集合的變換和變換乘法

1、 2022-4-26第二章第二章 群論群論 5 變換群變換群 2022-4-26研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系的下面三個(gè)問題：存在問題；數(shù)量問題以及的下面三個(gè)問題：存在問題；數(shù)量問題以及結(jié)構(gòu)問題。關(guān)于數(shù)量問題，指的是彼此不同結(jié)構(gòu)問題。關(guān)于數(shù)量問題，指的是彼此不同構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量，因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)體系構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量，因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)體系抽象地看可以認(rèn)為是相同的代數(shù)體系。抽象地看可以認(rèn)為是相同的代數(shù)體系。 本講的本講的凱萊定理凱萊定理將告訴我們，如果將所有變將告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研換群都研究清楚了，也就等于把所有

2、群都研究清楚了，無論是否如此簡單，但至少從理究清楚了，無論是否如此簡單，但至少從理論上知道凱萊定理的重要性。論上知道凱萊定理的重要性。 2022-4-26一、一、集合的變換和變換乘法集合的變換和變換乘法M1 1 變換：設(shè)變換：設(shè)是一個(gè)非空集合，若是一個(gè)非空集合，若是是就稱就稱是是的一個(gè)變換的一個(gè)變換. .M.:MM 到到上的映射上的映射MMM)(MT)(MS2 2 變換集合：由變換集合：由的全體變換做成的集合的全體變換做成的集合，由，由的全體一一變換做成的全體一一變換做成. .記為記為M的集合記為的集合記為 2022-4-26)(MT)(MS4 4 變換乘法是變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算，也是的代數(shù)運(yùn)

3、算，也是的代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)運(yùn)算. .)(MT. 5 5 恒等變換恒等變換：， )(,21MTMa )()(2121aa2121,3 3 變換乘法：變換乘法：，規(guī)定，規(guī)定，稱，稱為為的乘法的乘法. . 2022-4-26M1:11,21 22 , 21:212 , 21:322 , 11:,)(321MT3(), S M 2 , 1M例例1 1 設(shè)設(shè)的全部變換如下的全部變換如下問：（問：（1 1）關(guān)于變換乘法是否做成群？關(guān)于變換乘法是否做成群？關(guān)于變換乘法是否做成群？關(guān)于變換乘法是否做成群？（2 2） 2022-4-2611111(1) (1)(1)(1)1(1)1 11(2) (2)(1)(2)

4、2(1)2 1)(MT解解：（：（1 1）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，事實(shí)上，事實(shí)上，就沒有逆元就沒有逆元. .因?yàn)槿绻驗(yàn)槿绻心嬖心嬖? .那么必有那么必有且且. .但是但是而而 導(dǎo)致矛盾，故導(dǎo)致矛盾，故沒有逆元沒有逆元. .不能成為群不能成為群. .有單位元有單位元. . 那么那么“逆元逆元”問題能解決嗎？問題能解決嗎？11:11,21 因此因此 2022-4-263 3)(MS1|MMaMxax,:M2 G（2 2）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，的逆元是的逆元是的逆元是自身的逆元是自身. . 因此因此例例2 2 設(shè)設(shè)，

5、并取定，并取定，則易知，則易知是是的一個(gè)非一一變換，的一個(gè)非一一變換，從而，從而關(guān)于變換乘法做成群關(guān)于變換乘法做成群. .有單位元有單位元成為群成為群. . .G 2022-4-26定義定義1MM設(shè)設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做成的一個(gè)的一個(gè)一一變換群一一變換群；的若干非一一變換關(guān)于變換的乘法做的若干非一一變換關(guān)于變換的乘法做的一個(gè)的一個(gè)非一一變換群非一一變換群. .是一個(gè)非空集合，則是一個(gè)非空集合，則的若干變換關(guān)于變換的乘法做成的群，的若干變換關(guān)于變換的乘法做成的群，M的一個(gè)的一個(gè)變換群變換群；由由稱為稱為由由M的群，稱為的群，稱為M由由M成的群，稱為成的群

6、，稱為M 2022-4-26定理定理M)(MS設(shè)設(shè)為非空集合，為非空集合，構(gòu)成構(gòu)成的一個(gè)變換群的一個(gè)變換群. .關(guān)于變換的乘法關(guān)于變換的乘法M證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿足，單位元證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿足，單位元為恒等變換，每個(gè)一一映射都有個(gè)與之對應(yīng)的為恒等變換，每個(gè)一一映射都有個(gè)與之對應(yīng)的互逆的一一映射互逆的一一映射. . 2022-4-26定義定義2 2M)(MSnM |nS稱集合稱集合上的一一變換群上的一一變換群為為上的對稱群；上的對稱群；時(shí)，其上的對稱群用時(shí)，其上的對稱群用表示，稱為表示，稱為n 次對稱群次對稱群. .M當(dāng)當(dāng)顯然：顯然：nS! nn次對稱群次對稱群是一個(gè)階為是一個(gè)

7、階為的有限群的有限群. . 2022-4-26例例,| ),(RyxyxMRa)0 ,(),(:axyxa|RaGaMZM Znnxxn :|ZnGnM例例3. 令令，則，則做成做成的一個(gè)的一個(gè)，規(guī)定，規(guī)定，則，則做成做成的一個(gè)的一個(gè)上的對稱群上的對稱群.非一一變換群非一一變換群.例例4. 令令M一一變換群，但不是一一變換群，但不是0, 1aa （單位元（單位元）, 1aa （單位元（單位元） 2022-4-26G證：證：設(shè)設(shè) 是任意一個(gè)群是任意一個(gè)群, ,Ga，規(guī)定，規(guī)定Gaxxa:的一個(gè)變換的一個(gè)變換, ,易知是一個(gè)易知是一個(gè)一個(gè)一一變換一個(gè)一一變換. .令令 GaGa|Gba,)()()()(xxabbxaxabba，則，則eG xaxa1)(11a，Gaa11)(G