郭中珍2.5.3切線長定理

1、義務教育課程標準實驗教科書義務教育課程標準實驗教科書SHUXUE 九年級下九年級下湖南教育出版社湖南教育出版社證明一條直線是圓的切線的常見證明一條直線是圓的切線的常見的兩種方法；的兩種方法；l當直線和圓有一個公共點時，把圓心和這個公當直線和圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱簡稱“連半徑，證垂直連半徑，證垂直”l當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑。簡稱徑。簡稱“做垂直。證半徑做垂直。證

2、半徑”直線直線l就是所求作的切線就是所求作的切線,如圖如圖OAl過圓過圓O上一點上一點A畫圓畫圓O的切線的切線.過圓過圓O上一點上一點A的切線的切線l與半徑與半徑OA有什么關(guān)系有什么關(guān)系?據(jù)切線的性質(zhì)定理據(jù)切線的性質(zhì)定理, l OA,由此受到啟發(fā)由此受到啟發(fā),過點過點A作一條直線作一條直線l與與OA垂直垂直,據(jù)切線的判定定理據(jù)切線的判定定理,L 就是圓就是圓O的切線的切線.連結(jié)連結(jié)OA;過點過點A作直線作直線l與與OA垂直垂直.問題問題1 1、經(jīng)過平面上一個已知點，作已知、經(jīng)過平面上一個已知點，作已知圓的切線會有怎樣的情形？圓的切線會有怎樣的情形？OOOP PPA問題問題2 2、經(jīng)過圓外一點、

3、經(jīng)過圓外一點P P，如何作已知，如何作已知O O的的切線？切線？ 知識延伸知識延伸 已知：O及其外一點P 求作：過P點的O的切線 作法： 1.連結(jié)OP ，以O(shè)P為直徑作圓，交O于A、B兩點。 2.作直線PA或PB ，則PA、PB即是所作。 證明：連結(jié)OA、OB ， 因為OP為直徑 所以O(shè)AP=90度，OBP=90度 所以直線AP、BP為O的切線。 過圓外一點作圓的切線，這點過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的和切點之間的線段線段的長，叫做這點的長，叫做這點到圓的到圓的切線長。切線長。OPAB 若從若從O O外的一點引兩外的一點引兩條切線條切線PAPA，PBPB，切點分別切點分別是是A A、B

4、 B，連結(jié)連結(jié)OAOA、OBOB、OPOP，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與O O相切，點相切，點A A，B B是切點是切點 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB 知識延伸知識延伸 從從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。線

5、的夾角。OPAB切線長定理：切線長定理：PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點引圓的兩條切線，它們從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。分兩條切線的夾角。 切線長定理切線長定理幾何語言幾何語言: :反思反思：切線長定理為證明：切線長定理為證明線段相等線段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法OPAB例1已知已知，如圖，如圖，PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點為切點.直線直線 OP 交交 O 于點于點 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）寫出圖中所有

6、的垂直關(guān)系；）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑求半徑 OA 的長的長.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCA OCB ACP BCP.(3) 設(shè)設(shè) OA = x cm , 則則 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得解得 x = 3 cm 所以，半徑所以

7、，半徑 OA 的長為的長為 3 cm. 切線長定理的基本圖形的研究切線長定理的基本圖形的研究PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點，直線為切點，直線OP交于交于 O于點于點D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP, AOC BOC, ACP BCP（4）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC軸對稱圖形軸對稱圖形。PBAO反思：在解決有在解決有關(guān)圓的切線長的問關(guān)圓的切線長的問題時，往往需要我題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。們構(gòu)建基本圖形。（3）連結(jié)圓心和圓外一點）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切點）連結(jié)兩切點（1）分別連結(jié)圓心和切點）分別連結(jié)圓心和切點例例2、已知：如圖，已知：如圖，P為為 O外一點，外一點，PA，PB為為 O的切線，的切線，A和和B是切點，是切點，BC是直徑是直徑求證：求證