2019年江蘇卷數學高考真題

1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數學I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘。 考試結束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2 .答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5 .如需作圖，須用 2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：2

2、1n _2_1n樣本數據x1, x2，xn的方差s- x x,其中x- xi .n i 1n i 1柱體的體積V Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1錐體的體積V -Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.3一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上. 1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,則 AI B .2 .已知復數（a 2i）（1 i）的實部為0,其中i為虛數單位，則實數 a的值是 .3 .下圖是一個算法流程圖，則輸出的 S的值是 .4 .函數y V76xx2的定義域是.5 .已知一組數據6, 7, 8, 8,

3、 9, 10,則該組數據的方差是.6 .從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是 .27 .在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線 x2 ' 1（b 0）經過點（3, 4）,則該雙曲線的漸近線方程是 b.一 一 一一 一一* .8 .已知數列an（n N ）是等差數列，Sn是其前n項和.若a2% a8 0,S9 27 ,則S8的值是一9 .如圖，長方體 ABCD AB1clD1的體積是120, E為CC1的中點，則三棱錐 E- BCD的體積是 10.在平面直角坐標系 xOy中，P是曲線y4， 八、，一，x (x 0)上的一個動點，則

4、點 P到直線x+y=0的距離的 x最小值是11 .在平面直角坐標系 xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點 A處的切線經過點(-1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是 uuu12 .如圖，在4ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CE交于點O .若ABuuurACuuLr uur6AO EC,AB .則JAB的值是 AC 一13,已知3tan2無 2 ,則sin 2-的值是 冗 3414.設f (x), g(x)是定義在R上的兩個周期函數,f (x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f (x)是奇函數.當 x (0,2時,f(x) 1 (x 1)2 , g(x

5、)k(x 2),012,1 x1,其中k>0.若在區(qū)間(0, 9上，關于x的方程f(x)g(x)有8個不同的實數根，則 k的取值范圍是二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, BC的對邊分別為a, b, c.(1)若 a=3c, b=22cosB=一,求c的值;316./、什 sin A cosB若 2b(本小題滿分14分)，求sin(B 一)的值.2如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，D, E分別為BC, AC的中點，AB=BC.求證：(1) AiBi/平面 DEC

6、i; BEXCiE.17.(本小題滿分14分)22如圖，在平面直角坐標系 xOy中，橢圓C:x2 4 1(a b 0)的焦點為Fi ( - 1、0), a b22.2F2 (1, 0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上萬，l與圓F2：(x 1) y 4a交于點A,與橢圓C 交于點D.連結AFi并延長交圓F2于點B,連結BF2交橢圓C于點E,連結DFi .已知DF i= 5 .21 1)求橢圓C的標準方程；2 2)求點E的坐標.18 .(本小題滿分16分)如圖，一個湖的邊界是圓心為 。的圓，湖的一側有一條直線型公路1,湖上有橋AB(AB是圓。的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線

7、型道路 PB、QA.規(guī)劃要求：線段 PB、QA上的所有點 到點O的距離均不小于圓,。的半徑.已知點 A、B到直線l的距離分別為 AC和BD (C、D為垂足)， 測得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在 D處并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路 PB和QA的長度均為d (單位：百米).求當d最小時，P、Q兩點間的距 離.19 .(本小題滿分16分)設函數 f(x) (x a)(x b)(x c),a, b,c R、 f'(x)為 f (x)的導函數.(1)若 a=b=c, f

8、 (4) =8,求 a 的值；若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零點均在集合 3,1,3中，求f (x)的極小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1,且f(x)的極大值為 M,求證：Mw.2720 .(本小滿分 16分)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“ M-數列”.*(1)已知等比數列an(n N )滿足：a2a4 %且 4a2 4a4 0 ,求證：數列an為“M數列”；122(2)已知數列bn(n N )滿足：b1 1 ，其中S為數列bn的前n項和.Snbn bn 1求數列bn的通項公式;設m為正整數，若存在“ M數列” cn（n N*）,對任意正整數k,當kw

9、m時，都有ckffck ck 1成立，求m的最大值.2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數學I答案.每小題5分，共計70分.1.1,64. 1,755.311. (e, 1)12. . 376.10,213.107.y 2x14. 1 上、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法二、解答題15 .本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力滿分14分.解：（1）因為a23c,b 、2,cos B 一3由余弦定理cosB2acb22一,得一3(g2 c2 ( 2)2 ,即 c22 3c c所以c 二 3（2）因為晅Aa由正弦定理as

10、in AcosB2b 'b /日,得sin BcosB2bsin-B ,所以 cosB 2sin B . b從而cos2 B一 一 21(2sin B),即2 、cos B故 cos2因為sin B0,所以cosB2sinB0,從而cos B因此sin BP cosB 2-516 .本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.fh關系等基礎（第16史）證明：（1）因為D, E分別為BC, AC的中點,所以 ED /AB.在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AB/A1B1,所以 AiBi / ED.又因為ED平面DECi ,

11、A1B1 平面DECi,所以AiBi /平面 DECi.(2)因為AB=BC, E為AC的中點，所以 bexac.因為三棱柱 ABC-AiBiCi是直棱柱，所以 CCi,平面ABC.又因為BE平面ABC,所以CCiXBE.因為 CiC 平面 AiACCi, AC 平面 AiACCi, CiCAAC=C,所以BE，平面AiACCi.因為CiE平面AiACCi,所以BEXCiE.17 .本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分i4分.解：(i)設橢圓C的焦距為2c.因為 Fi(-i, 0),

12、F2(i, 0),所以 FiF2=2, c=i.又因為 DFi=5, AF2"軸，所以 DF2=7DFi2 FiF22 J(|)2 22 3, 因止匕 2a=DFi+DF2=4,從而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3. 22因此，橢圓c的標準方程為 二 £ i. 43(2)解法一： 22由(i)知，橢圓C: 人工一i , a=2,43因為AF2，x軸，所以點A的橫坐標為i.將x=i代入圓F2的方程(x-i) 2+y2=i6,解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(i, 4).又 Fi(-i, 0),所以直線 AFi： y=2x+2.由y (x2x 21

13、)2 y2,得165x2 6x11 0，解得x11511 一代入因此B（5115122x2,得y125一）.又 F2（1, 0）,所以直線 BF2： y 54(x3 y (x 由2 4 2 x y431)，得 7x2 6x 13 0，解得 x1).137又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以 x1.將x 1代入y33(x1),得y.因此42E( 1,解法二:由（1）知，橢圓2C：421.如圖，連結3EF1.因為 BF2=2a, EF + EF2=2a,所以 EF1=EB從而/ BFE=/B.因為 F2A=F2B,所以/ A=Z B,所以/ A=/ BF1E,從而 EF1 / F2A.因為AF2

14、±x軸,所以EF1，x軸.因為 F1(-1 , 0),x 1由 x2y2,143又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以一3因此E( 1, 3)218.本小題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：解法（1）過A作AE BD ,垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'因為PBXAB,所以cos所以PBPBD sin ABE 10BD 12 “ T 15. cos PBD 45因此道路PB的長為15 （百米）（2）若P在D處，由（1）可得E在圓

15、上，則線段BE上的點（除B, E）到點。的距離均小于圓。的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結AD,由（1）知ADJae2 ed2 io ,AD2 AB2 BD2從而 cos BAD 2AD AB0 ,所以/ BAD為銳角.25所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當/OBP<90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當/OBP>90時，對線段PB上任意一點F, OF圮B,即線段PB上所有點到點。的距離均不小于圓 。的半 徑，點P符合規(guī)劃要

16、求.設R為l上一點，且PB AB ,由（1）知，PB=15,，一3此時 RDPB sin RBDPB cos EBA 15 - 9；5當 / OBP>90 時，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA>15,點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，CQ JQA2 AC2 J152 62 3，21.此時，線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.綜上，當PBLAB,點Q位于點C右側，且CQ=3j2彳時，d最小，此時P, Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+3,21 .因此，d最小時，P, Q兩點

17、間的距離為17+3J21 (百米)解法二：(1)如圖，過。作OH，l,垂足為H.以O為坐標原點，直線 OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12, AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A, B的縱坐標分別為3, 3.因為AB為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為x2+y2=25.從而A (4, 3) , B (4, 3),直線AB的斜率為-.44因為PBLAB,所以直線PB的斜率為 4,3，、一425直線PB的方程為y -x 25. 33所以 P (13, 9) , PB J( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB的長為15 (百米).(2)若P在D處，取線段BD

18、上一點E (4, 0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結AD,由(1)知D (4, 9),又A (4, 3), 一3所以線段AD： y-x 6( 4轟版4).4在線段AD上取點M (3, 15),因為OM J32 "V347 5,4.4所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當/OBP<90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當/OBP>90°時，對線段PB上任意一點F, OF2B,即線段PB上所有點到

19、點。的距離均不小于圓 。的 半徑，點P符合規(guī)劃要求.設 P,為 l上一點，且 PB AB ,由(1)知，PB=15,此時 Pi (13, 9);當/ OBP>90 時，在P"B 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由(2)知，要使得Q415,點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求 .當QA=15時，設Q (a, 9),由 AQJ(a4)2(93)215(a 4),得 a= 43歷，所以 Q ( 43«5？，9),此時，線段 QA上所有點到點。的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P (13, 9) , Q ( 4 3J21 , 9)時，d最

20、小，此時P, Q兩點間的距離PQ 4 3.21 ( 13) 17 3 . 21 .因此，d最小時，P, Q兩點間的距離為17 3幅 (百米)19.本小題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理 能力.滿分16分.解：(1)因為 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因為f(4) 8,所以(4 a)3 8,解得a 2.(2)因為b c,所以 f (x) (x a)(x b)2x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,2a b -. 2a b33從而 f'(x) 3(x b) x 2ab .令 f

21、9;(x) 0,得 x b或x 2ab2ab 因為a,b,2ab,都在集合 3,1,3中，且a b,2a b所以竺上1,a 3,b3.3此時 f (x) (x 3)( x 3)2, f'(x) 3(x 3)( x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下：+0極大值1一0+極小值所以f(x)的極小值為f (1) (1 3)(1 3)232 .32(3)因為 a 0,c 1,所以 f (x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx ,- 2 一f'(x) 3x 2(b 1)x b .因為 0 b 1 ,所以 4(b 1)2 12b (2b 1)2 3

22、0,則f'(x)有2個不同的零點，設為 X1,x2 K x2 .b 1 , b b 1 b 1, b b 1由 f'(x) 0,得 x1 , x2 33列表如下:+0一0+極大值極小值所以f (x)的極大值M f x1解法427b(b 1)24 .因此M2727 27解法因為0 b 1 ,所以x1(0,1).當 x (0,1)時,f(x)2x(x b)(x 1) x(x 1).人21令g(x) x(x D,x g),則 g'(x) 3x 3 (x 1).令 g'(x)+0一極大值1.0 ,得x -.列表如下:3所以當x1,什14一時，g(x)取得極大值，且是最大

23、值，故 g(x)max g - 一3327所以當x44(0,1)時，f(x) g(x) 一，因此 M 272720.本小題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.解：(1)設等比數列an的公比為q,所以al刈,a2&%由a3 4a2 4ai2 44aiqaiqaq2 4a1q 4al因此數列an為“ M 數列”122c(2)因為,所以bn0 .Sn ， bn1n,122由 b11s b1，得彳1bb22.122 cbnbn 1，得 SnSnbnbn 12(bm 4)當n 2時，由bnSnSn 1

24、 ,得 bnbnbn 12 bn 1bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以數列bn是首項和公差均為1的等差數列一 一 、一一一 一*因此，數列bn的通項公式為bn=n n N .由知，bk=k, k N*.因為數列Cn為M -數列”，i 因為 ck<bk<Ck+1,所以 qk 1 k 當k=1時，有q>1;ln k當k=2, 3,，m時，有弊kln x設f (x)=(x 1),則 f' x'比為q,所以C1=1, q>0.qk ,其中 k=1, 2, 3,，m.ln kln q .k 11 ln x)x令f '

25、(x) 0,得*=3.列表如下:xe(e, +°°)+0一f (x)極大值國4 1n 2 ln8 In 9因為”所以f(k)max f(3)ln33,. In k - k3/3,當 k=l, 2, 3, 4, 5時，一-, 1nq,即 k q ,經檢驗知qk 1 k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>G分別取k=3, 6,得3對3,且q5w。從而q15>243且q15w216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.數學n(附加題)21 .【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按

26、作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)3 1已知矩陣A 32 2(1)求 A2；(2)求矩陣A的特征值.B.選彳4- 4:坐標系與參數方程(本小題滿分10分)在極坐標系中，已知兩點 A3,- , B 72,-,直線1的方程為sin -3.424(1)求A, B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離.C.選彳4-5:不等式選講(本小題滿分10分)設x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域 內作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.一

27、、n2.n.*2-22.(本小題滿分 10分)設(1 x) a0aix a?x Lanx,n- -4,nN .已知 a32a2a4.(1)求 n的值；(2)設(1 73)nabs/3,其中a,bN*,求 a2 3b2的值.23.(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，設點集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令Mn An U Bn U Cn.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量 X表示它們之間的距離(1)當n=1時，求X的概率分布；(2)對給定的正整數n (n>

28、;3),求概率P (X由)(用n表示).數學n(附加題)參考答案【選做題】10分.A.選修4-2:矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力.滿分3 1解：(1)因為A2 2所以A23 13 12 2 2 2(2)矩陣A的特征多項式為11 510 6f()令f( ) 0,解得A的特征值1 1, 2 4.B.選修4-4:坐標系與參數方程10分.本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.滿分解：(1)設極點為。.在4OAB中，A (3, -) , B (五，-),由余弦定理，得 AB=,32 (2 2 32 cos(一 一). 5 .(2)因為直線l的

29、方程為sin( -) 3,4則直線l過點(3歷-),傾斜角為3-.-3又B(#,),所以點B到直線l的距離為(3后 柩 sin( )2. 242C.選修4方：不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分10分. , 一 一 一 1解：當x<0時，原不等式可化為x 1 2x 2,解得x<-；3，-1,一八，c r當0蟲W時，原不等式可化為x+1 Wx>2,即x<T,無解；21當x> ,時，原不等式可化為x+2x T>2 ,解得x>1.21 ,、綜上，原不等式的解集為x|x-或x 1.322.【必做題】本小題主要考查二項式定理、組