節(jié)誤差合成與分配

1、第3 3章 誤差的合成與分配教學(xué)目標(biāo)本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了微小誤差的取舍、最佳測量方案的確定等問題 。通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和分配。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 函數(shù)系統(tǒng)誤差 函數(shù)隨機(jī)誤差 函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算 隨機(jī)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成 誤差分配 微小誤差取舍準(zhǔn)則 最佳測量方案的確定 第一節(jié)函數(shù)誤差間接測量間接測量 函數(shù)誤差函數(shù)誤差 間接測得的被測量誤差也應(yīng)是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差函數(shù)誤差 通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測量 一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算一、函數(shù)

2、系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測量的數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測量值 y 間接測量值12,nx xx求上述函數(shù) y 的全微分，其表達(dá)式為：nndxxfdxxfdxxfdy2211 和 的量綱或單位不相同，則 起到誤差單位換算的作用 和 的量綱或單位相同，則 起到誤差放大或縮小的作用由 y 的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差 的計(jì)算公式y(tǒng)1212.nnfffyxxxxxx 為各個(gè)輸入量在該測量點(diǎn) 處的誤差傳播系數(shù) (1,2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差 1、線性函數(shù)1 122.nnya xa xa

3、x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函數(shù)形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系統(tǒng)誤差公式當(dāng) 當(dāng)函數(shù)為各測量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測量值系統(tǒng)誤差之和 【例】 用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦長s = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差 h = -0.1mm , 玄長的系統(tǒng)誤差 h = -1mm 。試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果。 【解】建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型 24lDhhD2lh 不考

4、慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在 處的直徑測量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh車間工人測量弓高 h 、弦長 l 的系統(tǒng)誤差 5050.10.1mmh 5004991mml 直徑的系統(tǒng)誤差: 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的測量結(jié)果: 013007.41292.6mmDDD計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：誤差傳遞系數(shù)為: 二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx變量中只有隨機(jī)誤差泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值函數(shù)的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx1

5、21212( ,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx即：可得：2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 或 第i個(gè)直接測得量 的標(biāo)準(zhǔn)差 xiix 第i個(gè)測量值和第j個(gè)測量值之間的相關(guān)系數(shù) ij 第i個(gè)測量值和第j個(gè)測量值之間的協(xié)方差 ijijxixjD 第i個(gè)直接測得量 對間接量 在該測量點(diǎn) 處的誤差傳播系數(shù) ifxixy12( ,)nx xx22222221212yxxxnnfffxxx2222221

6、212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 若各測量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng) iifax令2222221122yxxnxnaaa則 當(dāng)各個(gè)測量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i個(gè)直接測得量 的極限誤差 xiix三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1） 正弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,sin212） 余弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cos21三角函數(shù)標(biāo)

7、準(zhǔn)差計(jì)算三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算3） 正切函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4） 余弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf【解】【解】【例】【例】 用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦長s = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差 h = -0.1mm , 玄長的系統(tǒng)誤差 h = -1mm 。試求測量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測量結(jié)果。已知： ，0.

8、005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有修正后的測量結(jié)果 01292.6mmDDD0.13mmD相關(guān)系數(shù)對函數(shù)誤差的影響相關(guān)系數(shù)對函數(shù)誤差的影響 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性關(guān)聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線性的傳播關(guān)系 函數(shù)隨機(jī)誤差公式ij當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)2 2、 相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)的確定

9、相關(guān)系數(shù)的確定可判斷 的情形 0ij 斷定 與 兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響 ixjx 當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然 與 屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量 ixjx 與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān) ixjx可判斷 或 的情形 斷定 與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系 ixjx當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然 與 屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測2m尺，則各米分量間完全正相關(guān) ixjx1ij 1ij nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3

10、n4n1022()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 根據(jù) 的多組測量的對應(yīng)值 ，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù) ( ,)ijx x,ikjkxx 、 分別為 、 的算術(shù)平均值 ixjxikxjkx 任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。 標(biāo)準(zhǔn)差合成 極限誤差合成解決隨機(jī)誤差的合成問題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響 隨機(jī)誤差的合成形式包括：一、標(biāo)準(zhǔn)差合成一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)

11、差表達(dá)式合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差 12,q 誤差傳播系數(shù) 12,qa aav 由間接測量的顯函數(shù)模型求得 v 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出 v 知道影響測量結(jié)果的誤差因素 而不知道每個(gè) 和 iiiyaiaiiiafx 當(dāng)誤差傳播系數(shù) 、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形 若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù) 21()qiiia21qii0ij1ia 則合成標(biāo)準(zhǔn)差 用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡單方便，而且無論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差 視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個(gè)誤差分量已經(jīng)

12、折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量 二、極限誤差合成二、極限誤差合成 單項(xiàng)極限誤差單項(xiàng)極限誤差: : 1,2,.,iiikiq 單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差合成極限誤差: : kiik 合成標(biāo)準(zhǔn)差 合成極限誤差的置信系數(shù) k合成極限誤差計(jì)算公式合成極限誤差計(jì)算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成 各個(gè)置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān) ikk 對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同 對于不同分布的誤差，選定相同的置信

13、概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同 ij 為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布12qkkkk合成極限誤差：合成極限誤差： 若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式 時(shí)：此時(shí)一、已定系統(tǒng)誤差的合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類：系統(tǒng)誤差

14、的分類： 1） 已定系統(tǒng)誤差2） 未定系統(tǒng)誤差定義定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號：表示符號：合成方法合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成按照代數(shù)和法進(jìn)行合成riiiai 為第i個(gè)系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數(shù) 系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后在測量結(jié)果中消除二、未定系統(tǒng)誤差的合成二、未定系統(tǒng)誤差的合成 （一）（一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定定義定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過某一范圍 e 的系統(tǒng)誤差特征特征：1） 在測量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差

15、在重復(fù)測量中不具有低償性2） 隨機(jī)性。當(dāng)測量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。表示符號：表示符號： 極限誤差：極限誤差：e 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：u1、標(biāo)準(zhǔn)差合成、標(biāo)準(zhǔn)差合成（一）（一） 未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。 同隨機(jī)誤差的合成時(shí)，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即克可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可

16、以按照極限誤差的形式合成。 若測量過程中有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 u1，u2，us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，as ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差 u 為:則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij 為第 i 個(gè)和第 j 個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute當(dāng) ij=0 時(shí)2、極限誤差的合成、極限誤差的合成 因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:si,2, 1tueisjijijiijsiiiuuaauate1122 若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：sjijjiij

17、iijsiiiitutuaatuate1122siiieatu12或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為： 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無關(guān)，即 ，則上式可簡化為：0ij一、按極限誤差合成一、按極限誤差合成 誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差誤差形式合成、按標(biāo)準(zhǔn)差形式合成。 測量過程中，假定有 r 個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：qsreee,2121211、單次測量情況、單次測量情況 若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：Rttetqiiisiiirii121

18、21總式中，R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測量結(jié)果總的極限誤差可簡化為：qiisiiriie12121總 一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：qiisiie1212總2、n 次重復(fù)測量情況次重復(fù)測量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測量次數(shù) n 。qiisiine12121總總極限誤差變?yōu)椋憾?、按?biāo)準(zhǔn)差合成二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成 測量過程中，假定有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)

19、誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：qsuuu,21211、單次測量情況、單次測量情況 若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。 若用標(biāo)準(zhǔn)差來表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。Ruqiisii1212 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：qiisiiu12122、n 次重復(fù)測量情況次重復(fù)測量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測量次數(shù) n 。qiisi

20、inu12121總極限誤差變?yōu)椋骸纠俊纠?在萬能工具顯微鏡上用影像法測量某一平面工件的長度共兩次，測得結(jié)果分別為 ， ，已知工件的和高度為 ，求測量結(jié)果及其極限誤差。150.026mml 250.025mml 80mmH 序號123456誤差因素極限誤差/m隨機(jī)誤差 未定系統(tǒng)誤差備注阿貝誤差光學(xué)刻尺刻度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差瞄準(zhǔn)誤差光學(xué)刻尺檢定誤差0.810.50.351.251未修正時(shí)計(jì)入總誤差修正時(shí)計(jì)入總誤差根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測量過程中主要的誤差見表?！窘狻俊窘狻績纱螠y量結(jié)果的平均值為:01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll 根據(jù)萬能

21、工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在 50mm 范圍內(nèi)的誤差 =-0.0008mm ，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正。則測量結(jié)果為：050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL 在萬工顯上用影像法測量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差分析如下：1、隨機(jī)誤差 由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)引起，其極限誤差分別為 1）讀數(shù)誤差： 2）瞄準(zhǔn)誤差：m8 . 01m0 . 122、未定系統(tǒng)誤差 由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為 1）阿貝誤差： 2）瞄準(zhǔn)誤差：mmHLe0 . 14000508040001mmme25. 1)200501 ()20011 (2 3）溫度誤差：mmmLe35. 0700507

22、70073 4）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：me5 . 043、計(jì)算測量值及其誤差 計(jì)算測量值的誤差時(shí)有兩種方法：方法1當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)23221122222121(10.8 )(11.250.35 )21.870.0019mmijije m測量結(jié)果可表示為： 050.0255mm0.0019mmL 方法2當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí) 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 【例例】 用TC328B型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量 ，求測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。14.00

23、4gM (1)隨機(jī)誤差: 天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為 10.05mg(2)未定系統(tǒng)誤差: 標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。砝碼誤差: 天平稱量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)，即的一個(gè)， 的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為:10g20g故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為 根據(jù)TC328B型天平的稱重方法，其測量結(jié)果的主要誤差如下：mgumgu2 . 0,4 . 01211mmuuu5 . 02 . 024 . 02222122111 天平示值誤差 該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為:mg

24、u03. 02 三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為 最后測量結(jié)果應(yīng)表示為（倍標(biāo)準(zhǔn)差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)(5 . 0mg誤差分配誤差分配 給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。 在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。 假設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有：y22212yyyny 若已經(jīng)給定 ，如何確定 Di 或相應(yīng)的 i ,使其滿足22221nyDDD式中， 稱為部分誤差，或局部誤差iiiiiaxfD一、按等影響原則分配誤差一、按等影響原則分配誤差

25、等影響原則等影響原則： 各分項(xiàng)誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即 12yyyynn由此可得： 11/yyiiifxann或用極限誤差表示： 11/iiifxann 函數(shù)的總極限誤差 各單項(xiàng)誤差的極限誤差 i 進(jìn)行誤差分配時(shí)，一般應(yīng)按照下述步驟：二、按可能性調(diào)整誤差二、按可能性調(diào)整誤差 (1) 對各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會造成對部分測量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級的儀器，或者以增加測量次數(shù)及測量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性按等影響原則分配誤差的不合理性 (2) 當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所

26、以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。 在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對難以實(shí)現(xiàn)測量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。 測量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測量圓柱直徑 D 及高度 h，根據(jù)函數(shù)式 三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。 【例】【例】24DVh求得體積 V ，若要求測量體積的相對

27、誤差為1，已知直徑和高度的公稱值分別為 ， 試確定直徑 D 及高度 h 的準(zhǔn)確度。 020mmD 050mmh 一、按等影響分配原則分配誤差一、按等影響分配原則分配誤差得到測量直徑 D 與高度 h 的極限誤差: 120.071mmVVDVDhnnD2140.351mmVVhVDnnh【解】【解】 計(jì)算體積 0V2230003.1416 205015708mm44DVh體積的絕對誤差: 3301%15708mm1%157.08mmVV 用這兩種量具測量的體積極限誤差為 222278.54VDhVVmmDh因?yàn)?3378.54157.08Vmmmm 查資料，可用分度值為0.1mm的游標(biāo)卡尺測高 ，

28、在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標(biāo)卡尺測直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm二、調(diào)整后的測量極限誤差二、調(diào)整后的測量極限誤差 顯然采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為 。此時(shí)測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。 0.08mm調(diào)整后的實(shí)際測量極限誤差為 22222128.1524VDhDhDmm因?yàn)?33128.15157.08Vmmmm 因此調(diào)整后用一把游標(biāo)卡尺測量直

29、徑和高度即能保證測量準(zhǔn)確度。 微小誤差微小誤差 測量過程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對測量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差。已知測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差： 若將其中的部分誤差取出后，則得 如果 ，yy則稱為微小誤差 2212212221nkkkyDDDDDDkDkD221212221nkkyDDDDD測量誤差的有效數(shù)字取一位：測量誤差的有效數(shù)字取一位： 某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足： (0.4 0.3)yky13yky或則對測量結(jié)果的誤差計(jì)算沒有影響。 測量誤差的有效數(shù)字取二位：測量誤差的有效數(shù)字取二位： (0.14 0.1)yky或110yky 對于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準(zhǔn)則是被舍去的

30、誤差必須小于或等于測量結(jié)果的十分之一到三分之一。對于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。 某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足： 應(yīng)用：應(yīng)用： 計(jì)算總誤差或進(jìn)行誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不靠率該項(xiàng)誤差對總誤差的影響。 選擇高一級精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時(shí)，其誤差一般應(yīng)為被檢器具允許誤差的1/103/10。最佳測量方案的確定：最佳測量方案的確定： 當(dāng)測量結(jié)果與多個(gè)測量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測量結(jié)果的誤差最小。 研究間接測量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測量方案。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為： 2222221212yxxxnnfffxxx欲使 為最小，可從哪幾方面來考慮？ y考慮因素：考慮因素： 因?yàn)橐?/p>

31、定系統(tǒng)誤差可以通過誤差修正的方法來消除，所以設(shè)計(jì)最佳測量方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。 研究對象和目標(biāo)：研究對象和目標(biāo)： 一、選擇最佳函數(shù)誤差公式一、選擇最佳函數(shù)誤差公式 間接測量中如果可由不同的函數(shù)公式來表示，則應(yīng)選取包含直接測量值最小的函數(shù)公式。 不同的數(shù)學(xué)公式所包含的直接測量值數(shù)目相同，則應(yīng)選取誤差較小的直接測量值的函數(shù)公式。 LLLdd1212【例例】用分度值為O.05mm游標(biāo)卡尺測量兩軸的中心距L，試選擇最佳測量方案。 10.5dm20.7dm10.8Lm21.0Lm 已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為:方法一 ：測量兩軸直徑 d1、d2 和外尺寸 L1，其函數(shù)式及誤差為1212

32、2ddLL12222ddLL1222LLL 22222110.80.50.70.9122Lm22222111.00.50.71.0922Lm2222110.81.00.6422Lm 由計(jì)算結(jié)果可知，方法三誤差最小，方法二誤差最大，這是因?yàn)榉椒ǘ暮瘮?shù)式最簡單，而方法二包含的直接量較多。【解解】測量中心距L有下列三種方法：方法二 ：測量兩軸直徑 d1、d2 和外尺寸 L2，其函數(shù)式及誤差為方法三 ：測量內(nèi)尺寸 L2 和外尺寸 L2，其函數(shù)式及誤差為二、使誤差傳播系數(shù)盡量小二、使誤差傳播系數(shù)盡量小 由函數(shù)誤差公式，若使各個(gè)測量值對函數(shù)的誤差傳播系數(shù) 或?yàn)樽钚?，則函數(shù)誤差可相應(yīng)減少。 /0ifx 根

33、據(jù)這個(gè)原則，對某些測量實(shí)踐，盡管有時(shí)不可能達(dá)到使 等于零的測量條件，但卻指出了達(dá)到最佳測量方案的趨向。/ifx【例例】用弓高弦長法測量工件直徑，已知其函數(shù)式為: 24lDhh試確定最佳測量方案。【解解】由函數(shù)式求得函數(shù)誤差的誤差表達(dá)式： 222222124DlhllhhD2lh欲使 為最小，必須滿足： D1、使 滿足此條件，必須 ，但由圖中幾何關(guān)系可知，此時(shí)有 ，因而無實(shí)際意義。 (2 )0lh 0l 0h 2、使 為最小 若滿足 為最小，則 值愈大愈好，即 值愈接近直徑愈好。 (2 )lh(2 )lh2hl3、使 滿足此條件，必須使 ，即要求直接測量直徑，才能消除 對函數(shù)誤差 的影響。22(

34、4) 10lh 2lhhD 由上述分析可知，欲使為 最小，必須測量直徑，此時(shí)弓高的測量誤差 已不影響直徑的測量準(zhǔn)確度，而只有弦長的測量誤差 影響直徑的測量準(zhǔn)確度。但對大直徑測量，此條件難以滿足，不過他指出了當(dāng) 值愈接近值 時(shí)，直徑的測量誤差也越小 Dhlh2l分析：分析： 一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測量的數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測量值 y 間接測量值12,nx xx求上述函數(shù) y 的全微分，其表達(dá)式為：nndxxfdxxfdxxfdy2211三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1） 正弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,sin212） 余弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cos21三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算3） 正切函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4） 余弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)