電磁感應(yīng)物理競賽(1)

1、專題十三法拉第電磁感應(yīng)定律專題十三法拉第電磁感應(yīng)定律tttttN 21磁通匝鏈數(shù)或全磁通磁通匝鏈數(shù)或全磁通: =1+2+N tN(當(dāng)1=2=N=時 )通量法則通量法則解解：1、23)(242220ahaIB大tbahaBcos)(2I4S2222023小大小tbahaItsin)(24-2222023小小tbahaIisin)(2R4R2222023小小2、載流線圈在磁場中受安培力矩為：、載流線圈在磁場中受安培力矩為：3、現(xiàn)在很難求，利用互感應(yīng)部分就容易求了。、現(xiàn)在很難求，利用互感應(yīng)部分就容易求了。BmM則外加力矩則外加力矩大小小BmMtbahaIRM22222220sin)()(24123小

2、)cos(),(kxtBtxB0kB, 0解法二：通量法則解法二：通量法則tldrkrtBsdBd)cos(0dxxldrkrtBd)cos(0)()cos(0krtdkrtklBdxx)sin()(sin0kxtdxktklB)cos(0krtBB)cos()()cos()(0kxtdxktkvklBdtdtE)cos()()cos()(0kxtdxktkvkRlBREtiltdxBtiltxBtitf),()(),()()(2220)cos()cos()()(kdkxtkxtRvklbtf當(dāng)當(dāng)kd=(2n+1)，即即 當(dāng)當(dāng)kd=2n，即，即 lBv)(LlBv)( 長為長為L的導(dǎo)體棒在磁場

3、中作切割磁感應(yīng)線運動而產(chǎn)生的動生電動勢，的導(dǎo)體棒在磁場中作切割磁感應(yīng)線運動而產(chǎn)生的動生電動勢，ll dBvd)(Ll dBv)(FLBvqFEKK非靜電力的場強為：非靜電力的場強為：導(dǎo)體上導(dǎo)體上l 一段的電動勢為：一段的電動勢為：或或等于其上各等于其上各 上的電動勢的代數(shù)和，即上的電動勢的代數(shù)和，即BvqFK專題十四專題十四動生電動勢動生電動勢非靜電力：非靜電力：或或解解例：例：iiiiiiiirrkrrkrrBv2niiiniirrk12132233)()(33)(rrrrrrrr)(31332rrrrr331331323031311331)()()(31)(31akrrrrrrkrrknn

4、inii RakRI33(1)(2)(3)(4)iiiAirkIrrBIfiiiAiirkIrrfM23131312131)(31kIarrkIrrkIMMniiiniiiniiRakM962mgaM21MMfamgRakf2195(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)例例( (2727決決) ) 如圖如圖(a)(a)所示所示, ,十二根均勻的導(dǎo)線桿聯(lián)成一邊長為十二根均勻的導(dǎo)線桿聯(lián)成一邊長為l l的剛性正方的剛性正方體體, ,每根導(dǎo)線桿的電阻均為每根導(dǎo)線桿的電阻均為R R, ,該正方體在勻強磁場中繞通過其中心且與該正方體在勻強磁場中繞通過其中心且與abcdabcd 面垂直的轉(zhuǎn)動軸作勻速

5、轉(zhuǎn)動，角速度為面垂直的轉(zhuǎn)動軸作勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。己知磁感應(yīng)強度大小。己知磁感應(yīng)強度大小為為B B, ,方向與轉(zhuǎn)動軸垂直方向與轉(zhuǎn)動軸垂直, ,忽略電路的自感。當(dāng)正方體轉(zhuǎn)動到如圖忽略電路的自感。當(dāng)正方體轉(zhuǎn)動到如圖(b)(b)所示所示的位置的位置( (對角線對角線dbdb與磁場方向夾角為與磁場方向夾角為) )時，求時，求1 1、通過導(dǎo)線、通過導(dǎo)線 baba、adad、bcbc和和cdcd 的電流強度。的電流強度。2 2、為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩。、為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩。解：解：1 1、設(shè)、設(shè)t t 時刻線圈如圖時刻線圈如圖(b)(b)所示，則所示，則sin22)(21Bll

6、Bvccaacos2222Blddbb(1)(1)(2)(2)根據(jù)電路的對稱性可知根據(jù)電路的對稱性可知1IIIIIcdcdbaba2IIIIIbcbcadad(3)(3)根據(jù)根據(jù)基爾霍夫第一定律，有基爾霍夫第一定律，有21IIIIccaa21IIIIddbb(4)(4)(5)(5)根據(jù)根據(jù)基爾霍夫第二定律，有基爾霍夫第二定律，有1211RIRIRIRIbbaa1222RIRIRIRIaadd(7)(7)(6)(6)根據(jù)根據(jù)(1)(7)(1)(7)解得解得)sin(cos8221RBlIIIcdba)sin(cos8222RBlIIIbcad(9)(9)(8)(8)2 2、當(dāng)正方體轉(zhuǎn)動到任意位置

7、當(dāng)正方體轉(zhuǎn)動到任意位置( (對角線對角線dbdb與磁場夾角為任意與磁場夾角為任意) )時，時，通過通過aaaa、cccc、bbbb、dddd的電流的電流sin422RBlIIIbaadaasin422RBlIIIcdbccccos422RBlIIIbcbabbcos422RBlIIIcdaddd(13)(13)(12)(12)(11)(11)(10)(10)為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩等于磁場對電路作用的合力矩，即為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩等于磁場對電路作用的合力矩，即aaccaaBlIFFbbddbbBlIIFcos222sin222lFlFMbbaaRlBM242專題十五感生

8、電動勢和感生電場專題十五感生電動勢和感生電場( (渦旋電場渦旋電場) )(BvEqFSttBlEK感生電動勢的非靜電力？感生電動勢的非靜電力？StB感生電動勢計算公式：感生電動勢計算公式： 磁場隨量間變化時能在周圍空間激發(fā)電場。稱這種電場為感生電場或磁場隨量間變化時能在周圍空間激發(fā)電場。稱這種電場為感生電場或渦旋電場，用渦旋電場，用 表示。表示。KESdtBS或或1 1、感生電動勢、感生電動勢kr2krR22(rR)(rR)KEkSkS(rR)( rR)SdtBl dESLKrStBlESLK或或 長圓柱形均勻磁場區(qū)的渦旋電場長圓柱形均勻磁場區(qū)的渦旋電場顯然有顯然有 解解P 點在磁場區(qū)域內(nèi)，點

9、在磁場區(qū)域內(nèi)，xkRkxRkSAP22sin21OAP1P 點在磁場區(qū)域外點在磁場區(qū)域外,:2Rx :2Rx )2(sin212cos2)sin21(22OCDOAC2kRRRRkSSkAP）扇形)1 (2122kRAP)sin(sin2RRx)sin(cos21)2()sin()2(sin4RxRxRcos2)2(sin2)2(RxRxRxRx)2(tanxRx)2(arctan)2arctan1 (2122xRxkRAP20rr/)(0t0解解 注意到注意到 21)(iiiiiirrrrrr例例iiiiiiirrrrrSq0204222iiiiiirrrrrS2)(22t0iiiirrqI

10、022202iiiiirrkrIkBiiiiiiiirrrrrrrr11111221120)(2aaaakB2021120)(2aaaaakBS20r20211202021120)(2)(2aaaaaktaaaaaktE)()(402221212303020taRaaaakBIaF02aBIxBIxBIfy2021120)(2aaRaaakREI322rIakBmCLCRElE2（1）)11(4)(4)(221222122132iimiiimiiiimiiirrIakrrrIakrrrrIakSBRIkarrIakmRiiimSi221224)11(4（2）（3）切斷電流，磁場消失，磁鑀改變量

11、：切斷電流，磁場消失，磁鑀改變量：由（由（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得ttRIkaEmC222渦旋電場沿順時針方向渦旋電場沿順時針方向，渦旋電場，渦旋電場對對4個電荷作用力的合力為零，合力個電荷作用力的合力為零，合力矩矩 L 不為零，小球帶動圓盤轉(zhuǎn)動。不為零，小球帶動圓盤轉(zhuǎn)動。tRqIakRqELmC284（4）（5）4 4個小球的沖量矩為個小球的沖量矩為RqIaktLm28（6）設(shè)小球的轉(zhuǎn)動角速度為設(shè)小球的轉(zhuǎn)動角速度為，則由角動量定理得，則由角動量定理得RqIakmRmvRm2284)(4（7）322mRqIakm（8）金屬小球轉(zhuǎn)動時受金屬小球轉(zhuǎn)動時受 B B0 0 的

12、磁場力，其方向沿圓盤半徑指向圓心，大小為的磁場力，其方向沿圓盤半徑指向圓心，大小為ImRBqakRBqfmB202202（9）任一金屬小球受另外三個金屬小球的電場力沿圓盤半徑方向，大小為任一金屬小球受另外三個金屬小球的電場力沿圓盤半徑方向，大小為22224)221 ()224(RqkRqRqqkfeee（10）設(shè)圓盤設(shè)圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動后穩(wěn)定轉(zhuǎn)動后，在水平方向?qū)γ總€金屬小球作用力的大小為，在水平方向?qū)γ總€金屬小球作用力的大小為 f ,f ,則則RmfffeB2ImRqakRqkImRqakfmem2222225242224)221 (2（11）專題十六自感應(yīng)互感應(yīng)專題十六自感應(yīng)互感應(yīng)（1）、自感系數(shù)

13、）、自感系數(shù):LIIL（2）、自感電動勢）、自感電動勢:tILtLIt)(VnL20例例:質(zhì)量為質(zhì)量為m 的導(dǎo)體棒橫跨在寬度為的導(dǎo)體棒橫跨在寬度為l l 的傾斜的傾斜光滑平行金屬導(dǎo)軌上光滑平行金屬導(dǎo)軌上( (如圖如圖),),若開關(guān)若開關(guān)依次接通依次接通1 1、2 2、3 3，不計，不計導(dǎo)體導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻，當(dāng)從靜止釋放導(dǎo)體棒棒和導(dǎo)軌的電阻，當(dāng)從靜止釋放導(dǎo)體棒后，求在三種情況下穩(wěn)定運動的狀態(tài)。后，求在三種情況下穩(wěn)定運動的狀態(tài)。解解: （1）接通）接通R ，導(dǎo)體棒受力為，導(dǎo)體棒受力為lBRvBlmgFsin1、自感、自感應(yīng)應(yīng):穩(wěn)定運動條件：穩(wěn)定運動條件：sin22lBmgRvv穩(wěn)定lBtvBlC

14、mgFsin棒勻速運動速度：棒勻速運動速度：（2）接通）接通C ，流過電容器的電流為，流過電容器的電流為0sinlBRvBlmgFtvBlCtCi導(dǎo)體棒受力為：導(dǎo)體棒受力為：棒的運動方程為：棒的運動方程為：maCalBmgF22sin導(dǎo)體棒作勻加速運動的加速度為：導(dǎo)體棒作勻加速運動的加速度為：ClBmmga22sin（3）接通）接通L ，電感電壓、電流關(guān)系為：，電感電壓、電流關(guān)系為：tiLvBlxLBltvLBlixLBli （初值為零）（初值為零）將坐標(biāo)原點移至將坐標(biāo)原點移至A點，導(dǎo)體棒下滑至距點，導(dǎo)體棒下滑至距A點點 x 處時受力為處時受力為xLlBmgF22sin)sin(22maxLl

15、BmgF棒的運動方程為：棒的運動方程為：22sinlBmgLAx受力為零時受力為零時2222)(sinxLlBxALlBmgF導(dǎo)體棒作簡諧振動，頻率、振幅和運動方程分別為導(dǎo)體棒作簡諧振動，頻率、振幅和運動方程分別為mLBl22sinlBmgLA 1)2cos(tTAx)sin(22maxLlBmgFmLlB22222sinlBmgLxpsin2222gxmLlBdtxd)cos(tAxh0, 0,0vxt時故故22sin)cos(lBmgLtAx22sincoslBmgLA22sin)cos(lBmgLtAx)sin(tAv0sinA22sinlBmgLABlmLT22 1)2cos(tTAx

16、證明以上結(jié)果證明以上結(jié)果令令例例 圖圖 OxyOxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在x x0 0的一側(cè)，存的一側(cè)，存在勻強磁場，磁場方向垂直于在勻強磁場，磁場方向垂直于OxyOxy平面向里，磁感應(yīng)強度的大小為平面向里，磁感應(yīng)強度的大小為B B在在x x0 0的一側(cè)，一邊長分別為的一側(cè)，一邊長分別為l l1 1、和、和l l2 2的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上，框內(nèi)無電流，框的一對邊與面上，框內(nèi)無電流，框的一對邊與x x軸平行線框的質(zhì)量為軸平行線框的質(zhì)量為m m，自感為，自感為L L現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x x軸方向以初速度軸方

17、向以初速度v v0 0進人磁場區(qū)域試定量地討論進人磁場區(qū)域試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度v v0 0大小的關(guān)系（假定線框在大小的關(guān)系（假定線框在運動過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）運動過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）tiLEL框的初速度框的初速度v0較小，簡諧振動，有較小，簡諧振動，有 振動的振幅振動的振幅 ：例例運動方程為：運動方程為： 半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度v0向左勻速運動。因為在這向左勻速運動。因為在這種情況下種情況下xm的最大值是的最大值是l1，故有，故有發(fā)生第種情況要求：發(fā)生第種情況要求： 當(dāng)當(dāng)時

18、運動方程不變，線框剛?cè)窟M入磁場的時刻為時運動方程不變，線框剛?cè)窟M入磁場的時刻為t1線框全部進入磁場區(qū)域后勻速前進，由線框全部進入磁場區(qū)域后勻速前進，由 求得運動速度：求得運動速度：LIzBrLIBrZ)21 (02020（1 1）002000, 0, 00LIBrIIrzt時，（3 3）（4 4）（2 2）由于超導(dǎo)圓環(huán)磁通保持不變，故有，即由于超導(dǎo)圓環(huán)磁通保持不變，故有，即0020020)21 (LIBrLIzBr0由（由（3 3）式解得）式解得00202)(IzBrLzI（6 6）（7 7）（5 5）0000200002)2(2)()(FkzrIzBrLrBrzIzBFrA0200040

19、202224IrBFrBLk 式中式中作用在圓環(huán)上的合力為作用在圓環(huán)上的合力為)()()()(0FmgkzzFzFzFgA設(shè)圓環(huán)平衡位置在設(shè)圓環(huán)平衡位置在 z z0 0 處，則處，則0)()(000FmgkzzF4020220200004)2(rBLIrBmgkFmgz（1010）（9 9）（8 8）mLrBmk2002圓環(huán)圓環(huán) t t 時刻的坐標(biāo)為時刻的坐標(biāo)為)cos()(00tAztz0)0(0)0( tvtzz由是給初始條件得由是給初始條件得0sin.0cos000AAz（1111）（1212）0.00zA 1)2cos(4)2() 1(coscos)(2004020220200000t

20、mLrBrBLIrBmgtztzztz（1414）（1313）2 2、將（、將（1313）式代入（）式代入（4 4）式得）式得2002000200020002000200200020000202)2cos()2( 1)2)cos(2( 1)2cos(2)2()(2)(rBmgtmLrBIrBmgItmLrBIrBmgItmLrBrBLIrBmgItzBrLtI例例 一圓柱形小永久磁棒豎直放置一圓柱形小永久磁棒豎直放置( (如圖如圖) ) ，在其正上方離棒中心，在其正上方離棒中心1 1 m m處處的的磁感應(yīng)強度為磁感應(yīng)強度為B B。, ,一超導(dǎo)圓形小線圈自遠(yuǎn)處移至磁棒正上方，與棒共軸，一超導(dǎo)圓形

21、小線圈自遠(yuǎn)處移至磁棒正上方，與棒共軸，設(shè)線圈的半徑為設(shè)線圈的半徑為a，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，自感為，自感為L，線圈只能上下運動，線圈只能上下運動求平衡時線圈離棒中心的高度求平衡時線圈離棒中心的高度Z0已知已知aZ0; (2) 求線圈受小擾動后作上下小振動的周期（用求線圈受小擾動后作上下小振動的周期（用Z0表示）表示）.30304224ZmrmB4200mB30ZBB NS30ZBBZ0IRdtd0常量解解：(1) 小磁棒看成一小線圈磁矩，則小磁棒看成一小線圈磁矩，則Z處的磁場可表示為處的磁場可表示為 當(dāng)線圈平衡在當(dāng)線圈平衡在 Z0處時，設(shè)線圈中的電流為處時，設(shè)線圈中的電流為I0，則有，則有 (1)(2)0ZB02300LIa30200LZaBI(3)(4)ZaBaZZBaZBrZZ2)()(22ZBaBZZZZBZZBr23)(06230304023ZaBBr(5)用磁場的高斯定理求用磁場的高斯定理求Br:0 SdBmgazBIr2)