MATLAB偏微分方程求解課件

1、題目：用MATLAB求解偏微分方程 主講人： 班級： 時間：基礎(chǔ)知識預(yù)習 微分方程的求解包含 ：常微分方程的求解（上節(jié)課已經(jīng)講過）這里不再贅述。 ：偏微分方程的求解（本次教學內(nèi)容）偏微分方程概念 偏微分方程（Partial Differential Equation，簡稱PDE）指含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程。描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。常微分方程：在微分方程中，若自變量的個數(shù)只有一個的微分方程。偏微分方程：自變量的個數(shù)有兩個或兩個以上的微分方程。求解偏微分方程的方法 求解偏微分方程的數(shù)值方

2、法： 1. 有限元法（Finite Element Method, FEM）- hp-FEM 2. 有限體積法（Finite Volume Method, FVM） 3. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。 其它：廣義有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、擴展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、無網(wǎng)格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、離散迦遼金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite

3、Element Method, DGFEM）等。MATLAB解偏微分方程 MATLAB提供了兩種方法解決PDE 問題：pdepe()函數(shù)，它可以求解一般的PDEs，具有較大的通用性，但只支持命令行形式調(diào)用。 PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 問題，PDEtool 有較大的局限性，比如只能求解二階PDE 問題，并且不能解決偏微分方程組，但是它提供了GUI界面，從繁雜的編程中解脫出來了，同時還可以通過File-Save As直接生成M代碼 使用pdeval()直接計算某個點的函數(shù)值？一般偏微分方程組(PDEs)的MATLAB求解 直接求解一般偏微分方程(組)，它的調(diào)用格式為sol=pdepe(m

4、,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)(1) ) u,t,s(x,),()u,( cxuxuutxfxxxtuxutxmm，問題描述函數(shù)初值條件邊界條件輸出參數(shù)自變量參數(shù)【輸入?yún)?shù)】（1） pdefun：是PDE 的問題描述函數(shù)，它必須換成下面的標準形式 PDE 就可以編寫下面的入口函數(shù) c,f,s=pdefun(x,t,u,du) m,x,t就是對應(yīng)于(式1)中相關(guān)參數(shù)和自變量，du是u的一階導(dǎo)數(shù)，由給定的輸入變量即可表示出出c,f,s這三個函數(shù)(1) ) u,t,s(x,),()u,( cxuxuutxfxxxtuxutxmm，【輸入?yún)?shù)】（2） pdeic：是PDE 的初值條件

5、，必須化為下面的形式 我們使用下面的簡單的函數(shù)來描述為u0=pdeic(x)00),(uutx【輸入?yún)?shù)】（3） pdebc：是PDE的邊界條件描述函數(shù)，必須先化為下面的形式 于是邊值條件可以編寫下面函數(shù)描述為pa,qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下邊界，b 表示下邊界0 ) xu u,t,(x, f *u).t,q(x, u) t,p(x,【輸入?yún)?shù)】（4） m：就是對應(yīng)于(式1)中相關(guān)參數(shù) x,t：就是對應(yīng)于(式1)中自變量(1) ) u,t,s(x,),()u,( cxuxuutxfxxxtuxutxmm，【輸出參數(shù)】 sol：是一個三維數(shù)組，sol(:,:,

6、i)表示ui的解，換句話說uk對應(yīng)x(i)和t(j)時的解為sol(i,j,k)實例講解（題目） 例：初值條件邊界條件實例講解（解法） 【解】第一步根據(jù)（1）對照給出的偏微分方程，則原方程可以改寫為輸入?yún)?shù)（1）目標PDE函數(shù) % 目標PDE函數(shù) function c,f,s=pdefun (x,t,u,du) c=1;1; f=0.024*du(1);0.17*du(2); temp=u(1)-u(2); s=-1;1.*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp);輸入?yún)?shù)（2）初值條件 初值條件改寫為 % 初值條件函數(shù) function u0=pdeic(x) u0=

7、1;0;輸入?yún)?shù)（3）邊界條件 邊界條件改寫為 % 邊界條件函數(shù) function pa,qa,pb,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) %a表示左邊界，b表示右邊界 pa=0;ua(2);qa=1;0; pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;（4）主調(diào)函數(shù)clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);figure(numbertitle,off,name,PDE Demoby Matlabsky)%創(chuàng)建個窗口，窗口名字是name后邊的名字NumberTitle,off是關(guān)掉默認顯示名字。subp

8、lot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_1)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_2)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)PDEtool求解特殊PDE問題 MATLAB的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比較規(guī)范的求解各種常見的二階偏微分方程(特殊二階的PDE)典型偏微分方程的描述 （3）雙曲線型偏微分方程的一般形式

9、 （4）特征值型偏微分方程的一般形式，注 意它是（1）的變形，不能算獨立的一類 MATLAB 采用有限元的方法求解各種PDE MATLAB 為我們提供一個pdetool (在command window 中鍵輸pdetool打開)的交互界面，可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的參數(shù)由a、c、d和f確定，求解域由圖形確定，求解域確定好后，需要對求解域進行柵格化(這個是自動)。 偏微分方程邊界條件的描述 Dirichlet(狄利克萊)條件 Neumann(紐曼)條件 求解實例 【解】由給定的PDE，可以得出d=1,c=1,a=2,f=10step1:點擊工具欄的【PDE】

10、按鈕，如下輸入PDE的參數(shù)，注意選擇Hyperbolic step2:繪制求解域?qū)ψ鴺溯S的操作可以在【Options】主菜單中操作，包括設(shè)置網(wǎng)格、坐標系范圍等 (1)【Options】-Axis Limits設(shè)置如下 (2)點擊工具欄上的第三個按鈕【繪制橢圓】，任意繪制一個橢圓，雙擊橢圓，設(shè)置如下 重復(fù)上面的操作，參數(shù)如下 得到 (3)在set formula 中如下輸入，“+”表示求并集，“-”表示求差集，注意沒有直接求交接的操作符step3:邊界條件和初值條件 初值條件可以通過【Solve】-【Parameters】設(shè)置 邊值條件設(shè)置如下 (1)點擊工具欄的第6 個按鈕【區(qū)域邊界】，顯示如

11、下 (2)【Boundary】-【Remove All Subdomain Borders】移除所有子域的邊界，將得到所有子域合并成一個求解域 (3) 【Boundary】-【Secify Boundary Conditons】設(shè)置邊界如下，注意我們這里只有Dirichlet條件step4:生成使用有限元方法求解方程所需的柵格 點擊工具欄的第8/9 個按鈕，對求解域生成柵格，多次點擊可以在原來基礎(chǔ)上繼續(xù)細化柵格，直到自己覺得滿意 為止，當然可以通過【Mesh】主菜單進行精確控制 step5:求解方程點解工具欄的第10 個按鈕“=”【求解方程】 step6:求解結(jié)果繪圖 點擊第11 個按鈕【繪制圖形】，里面的選項很豐富，可以繪制等高線等好多，甚至播放動畫，具體大家可以自己慢慢摸索動畫播放設(shè)置： (1)【Solve】-【Parameters】設(shè)置合適的時間向量Time (2)【Plot】-【Parameters】選中