2021屆高考猜題 理數(shù)（高考熱點押題） （含解析）

1、2021年撞上高考題目錄數(shù)學(xué)（理）撞題點一集合3撞題點二 常用邏輯用語4撞題點三 函數(shù)圖象的識別5撞題點四函數(shù)的基本性質(zhì)6撞題點五累指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)7撞題點六 導(dǎo)數(shù)的幾何意義8撞題點七函數(shù)零點（小題）9撞題點八函數(shù)零點（解答題）10撞題點九導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（參數(shù)取值范圍）12撞題點十 利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題13撞題點十一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式15撞題點十二 三角恒等變換16撞題點十三三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)17撞題點十四解三角形（小題型）19撞題點十五解三角形（大題型）20撞題點十六 向量線性運算及有關(guān)概念22撞題點十七 平面向量的數(shù)量積24撞題點十八 等差數(shù)列25撞題點十九 等比數(shù)列26撞題點二十 數(shù)

2、列的綜合應(yīng)用27撞題點二十一數(shù)列解答題28撞題點二十二 三視圖29撞題點二十三 與球相關(guān)的組合體問題30撞題點二十四空間角問題（小題型）32撞題點二十五立體幾何解答題（空間角與距離）34撞題點二十六立體幾何解答題（探索性問題）36撞題點二十七直線與圓的位置關(guān)系38撞題點二十八橢圓的基本性質(zhì)39撞題點二十九雙曲線的基本性質(zhì)40撞題點三十拋物線的基本性質(zhì)42撞題點三H圓錐曲線的軌跡問題43撞題點三十二圓錐曲線中的定點、定值問題44撞題點三十三圓錐曲線中的最值問題46撞題點三十四解析幾何中的探索性問題48撞題點三十五 古典概型與幾何概型49撞題點三十六條件概率與相互獨立事件的概率51撞題點三十七 統(tǒng)

3、計圖表問題53撞題點三十八 排列與組合54撞題點三十九 二項式定理55撞題點四十回歸分析56撞題點四十一正態(tài)分布59撞題點四十二 獨立性檢驗61撞題點四十三離散型隨機變量的分布列、期望問題63撞題點四十四 線性規(guī)劃65撞題點四十五基本不等式的應(yīng)用66撞題點四十六 推理與證明67撞題點四十七 程序框圖69撞題點四十八 復(fù)數(shù)70撞題點四十九 坐標系與參數(shù)方程71撞題點五十 不等式選講72撞題點一集合1. （2021 石家莊質(zhì)檢）若集合A , B, U滿足：A荷8 U ,則集合U =D. BQ”【答案】B【解析】因為集合A, B,。滿足：A荷8U ,如圖，所以集合U =故選B.考題猜測全視角【為什么

4、猜這道題】集合作為送分題，根據(jù)10年高考大數(shù)據(jù)分析，主要考查集合的交、并、補運算（尤其是抽象集合）， 綜合考查函數(shù)的定義域、值域及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解法等.【還可能怎么考】ACB；AU8；AnQ,B；集合元素個數(shù)；子集個數(shù)；根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍.比如：（2021 衡陽一模）已知集合M, N為R的子集，若"0為' =0, 7V = 1,2,3）,則滿足題意的集合M的個數(shù)為A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】因為MD6rN = 0, N = 1,2,3,所以M =因為集合N的子集個數(shù)為23 =8,所以滿足題意的M的個數(shù)為8.故選D.【方

5、法總結(jié)】（1）認清元素的屬性.解決集合問題時，認清集合中元素的屬性（是點集、數(shù)集或其他情形）和化簡 集合是正確求解的兩個先決條件.（2）注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能 會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯誤.(3)防范空集.在解決有關(guān)AflB=0, AU8等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮。的情 況，以防漏解.撞題點二常用邏輯用語2. (2021 海淀區(qū)一模)已知點A(%X),芯)，C(O,1),則“/:(:是等邊三角形”是“直線的斜率為0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由點

6、A(X,x；), B(x2,Xj),可得點A, 5在拋物線y = x?上，根據(jù)拋物線的對稱性，只有點A,3關(guān)于 ' 軸對稱時ABC才有可能是等邊三角形，此時宜線AB的斜率為0；反之直線的斜率為0時，雖然點A, 8關(guān)于丫軸對稱，但是AABC不一定是等邊三角形.綜上，可知“/$(7是等邊三角形”是“直線他的斜率為0”的充分不必要條件.故選A.考題猜測全視角【為什么猜這道題】根據(jù)10年大數(shù)據(jù)分析，本撞題點熱點：充分必要性；易錯點：否命題與命題的否定；難點：命題真假 的判斷.要注意區(qū)分否命題與命題的否定，否命題需同時否定命題的條件與結(jié)論，而命題的否定只需否 定命題的結(jié)論.【還可能怎么考】充分必

7、要性的判斷、四種命題的相互關(guān)系、對含有一個量詞的命題的否定.【方法總結(jié)】充分、必要條件的三種判斷方法：(1)定義法：直接判斷“若°則4”、"若g則P”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“p=g”為真，則p 是4的充分條件.(2)等價法：利用p=g與非非p,與非p=非g,q與非40非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法.(3)集合法：若AU8,則A是8的充分條件或B是A的必要條件；若A= 8,則A是8的充要條件.撞題點三函數(shù)圖象的識別3. (2021 江西模擬)音樂是用聲音來表達人的思想感情的一種藝術(shù).聲音的本質(zhì)是聲波，而聲波在空氣 中的振動可以用三角函數(shù)

8、來刻畫，在音樂中可以用正弦函數(shù)來表示單音，用正弦函數(shù)相疊加表示和弦， 某二和弦可表示為/(x) = sin2x + sin3x,則函數(shù)y = /(x)的圖象大致為【解析】根據(jù)題意，f(x) = sin2x + sin3x,定義域為R,則 f(-x) = sin(-2x) + sin(-3x) = -(sin2x + sin3x) = -/(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除選項 D,當0<x<5時，/(x)>0,函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方，由此可排除選項C,當0<x<3時，函數(shù)y = sin2x與函數(shù)y = sin3x都是增函數(shù)，函數(shù)圖象增加最快，排除選項B,

9、故選A.6考題猜測全視角【為什么猜這道題】函數(shù)圖象也是新課標高考的?？停话憬o出函數(shù)的表達式，研究函數(shù)圖象的形狀；也可能以實際背景給 出變量間的關(guān)系，研究函數(shù)圖象的形狀.【還可能怎么考】給定函數(shù)圖象判斷解析式，給定解析式判斷函數(shù)的圖象.比如：(2021 廣東月考)利用計算機繪制函數(shù)圖象時可以得到很多美麗的圖形，圖象形似如圖所示的函數(shù)稱為巾型函數(shù)，寫出一個定義域為-2,2且值域為0,2的膽型函數(shù)是.m【答案】/U) = 2|x|(2-|x|)(-2<x<2)(答案不唯一)【解析】根據(jù)題意，要求函數(shù)的定義域為-2,2且值域為0,2,其圖象關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)，可以考慮二次函數(shù)變換得到

10、，則/(x) = 2|x|(2-|x|)(-24x42),故答案為/(x) = 2|x|(2-|x|)(-24x42)(答案不唯一).【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的辨識可以從以下方面入手：(1)從函數(shù)定義域、值域判斷；(2)從函數(shù)的單調(diào)性判斷變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的對稱性：(4)從函數(shù)的周期性判斷；(5)從函數(shù)的特征點，排除不符合要求的圖象：(6)極限思想.撞題點四函數(shù)的基本性質(zhì)4. (2021 蚌埠三模)若把定義域為R的函數(shù)/(x)的圖象沿x軸左、右平移后，可以得到關(guān)于原點對稱的 圖象，也可以得到關(guān)于y軸對稱的圖象，則關(guān)于函數(shù)J。)的性質(zhì)敘述一定正確的是(1) f(-x) + f(x

11、) = OB. /(x-1) = /(1-%)C. f(x)是周期函數(shù)D. f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間【答案】C【解析】因為定義域為R的函數(shù)/(x)的圖象沿x軸左、右平移后，可以得到關(guān)于原點對稱的圖象，也可 以得到關(guān)于y軸對稱的圖象，所以“X)的圖象既有對稱中心又有對稱軸，但/(X)不一定具有奇偶性，例 如/(x) = sin(x + , 對于A：由f(r) + x) = O,則f(x)為奇函數(shù)，故A不符合題意；對于B：由=可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x = O對稱，故B不符合題意；對于D：當幻=0時，“X)不存在單調(diào)遞增區(qū)間，故D不符合題意；對于C：設(shè)圖象的一條對稱抽為直線x =。，一個對稱中心為3

12、,0),且則 f(2a + x) = f(-x), /(-x) = -f(2b + x),所以 /(2a + x) = -f(2b + x),所以 f(2a + x-2b) = -f(2b + x-2b) = -f(x),所以 f (x + 4<z 4/?) = f (2/? + x 2Z?) = f(x + 2a 2Z?) = f (x),所以/(x)的一個周期為丁 = 4(。-初，故C正確.故選C.考題猜測全視角【為什么猜這道題】函數(shù)的性質(zhì)包括：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、圖象變換等，本類題型屬于高考 中的高頻撞題點，經(jīng)常與抽象函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)結(jié)合到一起考查

13、，尤其是單調(diào)性與對稱性的雙 劍合璧題更是命題者青睞的撞題點.【還可能怎么考】(1)已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；(2)若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當xg(O,e)時，x) = 2x-x2,求/J)的解析式；(3)若方程f(x) = m有三個不同的根，求m的取值范圍；(4)若"X)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有x + 2) = /(x-2),當xe0,2時，f(x) = 2x-x2 ,計算/(0) + f(l) + f(2) +/(2021)的值.【方法總結(jié)】判斷函數(shù)周期性的方法：(2) f(x + a) =r，則 f(x)的周期 7 =為； f(x)(3) f

14、(x+a) = f(x-a),則/(x)的周期 T = 2a ；(3)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點3,0), (6,0)對稱，則/(x)是周期函數(shù)，S.T = 2a-bt(4)若函數(shù),的圖象有兩條對稱軸x = "，x = b,則f(x)是周期函數(shù)，且T = 2|a-6|；(5)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點30)對稱，且關(guān)于直線x=b對稱，則/*)是周期函數(shù)，且7 = 4|。-勿.撞題點五幕指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)5. (2021 江蘇四校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考)若2+怨=3"+坐=5°+螞，則235A. cln5>tzln2>/;ln3B. aln2>cln5&g

15、t;ln3C. Z?ln3>cln5>«ln2D. aln2>bln3>cln5【答案】A【解析】令/。)=叱，則/。)=上空，可知當xw(0,e)時，r(x)>0,當xw(e,田)，f'(x)<0, Xx、In 2 2In 2 In4 、In3 In 4 In 2 In5又/= =/(4), > = > ,2443425所以20 + 電2 = 3"+也=5' + 爐=>5' >2" >3fc=>cln5>aln2>Mn3.故選 A. 235考題猜測全視角【

16、為什么猜這道題】事指對函數(shù)作為基本初等函數(shù)，其圖象與性質(zhì)的應(yīng)用仍然是高考中的熱點，而幕、指數(shù)式和對數(shù)式的運 算有所降低.重要題型：比較指數(shù)式與對數(shù)式的大小.方法指點：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及基函數(shù)的 性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減 性，指數(shù)相同考慮基函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小， 另一方面注意特殊值0, 1的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小.【方法總結(jié)】比較大小的方法：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用中間量;(3)利用作差法或作商法；(4)利用數(shù)形結(jié)合法.撞題點六導(dǎo)數(shù)的幾何意義6

17、. (2021 河南省普通高中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷)若函數(shù)/(x) = x-l + ej(a為常數(shù))存在兩條均過原點的切線，則實數(shù)的取值范圍是C. (0,e)A. (0,)B. (, +oo)ee【答案】B【解析】由題可得/'(x) = l-aeJ,設(shè)切點坐標為(%為-1+ ae-&),=整理可得。=%+ 1X 1 4- 則過原點的切線的斜率*=-%因為存在兩條過原點的切線，所以。=一;存在兩個不同的解.% + 1,、 e,_| e，/、e*T(x + l)-e*T xe1'1 設(shè) g(x)= > 貝!I 8 (x) =,=.2x+(x + 1)(x + 1)當 x

18、w(3,0)時，g，(x)<0,又所以g(x)在(fo,T), (-1,0)上單調(diào)遞減,當xe(0,«»)時，g，(x)>0,所以g(x)在(0,+«)上單調(diào)遞增,因為當x f yo 時，g(x)->0且g(x)<0 ,當X +00 時，g(x)->+oo,作出g(x)的大致圖象，如圖所示,1 1e"又g(o)= -，所以當4>-時，。=一;存在兩個不同的解, eex0 + l故實數(shù)”的取值范圍是(L+oo).故選B.e考題猜測全視角【為什么猜這道題】曲線的切線方程問題是課標卷中的熟面孔了，一般比較基礎(chǔ).用導(dǎo)數(shù)求切線方

19、程的關(guān)鍵在于求出切點 P(6%)及斜率，其求法為設(shè)尸(事,%)是曲線y = f(x)上的一點，則以尸為切點的切線方程為=【還可能怎么考】(1)已知切點求切線方程；(2)已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程：(3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍；(4)已知兩個不同曲線有相同切線，求參數(shù)問題.【易錯分析】注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別：(1)f(x)在點(%,/(七)處的切線方程為 y-% = f'(x()(x-Xo)；(2)求曲線y = /(x)過點(a,b)的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點坐標為(%,/(%),由丫一%=/'(%)(一%)過點38)，求得X。的值，從而

20、求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.撞題點七函數(shù)零點(小題)7. (2021 山東省濟南市十一所學(xué)校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考)如果兩個函數(shù)均存在零點，分別設(shè)為a, P，若滿足 a-p<n,則稱這兩個函數(shù)互為“度零點函數(shù)”.若/(x) = ln(x-2)與g(x) = a_inx互為“2度零 點函數(shù)”，則實數(shù)。的取值范圍為.【答案】(0,上【解析】由題可知函數(shù)/(x) = ln(x-2)的零點為玉=3,設(shè)函數(shù)g(x) = ar2-inx的零點為與，貝“毛-3<2,所以則以；-111=0,可得a =上(l<x> <5),X2、n ,、 Inx 八 一、 , fz、

21、1 - 2inx設(shè)(x) = 一丁(1 4x4 5),則(x) =-,X2X3當 1WXV加時，hx)>o；當五VX«5時，hx)<of所以函數(shù)例X)在"五)上單調(diào)遞增，在(五,5上單調(diào)遞減，所以(外皿=力(五)=7?，又=°，可5)=苧>0,所以0<。44， 2e252e故實數(shù)。的取值范圍為(0，!.故答案為(0,2 2e2e考題猜測全視角【為什么猜這道題】函數(shù)的零點問題是數(shù)形兼具的題型，也是高頻撞題點，經(jīng)常作為壓軸小題來考查.處理思想：把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，調(diào)整結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為兩個易畫圖象的交點個數(shù)問題.【還可能怎么考】二分法確定零點

22、的區(qū)間、零點范圍問題、零點個數(shù)問題、零點與導(dǎo)數(shù)的問題.【方法總結(jié)】利用函數(shù)的零點情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解；(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題；(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟知函數(shù)的圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.撞題點八函數(shù)零點(解答題)8. (2021 深圳-模)已知函數(shù)函x) = aln2x + 2x(l-Inx), aeR .(1)討論函數(shù)x)的單調(diào)性：(2)若函數(shù)g(x) = e2/(x)-2a2有且僅有3個零點，求a的取值范圍.(其中常數(shù)e = 2.71828，是自然對數(shù)的底數(shù))【解析】(I)由題可知函數(shù)/*)的定義域為(0,田)，r(x)

23、 = 21nx(-l), X若 a40,當 xe(0,l)時，f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增，X當 xw(l,+00)時，r(x)<0, 單調(diào)遞減；若。va<l,當 xe(0,a)時，f'(x)<0 ,當 xe(a,l)時，fx) >0 ,當 xe(l,+co)時，fx)<0 ,所以/(x)在(0，a)和(1,田)上單調(diào)遞減，在(a,D上單調(diào)遞增；若a = l,則_f(x)SO,所以f(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減；若。>1,當 xw(o,l)時，r(x)<0,當 xw(l,a)時，f'(x) > 0 ,當 xe(

24、a,+oo)時，f'(x) < 0 ,所以/(x)在(0,1)和(4”)上單調(diào)遞減，在(1,«)上單調(diào)遞增，綜上所述，當時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減；當0<"1時，/*)在(0m)和 (1,+«)上單調(diào)遞減，在3,1)上單調(diào)遞增；當a = l時，f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減；當”>1時，/(x)在(0,1) 和(4”)上單調(diào)遞減，在(1M)上單調(diào)遞增.(2)令g(x) =。，則/(x)= M，由題可知函數(shù)y = /(x)的圖象與直線y =與有3個不同的交點，ee由可知必有0<。<1或。>

25、;1.當0<a<l時，/")在(0,a)和(1,+oo)上單調(diào)遞減，在3,1)上單調(diào)遞增，所以f(X)的極大值為/(1) = 2 ,極小值為 f(a) = a(ln2a-21na + 2) = a(lna-1)2+ l>a>-,e-所以函數(shù)y = f(x)的圖象與直線y = W 的圖象至多有I個交點，不合題意，e當a >1時，f(x)在(0,1)和(a,”)上單調(diào)遞減，在(l,a)上單調(diào)遞增，所以/(幻的極小值為/=2 , /(%)的極大值為/(a) = a(ln%-21na + 2),所以必有2</<a(ln2a-21na + 2)成立，因

26、為2奧所以a>e, ee所以 2： < a(lna 2ln a + 2),即一r < ln a 2In a + 2 (*). ee'下面求不等式(*)的解集，令lna = x,則不等式(*)等價于Ze*= vx2 -2x + 2,令函數(shù)h(x) = x2-2x-2e'-2 +2,則 hx) = 2x-2-2e'-2,令 y = 2x-2-2ei,則 y = 2-2ei,所以函數(shù)y = 2x-2 -2er-2在(-<»,2上單調(diào)遞增，在(2,”)上單調(diào)遞減，又當x = 2時，y = 2x-2-2ei=o,所以“(x) 40恒成立，故函數(shù)力

27、單調(diào)遞減，又"2) = 0,所以當且僅當x<2時，h(x)>0,所以不等式Zee <x? -2x + 2的解集為(y°，2),所以lna<2 ,所以 Ovave?,又 “>e,故 r < ln a 21na +2 的解集為(e,e-), e-所以。的取值范圍為(e,e?).考題猜測全視角【為什么猜這道題】函數(shù)的零點問題是近幾年高考中的熱點題型.常見題型有：利用導(dǎo)數(shù)討論零點的個數(shù)：利用導(dǎo)數(shù)證明零點的唯一性；根據(jù)零點個數(shù)討論參數(shù)的范圍.【還可能怎么考】(1)若函數(shù)g(x) = e2/(x)-2«2至多有一個零點,求。的取值范圍；(2

28、)若關(guān)于x的方程g(x)-e2/(x) + 2/=0有三個不同的實數(shù)根，求。的取值范圍；(3)若關(guān)于x的方程83)-62/*) + 2/=0至多有一個實數(shù)根，求。的取值范圍.【方法總結(jié)】判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1)宜接研究原函數(shù)，明確函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值與最值，畫出草圖.函數(shù)的零點個數(shù)即函 數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)；(2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為切=儀幻，利用導(dǎo)數(shù)知識明確函數(shù)奴x)的單調(diào)性、極值與最值，結(jié)合圖象， 函數(shù)的零點個數(shù)即直線與丫=奴制圖象的交點個數(shù).撞題點九導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(參數(shù)取值范圍)9. (2021 江西上饒一模)已知函數(shù)/(x) = ae'+ x(lna + x-ln

29、x),若不等式在工£(。,+°0)上恒成 立，則實數(shù)。的取值范圍為211A. (1»+)B. ,+oo)C. -,4-00)D. -r,4-oo)eee-【答案】C【解析】由 /(x) %可得+ x(ln。+ x Inx)Nx ,即+ lna + x InxNl,x故 Jna+mx) + n a + X_ in X N e° + 0 在 x w (0, ”)上恒成立.因為g(x) = e' + x在R上單調(diào)遞增，所以ln£7 4-x-lnx>OSxG(O,-hx)上恒成立，11 x所以 InaNlnx-x 在 xw(0,+oo)上

30、恒成立，令 (x) = lnx-x,貝 =-,XX當xe(0,l)時，/Z(x)>0,幽外單調(diào)遞增；當xe(l,y)時，/?"(%)<0,刀(外單調(diào)遞減，所以(x)g =人=-1,所以InaNl,解得e所以實數(shù)。的取值范圍為4,”)，故選C.e考題猜測全視角【為什么猜這道題】導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考命題的熱點內(nèi)容，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，難度中等偏上，屬于綜合性較強的內(nèi)容.【還可能怎么考】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(極值或最值)、根據(jù)單調(diào)性(極值或最值)求范圍、比較大小、根據(jù)零點個數(shù)確定 范圍.【方法總結(jié)】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題,往往根據(jù)已知與所求合理構(gòu)造

31、函數(shù),常用構(gòu)造方法有：條件含有/(x) + /'(X)，就構(gòu)造g(x) = e"(x)；若-/'(x)，就構(gòu)造8。)= 管；e若 2/(x) + f'(x),就構(gòu)造 g(x) = e2xf(x):若2f(x) - f'(x),就構(gòu)造g(x)= 綽；e若叭 X)+ xf'(x),就構(gòu)造 g(x) = xnf(x).(2)同構(gòu)技巧：(l)>y = - = -lnx-, -x =-e,n r' -Inx-1 = /(-Inx)； xX111 y=i-=-ir=ir=p；nx 1 1 I1-In- e x In- /(In-)X Xxxe

32、x 11(3) y =；x r e- /(-x) ,(4)y = -= x-e*x = -(-x- e-x) = -/(-x).撞題點十利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題10. (2021 江西省高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x) = xe、+ or + 6cosx, e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當6 = 0時，討論函數(shù)x)極值點的個數(shù)；(2)當6 = -2, X20時，都有/(x)22e、-4,求實數(shù)。的取值范圍.【解析】(I)當6 = 0 時，f(x)-xex +ax=> /Xx) = (x+l)e* +a ,記 g(x) = 7'(x), g'a)= (x + 2)e、，令

33、g'(x) = 0,得 x=-2, /r(-2) = a -y,當 xv2 時，g'(x) v 0 , g(x)單調(diào)遞減，a- < frx) <a , e當 X>2 時，g'(X)>0, g(X)單調(diào)遞增，r(x)>q_士，e-當a-4zO,即3時，/V)>0, /(x)單調(diào)遞增，無極值點； ee當。-二<0且。>0,即0<。<二時，/'(x) = o有兩個不同的根，/(X)有兩個極值點, ee當KO時，r(x) = 0有一個根，/a)有一個極值點.(2)依題意(x-2)e' + ar-2cos

34、x + 4 2 0對任意的xNO恒成立，記h(x) = (x-2)ex + ar-2cosx + 4 , A(0) = 0,貝！ /(%) = (x-l)er + tz + 2sinx, '(0) = a- f令/(x) = (x),則 r(x) = xe、+2cosx,所以 xwO,當時，xeK > 0， 2cosx>0=>f(x) >0 ,2一TTjr -xwj+oo)時，xe-e2>7t>2, f(x)>2 + 2cosx>0,所以(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，22。一120即 aNl 時，'(x)2(0) = a-120,

35、所以h(x)在(0,欣)上單調(diào)遞增，所以h(x) > (0) = 0恒成立；a-l<0 即 a<l 時，h'(0) < 0 , (4 - a) = (3 - a)e4-" + a + 2sin(4-a) >3-a + a + 2sin(4-a) >0 ,所以存在與e(0,4-a),使得廳(x0) = 0,當0<x<為時，h'(x)<0,所以存x)在0,“上單調(diào)遞減,當0<x<天時，/?(x)<M0) = 0,與題意不符.綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是億”).考題猜測全視角【為什么猜這道題】在不等式恒

36、成立或不等式有解的條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構(gòu)造輔助函數(shù).【還可能怎么考】(1)對于任意的用，總存在口日風川,使得/(%)4g4g(電)1mx ；(2)對于任意的x, 6a向，總存在芻w小網(wǎng),使得f(X)2g(%)0/(%)1111112g每濡；(3)若存在X 句，對于任意的毛使得/(為)48(工2)= /(占)向1,4 8(%2)1111；(4)若存在為。,勿，對于任意的2GH,使得了(5) 2 g(占)0/(±)1nM Ngg)；(5)對于任意的占 e伍，Xj em,h,使得/(苦)

37、4g®)of(占)1nM 4g(W)111ta ;(6)對于任意的為切，Xj Gm,n,使得/1(%)2gg)0/(%)1nto Ng®)1mx ；(7)若存在t wa,b,總存在 6刖間,使得f (%) 4 g®) of (%)1nto 4 g(七)；(8)若存在 總存在 x? 使得of (%)11111112 g(七濡.【方法總結(jié)】恒成立問題的處理方法：參變分離；數(shù)形結(jié)合；含參討論；端點效應(yīng)；必要性探路等方法.撞題點十一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式11. (2021 江蘇省鎮(zhèn)江市高二下學(xué)期模擬信息卷)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/(x) = e，+aln(x + l).

38、(1)設(shè)x = l是/(X)的極值點，求。的值和函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間;(2)當xe0,冗時，/(x)Nsinx-e，+2恒成立，求。的取值范圍.【解析】因為八x)備由尸舊。，得2c,所以 f'(x) = cx2eel (x +1) 2cX+ 1當 X£(-1,1)時，/r(x)<0；當xe(l,+oo)時，fx) >0 .所以函數(shù)/。)在上單調(diào)遞減，在0,xo)上單調(diào)遞增.(2)令 g(x) = /(x) - sin x + ev - 2 = 2er + a ln(x +1) - 2 - sin x, x e 0, n,當x w 0,何時，/(X) >si

39、nx-er + 2恒成立等價于g(x) N g(0) = 0恒成立.由于 g'(x) = f(x) - cos x + er = 2ev 4- cosx, x g 0, n,x + 1所以，當aNO時,gx)>2e->Q,函數(shù)y = g)在0,兀上單調(diào)遞增，所以當xw0,兀時，g(x)Ng(0) =。恒成立，符合題意；當av0時，g'(x) = 2er + cosx在0,兀上單調(diào)遞增，g'(0) = 2 + 4-l = l + a.x + 1當 1 + 20,即-iWavO時，g'(x)Ng'(0) = l + aN0,函數(shù)y = g。)在。

40、兀上單調(diào)遞增，所以當xe。同時，g(x)2g(0)=0恒成立，符合題意;當 1 + avO,即 av1 時，g'(0) = 1 + a<0, r(7t) = 2eR dFl,7C + 1若 g'(7t)<0,即 a«-(兀 + l)(2en +1)時，g'(x)在(0,九)上恒小于0 ,則g(x)在(。,兀)上單調(diào)遞減，g(x)g(0) = 0,不符合題意；若 g'E)。，即-(it + l)(2e"+1)。一1 時，存在$ e(O,n)使得短(%) = 0,所以當xe(O,%)時，g'(x)0,則g(x)在(0,x0)上

41、單調(diào)遞減，所以g(x)g(O) = O,不符合題意.綜上所述，。的取值范圍為-L”).考題猜測全視角【為什么猜這道題】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考熱點題型，解題關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，通過構(gòu)造輔助函數(shù)將不等式的證明 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性證明或函數(shù)的最值問題.【還可能怎么考】構(gòu)造函數(shù)證明不等式、雙變量不等式證明、極值點偏移題型、數(shù)列型不等式的證明.【方法總結(jié)】此類試題的解題策略：(1)構(gòu)造差函數(shù)外x) = f(x)-g(x).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等 量關(guān)系，進而證明不等式.(2)根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間的大小關(guān)系，或利 用放

42、縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).撞題點十二三角恒等變換2 cos(2a +)12. (2021 安陽一模)已知- = 7,則cos(a - g) =sin(a + -)3A. -B. -C. -D.-2 475【答案】B2 cos(2a 4- -) 2l-2sin2(a + )【解析】由題可得1-=- = 7,所以2。-2sin2(a + ) = 7sin(a + 3),sin(a + -)sin(a + )66化簡可得4sin(a +工)-lsin(a +與+ 2 = 0,因為 sin(a + 3) w -(1,所以 sin(a+') =，,66664所以 cos(a-g) =

43、 cos(a + 2)-2 = sin(a + P) ='.故選 B.3 6264考題猜測全視角【為什么猜這道題】三角函數(shù)化簡求值是高考常考撞題點，對誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、二倍角公式的考查是本類問題的重要考查方向之一，本撞題點高考要求不高，掌握課本習題難度即可.【還可能怎么考】給角求值、給值求值、給值求角、三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)式的證明.【方法總結(jié)】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，這是重要一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角 進行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式， 常見的有切化弦；三看結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫

44、助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通 分”，“遇根式要升幕”等.撞題點十三三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)13. (2021 濟南一模)函數(shù)y = /(x)在-2兀,2兀上的圖象如圖所示，則/'(x)的解析式可能是A. f(x) = sinx + cosxB. f(x) =|sinx|4-cosxC. /(x) = sin | x| -fcosxD. f(x) = sin | x| +1 cosx|【答案】B【解析】由函數(shù)圖象可得，函數(shù)/*)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)/J)是偶函數(shù).對于A：因為/'。) = $耐*+8$工=&$訪(、+ 2),所以選項A不符合題意；4對于 C：

45、若/'(X)= sin |x|+cosx,當 xeE，2兀時，sin|x|= sinx,所以/(x) = sinx+cosx = >/5sin(xH)> >/2 ,所以當 x-i=時，即x =時，f(x)取得最小值為 44 24-0，與圖中f(x)的最小值為T矛盾，故選項C不符合題意：對于D：因為函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(兀,-1),而選項D中/(兀)=1,所以選項D不符合題意；故選B.考題猜測全視角【為什么猜這道題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)屬于一高考必考撞題點，難度中等或偏上.?？碱}型有：三角函數(shù)的圖象變換, 求三角函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性與

46、對稱性.【還可能怎么考】判斷三角函數(shù)的最值(周期、對稱性等)、三角函數(shù)的圖象變換、已知函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式.比如：(2021 江西質(zhì)檢)已知函數(shù)/.(x) = 2sin(s + 0)(3>O.5<0V7c)的一個周期的圖象如圖所示, 其中 f(o)= l, /(1) = 0, /() = /(x2) = -p 則/(&-8-2)=7 - 4-A-后一4_B.岳一4D.itSir【解析】由f(O)= l，可得sin0 = ：,又與<夕<兀，所以夕=?, 226_ 兀由/=0可得0+° = 2&兀+兀，keZ ,可得3 = 22幾+ ，keZ ,

47、 627t1T7T9jr因為周期7>4x(1 0) = 4,所以M>4,所以0<。<5,所以。=,所以7 =臼=12, co26a)所以 f(x) = 2sinCx+?),因為/(x,) = 2sin(?X+¥)= 一，所以sin(?X|+乎)=-, 66662664因為/(4) = 2sin弓- = -2 ,所以點(西,-耳)，(和一萬)關(guān)于直線x = 4對稱，、幾/兀 / 5兀、.7t5兀、 e,i ,3兀、./冗 5冗、11設(shè)(三乂4 + 二)一(三玉+丁)=。，貝ijsm(二一a) = sm(三%+二)= 一:，所以cosa =:， 666626644

48、/兀5兀、/兀 5冗、_ bi、j兀/、 八X(-x2 +-)-(-x, +) = 2a,所以工(一七)= 2a , 6 o o 667TJr Sjctt17所以 /(占-X)-2) = 2sin一X1)+ = 2sin( + 2a) = 2cos2a = 2x(2x1)=.故選 A.63 62164【方法總結(jié)】(I)已知函數(shù)y = Asin(s+ 8(4>0,8,0)的圖象求解析式, a |= 'max min r _ ymax + ymin2，227r由函數(shù)的周期T求3, T = ；CD利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求。，一般用最高點或最低點求.(2)函數(shù)y = Asin(f

49、iu+9)+ B(A>O,0>O)的性質(zhì): ymax = A + 8 ,0=-A + 8 ;2兀周期丁 =臼；CDTT由以+夕=+ E(%£Z)求對稱軸;JTTTIT3冗由 一3 + 2145 + 945 +2E(AeZ)求遞增區(qū)間；由 3 + 2EVs + °W； + 2E(Z£Z)求遞減區(qū)間.撞題點十四解三角形（小題型）14. （2021 江蘇二模）如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸宜塔回（A為塔頂，3為塔底）的高度,測得CD = s.測繪興趣小組NBDC,則根據(jù)下列各組中選取與8在同一水平面內(nèi)的兩點C與。（8, C,。不在同一直線上），利用測角儀

50、可測得的角有：ZACB, ZACD, /BCD, NADB, ZADC,的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的個數(shù)是saiS,Z4CB,ZBCD, ZBDCS,，ZACB,4BCD,ZACDS,ZACB,ZACD, ZADCS,ZACB,NBCD,ZADCA. 1B. 2C. 3D. 4【解析】對于，已知$，ZACB,4CD, ZfiDC,【答案】C在均。中，利用三角形內(nèi)角和為180?？汕蟮肗CBD = n"DCZBCD ,利用正弦定理CDBCsin ZCBD sin ZBDCAn在八鉆。中，AB±BC,由tan/AC8 =,即可求45； BC對于，在刈中，已知一邊C£

51、>, 一角NBCD,無法求解三角形,在ABC中，已知兩角NABC = 9O°, ZACB ,無法求解三角形,在 中，已知一邊CD, 一角Z4CD,無法求解三角形:對于，在ACD中，已知一邊C£>,兩角NAC£>, ZADC,由三角形內(nèi)角和可求得NC4O,由正弦定理可求得AC,在/XABC中，已知兩角NAC3, Z4BC=90°, 一邊AC,利用sin 4cB =，可求得AB： 4C對于，在 人記。中，已知兩角NABC = 90。，NACB,ARAR由tan/AC8 =,可用43表示5C,由sin/AC3 = ，可用表示AC, BCAC在

52、AAC。中，已知N4OC,邊CD, AB表示AC,利用余弦定理可用他表示AD,在RtzMB。中，利用勾股定理可用表示3。，在BCD中，已知NBCD, CD, AB表示BD, AB表示BC ,利用余弦定理可建立關(guān)于4?的方程，即可求解故選C.考題猜測全視角【為什么猜這道題】如果解答題考的是數(shù)列的話，小題中必考一道解三角形的小題，難度中等偏上.主要考查利用正余弦 定理解決邊角問題、正余弦定理與面積相結(jié)合問題、與正弦定理相關(guān)的解的個數(shù)問題、判斷三角形的 形狀、正余弦定理與平面向量、不等式、函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用.【還可能怎么考】利用正余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、與面積相關(guān)的問題、解斜三角形.【

53、方法總結(jié)】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之 間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟如下：(1)定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.(2)定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.(3)求結(jié)果.撞題點十五 解三角形(大題型)JT15. (2021 山東二模)在4 = C + -；5c-4a = 15cosA；的面積S = 3.這三個條件中任選 2兩個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在A4BC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為。，b, c ,已知力=3,且, ,求c.

54、【解析】方案一：選條件.因為5c-4a = 15cosA , 5 = 3,所以5c4a = 53cosA,由正弦定理得5sinC-4sin A = 5sin 8cos A .因為 sin C = sin(A + B) = sin Acos 8 + cos Asin B ,所以 5cos Bsin A = 4sin A .4 3因為sinA>0,所以cos3 = , sinB =-，5 57TIT因為 A = C + -, A + B+C = n,所以 8 = - -IC,22所以 cos 2C = cos(- - B) = sin B,所以 sin，C = -8s2c _ ,2525石因

55、為0<C<7i,所以sinC = y,所以由正弦定理可得C =變呼=逐.sinB方案二：選條件.因為 S =absinC = 3 , b = 3 ,所以 asinC = 2.2ttjr因為 A = C + 7, A+ B + C = n ,所以 8 二=一2C, 22TT所以由正弦定理可得a =也”3sin(C + -)=r'2 _ 3cosCsin(-2C) cos2C所以 3smecosC = 2, Bp 3sin2C = 4cos2C , cos 2CITTT因為 0< A = C + -< 兀且 0<C<7T ,所以 0<C<-,

56、 0<2C<7t, 22所以sin2c>0,所以cos2c>0,3又si/ZC + cos2 2c = 1,所以cos2C =<所以sin?C =上山生=1，所以sinC =, 255_ bsinCcos 2CAsin C所以由正弦定理可得。=竺吟sin B方案三：選條件.因為5c-4a = 15cosA , h = 3 ,所以5c-4a = 5/?cosA,由正弦定理得 5sinC-4sin A = 5sin BcosA .因為 sin C = sin(A + B) = sin Acos 8 + cos Asin B ,所以 5cos Bsin A = 4sin A.43因為sinA>0,所以cos8 =-，sinB ,55TTIT因為 A = C + 7, A+8 + C = 7t,所以 8 一 2C, 22因為S = acsin3 = 3,所以ac = 10, 2由余弦定理可得 b2 = a' + c2 - 2accos B = a2 + c2 -16 = 9 1 所以 a? + c? = 25 ,a2+c2 = 25ac = 10可得c =石或c = 2x/L考題猜測全視角【為什么猜這道題】解三角形實際問題近幾年未考查，但并不意味著不考，對此類問題應(yīng)多加關(guān)注.?？碱}型有：測量一 高度問題、測量一距離問題、測量一角度問題.【還可能