中已講過(guò)，參照系E與M，設(shè)E是一慣性系，M相對(duì)E以做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即OM也是一慣性系，二參照系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行

17、，在E、M上牛頓第二定律均成立，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)P1質(zhì)量為m，相對(duì)E、M有 （2-7）設(shè)P相對(duì)E、M的速度分別為、，有 （2-8）上式兩邊對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-9）可見(jiàn)，P對(duì)E和M的加速度相同。綜上可知，對(duì)于不同的慣性系，牛頓第二定律有相同的形式（見(jiàn)（2-7），在一慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能確定該慣性系相對(duì)其它慣性系是否在運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)（2-9），這個(gè)原理稱為力學(xué)相對(duì)性原理或伽利略相對(duì)性原理。2-4牛頓定律應(yīng)用舉例例2-1: 如圖2-2，水平地面上有一質(zhì)量為M的物體，靜止于地面上。物體與地面間的靜摩擦系數(shù)為，若要拉動(dòng)物體，問(wèn)最小的拉力是多少？沿何方向？解：研究對(duì)象：M受力分析：M受四個(gè)力，重力，拉

18、力，地面的正壓力，地面對(duì)它的摩擦力，見(jiàn)圖2-3。牛頓第二定律：合力： 分量式：取直角坐標(biāo)系x分量： y分量： 物體啟動(dòng)時(shí)，有 物體剛啟動(dòng)時(shí)，摩擦力為最大靜摩擦力，即，由解出N，求得 為： 代中：有 可見(jiàn)：。時(shí)，要求分母最大。設(shè) 時(shí)，。代入中，得：方向與水平方向夾角為時(shí)，即為所求結(jié)果。強(qiáng)調(diào)：注意受力分析，力學(xué)方程的矢量式、標(biāo)量式（取坐標(biāo)）。例2-2：質(zhì)量為的物體被豎直上拋，初速度為，物體受到的空氣阻力數(shù)值為，為常數(shù)。求物體升高到最高點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間及上升的最大高度。解：研究對(duì)象：m受力分析：m受兩個(gè)力，重力及空氣阻力，如圖2-4。牛頓第二定律：合力：y分量：即 時(shí)，物體達(dá)到了最高點(diǎn)，可有為 時(shí)，例2

19、-3：如圖2-5，長(zhǎng)為的輕繩，一端系質(zhì)量為的小球，另一端系于原點(diǎn)o，開(kāi)始時(shí)小球處于最低位置，若小球獲得如圖所示的初速度，小球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，求:小球在任意位置的速率及繩的張力。解：研究對(duì)象：m受力分析：小球受兩個(gè)力，即重力，拉力，如圖2-6。牛頓定律：應(yīng)用自然坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，分量方程有，方向： 方向： 由有： 即 作如下積分： 有 得： 代中，得：例2-4：如圖2-6，一根輕繩穿過(guò)定滑輪，輕繩兩端各系一質(zhì)量為和的物體，且，設(shè)滑輪的質(zhì)量不計(jì)，滑輪與繩及軸間摩擦不計(jì)，定滑輪以加速度相對(duì)地面向上運(yùn)動(dòng)，試求兩物體相對(duì)定滑輪的加速度大小及繩中張力。解：研究對(duì)象：、受力分析：、各受兩個(gè)力，即重

20、力及繩拉力，如圖2-7。牛頓定律設(shè)對(duì)定滑輪及地加速度為、，對(duì)定滑輪及地加速度為、，：如圖所選坐標(biāo)，并注意，有解得： 例2-5：如圖2-8，質(zhì)量為的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一質(zhì)量為的木塊放在的斜面上，與間無(wú)摩擦。試求對(duì)地的加速度和對(duì)的加速度。解：研究對(duì)象：、受力分析：受三個(gè)力，重力，正壓力，地面支持力。受兩個(gè)力，重力，的支持力， 如圖2-9所。取坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)地加速度為，對(duì)的加速度為，對(duì)地的加速度為有 由牛頓得二定律有： ：x分量： y分量： ： 由、有：強(qiáng)調(diào)：相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式的應(yīng)用。第三章 動(dòng)量守恒和能量守恒定律3-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1、動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積稱為

21、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，記為。 （3-1）說(shuō)明：是矢量，方向與相同是瞬時(shí)量是相對(duì)量坐標(biāo)和動(dòng)量是描述物體狀態(tài)的參量2、沖量牛頓第二定律原始形式由此有積分： （3-2）定義：稱為在時(shí)間內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。記為 （3-3）說(shuō)明：是矢量是過(guò)程量是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)的分量式 （3-4）分量式（34）可寫(xiě)成 （3-5）、是在時(shí)間內(nèi)、平均值。3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理由上知 （3-6）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。說(shuō)明：與同方向分量式 （3-7）過(guò)程量可用狀態(tài)量表示，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化成立條件：慣性系動(dòng)量原理對(duì)碰撞問(wèn)題很有用二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點(diǎn)內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力外力：系統(tǒng)

22、外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用力設(shè)系統(tǒng)含個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速度分別為、，對(duì)于第個(gè)質(zhì)點(diǎn)受合內(nèi)力為，受合外力為，由牛頓第二定律有對(duì)上式求和，有因?yàn)閮?nèi)力是一對(duì)一對(duì)的作用力與反作用力組成，故， 有 （3-8）結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動(dòng)量的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。式（3-8）可表示如下 （3-9）即 （3-10）結(jié)論：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這也是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的又一表述。例3-1：質(zhì)量為的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時(shí)間，打擊前鐵錘速率為，則在打擊木樁的時(shí)間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？解：設(shè)豎直向下為正，由動(dòng)量定理知：強(qiáng)調(diào)：動(dòng)量定理中說(shuō)的是合外力沖量=動(dòng)量增量 例3-2

23、：一物體受合力為（SI），做直線運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)在第二個(gè)5秒內(nèi)和第一個(gè)5秒內(nèi)物體受沖量之比及動(dòng)量增量之比各為多少？解：設(shè)物體沿+x方向運(yùn)動(dòng)，NS（沿方向）NS（沿方向）例3-3：如圖3-1，一彈性球，質(zhì)量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回。設(shè)跳回時(shí)速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為。求碰撞過(guò)程中小球受到的沖量設(shè)碰撞時(shí)間為s，求碰撞過(guò)程中小球 受到的平均沖力解：如圖3-1所取坐標(biāo)，動(dòng)量定理為方法一用分量方程解NS方法二用矢量圖解如上圖3-1所示。,故為等邊三角形。m/s,沿方向NS，沿方向。N注意：此題按求困難（或求不出來(lái)）時(shí)，用公式求方便。3-2動(dòng)量守恒定律由式（3-8）知，當(dāng)系統(tǒng)受合

24、外力為零時(shí) (3-11)即系統(tǒng)動(dòng)量不隨時(shí)間變化,稱此為動(dòng)量守恒定律。說(shuō)明：動(dòng)量守恒條件：，慣性系。動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，而不是指?jìng)€(gè)別物體的動(dòng)量守恒。內(nèi)力能改變系統(tǒng)動(dòng)能而不能改變系統(tǒng)動(dòng)量。時(shí)，若在某一方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。動(dòng)量守恒是指（不隨時(shí)間變化），此時(shí)要求。動(dòng)量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。例3-4：如圖3-2，質(zhì)量為的水銀球，豎直地落到光滑的水平桌面上，分成質(zhì)量相等的三等份，沿桌面運(yùn)動(dòng)。其中兩等份的速度分別為、，大小都為0.30m/s。相互垂直地分開(kāi)，試求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究對(duì)象：小球受力情況：只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，

25、即在水平方向不受力，故水平方向動(dòng)量守恒。在水平面上如圖3-2取坐標(biāo)，有方法二用矢量法解 及 即 即有圖3-3。可得m/s得 強(qiáng)調(diào)：要理解動(dòng)量守恒條件例3-5：如圖3-4，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為長(zhǎng)為的小車(chē)，車(chē)上一端有一質(zhì)量為的人，起初、均靜止，若人從車(chē)一端走到另一端時(shí)，則人和車(chē)相對(duì)地面走過(guò)的距離為多少？解：研究對(duì)象：、為系統(tǒng)此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，在此方向動(dòng)量守恒。方法一 （對(duì)地）即 如圖所取坐標(biāo)，標(biāo)量式為即 積分（，在A處，在B處） 即 得 由圖3-4知：方法二 標(biāo)量式：即 積分： 可知： 由、得：例3-6：質(zhì)量為的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為的物體，此人用以與水平方向成角的速率向前跳去。

26、當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為的水平速率向后拋出，問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）解：如圖3-5，設(shè)P為拋出物體后人達(dá)到的最高點(diǎn)，、分別為拋球前后跳躍的距離。研究對(duì)象：人、物體組成的系統(tǒng)， 該系統(tǒng)在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。設(shè)在P點(diǎn)，人拋球前、后相對(duì)地的速度分別為、，在P點(diǎn)拋球后球相對(duì)地速度為，有標(biāo)量式： 即 得： 強(qiáng)調(diào)：，。因?yàn)槭桥c同時(shí)產(chǎn)生的，而人速度為時(shí)，還沒(méi)產(chǎn)生3-3碰撞一、碰撞碰撞特點(diǎn)：碰撞時(shí)物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相對(duì)比較可忽略。即碰撞系統(tǒng)合外力=0。故動(dòng)量守恒。機(jī)械能二、完全彈性碰撞1、對(duì)心情況（一維）如圖

27、3-6，以與為系統(tǒng)，碰撞中 （3-12） （3-14）（，沿+x方向；反之，沿-x方向）解得： （3-15）討論： （交換速度） 2、非對(duì)心情況設(shè)，且，可知，、系統(tǒng)動(dòng)量及動(dòng)能均守恒，即 （3-16） （3-17）可知，、是以為斜邊的直角三角形，如圖3-7。3-4動(dòng)能定理一、功定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不變。如圖3-8，功為 (3-18)即 (3-19)說(shuō)明：為標(biāo)量 功是過(guò)程量功是相對(duì)量功是力對(duì)空間的積累效應(yīng) 作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。2、變力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-9。為變力，在第個(gè)位移元中，看作恒力，

28、對(duì)物體做功為 質(zhì)點(diǎn)從過(guò)程中，對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為功的精確數(shù)值為 即： （3-20）討論：恒力功直線運(yùn)動(dòng)設(shè)，如圖3-10，質(zhì)點(diǎn)在中，功為合力功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受個(gè)力，合力功為二、功率定義：力在內(nèi)對(duì)物體做功為，下式稱為在時(shí)間間隔內(nèi)的平均功率。下式稱為瞬時(shí)功率，即 （3-21）三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1、動(dòng)能定義： （3-20）式（3-20）中，、分別為物體質(zhì)量和速率。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。說(shuō)明：為標(biāo)量； 為瞬時(shí)量；為相對(duì)量。2、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理設(shè)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-11，合力為，在a、b二點(diǎn)速度分別為、。在c點(diǎn)力為，位移為，由牛頓定律有：（切線上）即即 做如下積分：可寫(xiě)成： （3-21）結(jié)論：合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量

29、,稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。說(shuō)明：為過(guò)程量，為狀態(tài)量，過(guò)程量用狀態(tài)量之差來(lái)表示，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。動(dòng)能定理成立的條件是慣性系。功是能量變化的量度。例3-7：如圖3-12，籃球的位移為，與水平線成角，球質(zhì)量為，求重力的功。解：研究對(duì)象：球 重力為恒力強(qiáng)調(diào)：恒力功公式的使用.例3-8：如圖3-13，遠(yuǎn)離地面高處的物體質(zhì)量為，由靜止開(kāi)始向地心方向落到地面，試求：地球引力對(duì)做的功。解：c點(diǎn)：例3-9：力(SI)作用在的質(zhì)點(diǎn)上。物體沿x軸運(yùn)動(dòng)，時(shí)，。求前二秒內(nèi)對(duì)作的功。解：研究對(duì)象：直線問(wèn)題，沿+x軸方向方法一按作在此有： 做如下積分： 有 即 方法二用動(dòng)能定理作例3-10：質(zhì)量為的物體作直線運(yùn)動(dòng)，受力與坐標(biāo)

30、關(guān)系如圖3-14所示。若時(shí)，試求時(shí)，解：在到過(guò)程中，外力功為由動(dòng)能定理為：即 3-5 保守力與非保守力 勢(shì)能一、萬(wàn)有引力、重力、彈性力的功及其特點(diǎn)1、萬(wàn)有引力功及特點(diǎn)如圖3-15，設(shè)質(zhì)量為物體在質(zhì)量為的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，（不動(dòng)），從中，引力功=？ 在任一點(diǎn)c處， （變力） （3-22） 又 （3-23）特點(diǎn)：萬(wàn)有引力只與物體始末二位置有關(guān)，而與物體所經(jīng)路程無(wú)關(guān)。2、重力功及特點(diǎn)如圖3-16，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)acb路徑由，位移為，在地面附近重力可視為恒力，故功為 （3-24）特點(diǎn)：重力功只與物體始末二位置有關(guān)，而與其運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。3、彈性力功及特點(diǎn)如圖3-17，稱為彈簧振子，處于x處時(shí)，它受彈性力為從坐標(biāo)過(guò)程

31、中，彈性力做功為 （3-25）特點(diǎn)：彈性力功僅與物體始末位置有關(guān)而與過(guò)程無(wú)關(guān)。如：物體可以從處向左移，然后向右平移至處，也可以從處直接移到處。但是，無(wú)論怎樣從處移到處，彈性力做的功都是上述結(jié)果。二、保守力和非保守力 1、保守力與非保守力如果力對(duì)物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無(wú)關(guān)，則該力稱為保守力，否則稱為非保守力。數(shù)學(xué)表達(dá)依次為： （3-26）及 （3-27）由上可知，重力、彈性力、萬(wàn)有引力均為保守力，而摩擦力、汽車(chē)的牽引力等都是非保守力。三、勢(shì)能對(duì)任何保守力，則它的功都可以用相應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值來(lái)表示，即： （3-28）結(jié)論：保守力功=相應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值 。 *從理論上講，

32、即是無(wú)旋的，與有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可定義為與相應(yīng)的勢(shì)能。也就是說(shuō)，保守力場(chǎng)中才能引進(jìn)勢(shì)能的概念?？梢?jiàn)，引進(jìn)勢(shì)能概念是有條件的。注意：勢(shì)能是相對(duì)的，屬于系統(tǒng)的。 （3-29） （3-30） （3-31）說(shuō)明： （1）（2）（3）3-6 功能原理 機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理系統(tǒng)中有個(gè)物體，第個(gè)物體受合外力為，合內(nèi)力為，在某一過(guò)程中，合外力功為，合內(nèi)力功為，由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)有： （3-32）。對(duì)上式兩邊求和，有 （3-33） （3-34）結(jié)論：合外力功與合內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。稱此為系統(tǒng)的動(dòng)能定理。二、功能原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃

33、在系統(tǒng)中，則保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 有 （3-35）結(jié)論：合外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能（動(dòng)能+勢(shì)能）的增量。稱此為功能原理。說(shuō)明：功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動(dòng)能定理中含有保守內(nèi)力的功。功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)三、機(jī)械能守恒定律由功能原理知，當(dāng)時(shí)，有 （3-36）結(jié)論：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能=常量，這為機(jī)械能守恒定律。（注意守恒條件）例3-11：如圖3-18，在計(jì)算上拋物體最大高度時(shí)，有人列出了方程（不計(jì)空氣阻力）列出方程時(shí)此人用了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律中的那

34、一個(gè)？解：動(dòng)能定理為合力功=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量功能原理為外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能增量（取、地為系統(tǒng)）機(jī)械能守恒定律即 可見(jiàn)，此人用的是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。例3-12：如圖3-19，質(zhì)量為的物體，從四分之一圓槽A點(diǎn)靜止開(kāi)始下滑到B。在B處速率為，槽半徑為。求從AB過(guò)程中摩擦力做的功。解：方法一按功定義，在任一點(diǎn)c處，切線方向的牛頓第二定律方程為 方法二用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理受三個(gè)力，由有即 方法三用功能原理取、地為系統(tǒng)， 無(wú)非保守內(nèi)力 ，功為（不作功，及槽對(duì)地的力也不做功）由 有即注意：此題目機(jī)械能不守恒。例3-13：質(zhì)量為、的二質(zhì)點(diǎn)靠萬(wàn)有引力作用，起初相距，均靜止。它們運(yùn)動(dòng)到距離為時(shí)，它們速率各為多少？

35、解：以二質(zhì)點(diǎn)為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的動(dòng)量及能量均守恒，即 由、解得： 第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-1剛體運(yùn)動(dòng)一、剛體定義：物體內(nèi)任意二點(diǎn)距離不變的物體稱為剛體。說(shuō)明： 剛體是理想模型 剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的。二、剛體運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)：（1）平動(dòng)：剛體內(nèi)任一直線方位不變。 特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：、等都相同，故可用一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表剛體運(yùn)動(dòng)。 （2）轉(zhuǎn)動(dòng)：1）繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 2）繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)都繞一直線作圓周運(yùn)動(dòng)說(shuō)明：剛體的任何運(yùn)動(dòng)都可看作平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。（如：乒乓球飛行等）三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（本章僅討論此情況）定義：轉(zhuǎn)軸固定時(shí)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)： 剛體上各點(diǎn)的角位移相同（如：皮帶輪），各點(diǎn)的、相同。 剛體上

36、各點(diǎn)的、一般情況下不同。說(shuō)明： 是矢量，方向可由右手螺旋法則確定。見(jiàn)圖4-1。 4-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩1、外力在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2：定義：力矩： （4-1）力矩 ：大?。海?，稱為力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、構(gòu)成的平面即與軸平行。注意：是、間夾角。2、外力不在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-3： 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn) 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)的僅是。產(chǎn)生的力矩即的力矩，故上面的結(jié)果仍適用。說(shuō)明：平行軸或經(jīng)過(guò)軸時(shí) 。二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變，即，那么與的關(guān)系如何？這就是轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容。推導(dǎo)：如圖4-4，把剛體看成由許多質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點(diǎn)在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)?？紤]第個(gè)質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)

37、量：到軸的距離： 受力：外力：；內(nèi)力： （設(shè)、在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)）在切線方向上由牛頓定律有： （4-2）即 （4-3）（4-3）: （4-4）每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有一個(gè)這樣方程，所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程求和之后，有 （4-5）可證明。證明如下：如圖4-5，剛體內(nèi)力是各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力，他們是一對(duì)一對(duì)的作用力和反作用力。對(duì)、兩質(zhì)點(diǎn)，相互作用力的力矩之和=？設(shè)為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用力，為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用力。與共線力臂相等又 與等值反向與產(chǎn)生力矩等值反向，故與力矩合=0由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。令 （4-6）即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。說(shuō)明

38、：,與方向相同為瞬時(shí)關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)中與平動(dòng)中地位相同，是產(chǎn)生的原因，是產(chǎn)生的原因。*比較為合外力矩=各個(gè)外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。例4-1：如圖4-6，在不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個(gè)質(zhì)量為的小球，三角形邊長(zhǎng)為。求：系統(tǒng)對(duì)過(guò)質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；系統(tǒng)對(duì)過(guò)A點(diǎn)，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；若A處質(zhì)點(diǎn)也固定在B處，的結(jié)果如何？解： 討論：與質(zhì)量有關(guān)（見(jiàn)、結(jié)果）與軸的位置有關(guān)（比較、結(jié)果）與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較、結(jié)果）平行軸定理：對(duì)平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣

39、量+剛體質(zhì)量該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如例4-2：如圖4-7，質(zhì)量為長(zhǎng)為的勻質(zhì)桿，求：它對(duì)過(guò)質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？它對(duì)過(guò)一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？解：如圖4-7所取坐標(biāo)，如圖4-8所取坐標(biāo)，用平行軸定理解：說(shuō)明：一些特殊形狀的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)會(huì)計(jì)算并記住。如：勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤(pán)、圓環(huán)、球等。例4-3：如圖4-9，輕繩經(jīng)過(guò)水平光滑桌面上的定滑輪c連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為、，滑輪視為圓盤(pán)，其質(zhì)量為半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。解：受力分析：重力，桌面支持力，繩的拉力；：重力，繩的拉力；：重力

40、，軸作用力，繩作用力、取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，由牛頓定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：及，解得：討論：不計(jì)時(shí)，（即為質(zhì)點(diǎn)情況）例4-4：一質(zhì)量為的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間內(nèi)下降了一段距離，試求整個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（用，和表示）解：受力分析由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：及，4-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能如圖4-13，剛體繞過(guò)O處軸（垂直圖面）轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，在轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都具有動(dòng)能，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能=各個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。設(shè)各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，與軸距離為，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： （4-6）*比較

41、：二、力矩的功如圖4-14，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)作用在剛體P點(diǎn)力（可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個(gè)力），在作用下剛體有一角位移，力的作用點(diǎn)的位移為，則在該位移中作的功為： （4-7）即 ：力矩元功=力矩角位移（力矩與角位移點(diǎn)積）在力矩作用下，從過(guò)程中，力矩的功為 （4-8）說(shuō)明：常力矩功力矩功是力矩的空間積累效應(yīng)內(nèi)力矩功之和=0（與質(zhì)點(diǎn)情況不同）力矩的功功率： 比較：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理即 做如下積分 可得 （4-9）即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。例4-5：在例4-3中，若B從靜止開(kāi)始下落時(shí)，合外力矩對(duì)c做的功=？c的角速度=？解：由例3知，對(duì)c的合外

42、力矩為（常力矩） 例4-6：如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿相連，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)，細(xì)桿質(zhì)量為。桿可繞c軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。若當(dāng)時(shí)彈簧為原長(zhǎng)，那么細(xì)桿在的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？解：取、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機(jī)械能守恒。，。，代入得注意：機(jī)械能守恒定律條件及應(yīng)用。4-4 角動(dòng)量 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律一、 角動(dòng)量1、角動(dòng)量定義：，稱為剛體角動(dòng)量（或動(dòng)量矩）說(shuō)明：2、沖量矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律 （4-10） （4-11）做如下積分： 定義：為在內(nèi)對(duì)剛體的沖量矩 （4-12）說(shuō)明：（1）沖量矩是矢量 （2）沖量矩是力矩的時(shí)間積累效應(yīng)* 比較：二、角動(dòng)量定理由上知 （4-13）即：合外力矩對(duì)剛體的沖量矩等于剛體角動(dòng)量增量。稱此為角動(dòng)量（或動(dòng)量矩）定理。三、角動(dòng)量守恒定律已知 當(dāng)時(shí)， 有 （4-14）即：當(dāng)合外力矩時(shí)，則此情況下剛體