第10章壓桿穩(wěn)定

1、南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)2/100南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)3/100(a)(b)(a): 木桿的橫截面為矩形木桿的橫截面為矩形（1 2cm), 高為高為3cm，當(dāng)荷載重量為當(dāng)荷載重量為6kN 時(shí)桿還不致破壞時(shí)桿還不致破壞。(b): 木木桿的橫截面與桿的橫截面與(a)相同，高為相同，高為 1.4m(細(xì)長(zhǎng)壓桿）細(xì)長(zhǎng)壓桿），當(dāng)壓力為當(dāng)壓力為 0.1KN時(shí)桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。時(shí)桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。 南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)4/100P塑性材料 P脆性材料AP0南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)5/100bs或南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大

2、學(xué)學(xué)6/100穩(wěn)定性穩(wěn)定性：指構(gòu)件或體系保持其原有平衡狀態(tài)的能力。：指構(gòu)件或體系保持其原有平衡狀態(tài)的能力。失穩(wěn)失穩(wěn)：指構(gòu)件或體系喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，：指構(gòu)件或體系喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)。由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)。南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)7/100 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。 翻斗車液壓機(jī)構(gòu)中的頂桿翻斗車液壓機(jī)構(gòu)中的頂桿南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)8/100運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中的穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的

3、作用下，保持是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。 南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)9/100 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。 南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)10/100南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)11/100南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)12/100平衡的三種狀態(tài)平衡的三種狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡剛性圓球受干擾力，剛球離開原位置；干擾力撤消：平衡剛性圓球受干擾

4、力，剛球離開原位置；干擾力撤消：穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 凹面上，剛球回到原位置；凹面上，剛球回到原位置；隨遇平衡隨遇平衡 平面上，剛球在新位置上平衡；平面上，剛球在新位置上平衡；不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 凸面上，剛球不回到原位置，凸面上，剛球不回到原位置， 而是偏離到遠(yuǎn)處去。而是偏離到遠(yuǎn)處去。南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)13/100F1FFFFcrFFcrFFcr穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)干擾力干擾力南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)14/100南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)15/100南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)16/100 假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下

5、壓桿假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)17/100M (x) = FP w (x)22dd-)(xwEIxM0dd222wkxwEIFkP2 假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)。考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡：微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)18/100微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx邊界條件邊界條件w ( 0 ) = 0 , w( l ) =

6、00dd222wkxwEIFkP2南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)19/100微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx邊界條件邊界條件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 000sincos0ABklAklB1010sincosklklsin0kl 根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，上述方程中，常數(shù)根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，上述方程中，常數(shù)A、B不全為零的條件是他們的系數(shù)行列式等于零：不全為零的條件是他們的系數(shù)行列式等于零：南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)20/100由此得到由此得到臨界載荷臨界載荷最小臨界載荷最小臨界載荷22PcrlEIF222PcrlEInFsin0kl ,1 2,

7、 ,klnnEIFkP2南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)21/100對(duì)于矩形截面對(duì)于矩形截面,1213bhIz3121hbIybhyzII zybh所以矩形截面壓桿首先在所以矩形截面壓桿首先在xz平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲，（即繞平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲，（即繞 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)）軸轉(zhuǎn)動(dòng)）xyzhb 1）分析：）分析： 矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？FF南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)22/100位移曲線為一半波正弦曲線。位移曲線為一半波正弦曲線。,2時(shí)lx Awwlmax)2(A為壓桿中點(diǎn)撓度。為壓桿中點(diǎn)撓度。南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)23/100pFl2l南南

8、 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)24/100CyBC段段,曲線上凸曲線上凸,; 0101CA段段,曲線下凸曲線下凸,0)1(C0CM即0.7l南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)25/1000.5lCD同理同理0, 0DCMM南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)26/100臨界載荷歐拉公式的一般形式臨界載荷歐拉公式的一般形式: :一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.02.0一端鉸支，一端固定一端鉸支，一端固定 : : 0.70.7 兩端固定兩端固定 : : 0.50.5 兩端鉸支兩端鉸支 : : 1.01.022cr)(lEIF南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)27/100Fcrl支承

9、情況支承情況兩端鉸支兩端鉸支一端固定一端固定一端鉸支一端鉸支兩端固定，兩端固定，但可沿縱向但可沿縱向相對(duì)移動(dòng)相對(duì)移動(dòng)一端固定一端固定一端自由一端自由兩端固定，兩端固定，但可沿橫向但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀臨界力臨界力長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)lFcrl0.5lFcr= 1= 0.7= 0.5= 2= 12llFcrFcr0.7ll22lEIFcr22rc)7 . 0(lEIF22)5 . 0(lEIFrc22(2 )crEIFl22lEIFcr南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)28/100 柔度柔度(細(xì)長(zhǎng)比細(xì)長(zhǎng)比)： iL一、歐拉臨界應(yīng)力公式及使用范圍一、歐拉臨界應(yīng)力公式

10、及使用范圍 1.細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力：臨界力除以壓桿橫截面面積臨界力除以壓桿橫截面面積得到的壓應(yīng)力，用得到的壓應(yīng)力，用 cr表示；表示；2222)/()(iLEALEIAFcrcr 橫截面對(duì)微彎中性軸的橫截面對(duì)微彎中性軸的慣性半徑慣性半徑； AIi 歐拉臨界應(yīng)力公式：歐拉臨界應(yīng)力公式： 22crE 南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)29/100線彈性狀態(tài)：線彈性狀態(tài)： cr p，即，即 p22E p2pp2EE ，則則 p細(xì)長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿(大柔度桿大柔度桿)，歐拉公式的適用范圍；，歐拉公式的適用范圍； 對(duì)于對(duì)于Q235鋼，鋼，E=200GPa， p=200MPa： 10010200

11、10200692p 用柔度表示的臨界壓力：用柔度表示的臨界壓力：AEFcr22南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)30/1001.1.s cr p時(shí)采用經(jīng)驗(yàn)公式：時(shí)采用經(jīng)驗(yàn)公式： bacr1) crn。 、穩(wěn)定條件還可寫成：、穩(wěn)定條件還可寫成：maxmaxcrcrwstFnnF nw工作安全因數(shù)工作安全因數(shù)南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)41/100表表 常用零件常用零件nst的取值范圍的取值范圍南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)42/100 考慮考慮到臨界應(yīng)力到臨界應(yīng)力cr是柔度是柔度的函數(shù)，安全因數(shù)的函數(shù)，安全因數(shù)nst也也因壓桿柔度不同而規(guī)定不同的數(shù)值，這都說明穩(wěn)定許因壓桿柔度不同而規(guī)定

12、不同的數(shù)值，這都說明穩(wěn)定許可應(yīng)力可應(yīng)力st對(duì)柔度對(duì)柔度依賴敏感。穩(wěn)定條件可寫成依賴敏感。穩(wěn)定條件可寫成() c rs ts tn st穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力； 強(qiáng)度許用應(yīng)力強(qiáng)度許用應(yīng)力； j jzyz，可以判定失穩(wěn)首先發(fā)生在，可以判定失穩(wěn)首先發(fā)生在xzxz平面內(nèi)，注意到平面內(nèi)，注意到y(tǒng)pyp屬于細(xì)長(zhǎng)桿，可使用歐拉公式屬于細(xì)長(zhǎng)桿，可使用歐拉公式南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)60/100例例 MPa200,MPa235psxyxz南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)61/100zzzil35.99AIizzbhbh 12/3p2pExyzx考慮考慮xy平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)(繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng))12

13、h12/3 . 21h8 .132AIiyybhhb 12/3考慮考慮xz平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)(繞繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng))12byyyil12/3 . 25 . 0b6 .99pyz所以壓桿可能在所以壓桿可能在xy平面內(nèi)首平面內(nèi)首先失穩(wěn)先失穩(wěn)(繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)).南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)62/100其臨界壓力為其臨界壓力為AFcrcrbhEz22kN269pcrFFn150269793. 18 . 1stn所以壓桿的穩(wěn)定性是不安全的。所以壓桿的穩(wěn)定性是不安全的。南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)63/100例例 簡(jiǎn)易起重架由兩圓鋼桿組成，桿簡(jiǎn)易起重架由兩圓鋼桿組成，桿AB： ，桿，桿AC：

14、,兩桿材料均為兩桿材料均為Q235鋼鋼, ,規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)，試確定起重機(jī)架的最大起重量。數(shù)，試確定起重機(jī)架的最大起重量。mm301dmm202dMPa240,GPa200sE60,1000p2sn3stnmaxFF45A21CB0.6m南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)64/100解解:.受力分析受力分析AF1NFN2F)()(22N1N壓，拉FFFF2. 由桿由桿AC的強(qiáng)度條件確定的強(qiáng)度條件確定 。maxF11N1AFssns1s2nAFkN7 .263. 由桿由桿AB的穩(wěn)定條件確定的穩(wěn)定條件確定 。maxFstN2crnFFn南南 京京 工工

15、 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)65/10022il柔度柔度:4/6 . 012d80因此因此2crcrAF2)(AbakN47.151226410)8012. 1304(dstcrN2nFFF347.151kN5 .50所以起重機(jī)架的最大起重量取決于桿所以起重機(jī)架的最大起重量取決于桿AC AC 的強(qiáng)度，為的強(qiáng)度，為kN7 .26maxF南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)66/100 例例 確定圖示連桿的確定圖示連桿的許用壓力許用壓力Fcr。已知。已知連 桿 橫 截 面 面 積連 桿 橫 截 面 面 積A=720mm2，慣性矩，慣性矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4， p= 2 4 0 M

16、 P a ，E=2.1105MPa。連。連桿用硅鋼制成，穩(wěn)定桿用硅鋼制成，穩(wěn)定安全系數(shù)安全系數(shù)nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy 若在若在x y面內(nèi)失穩(wěn)，面內(nèi)失穩(wěn)， =1，柔度為：柔度為：解：解：(1)失穩(wěn)形式判斷失穩(wěn)形式判斷：7 .73720/105 . 67001A/ILiL4zz 若在若在x- -z平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)， =0.5，柔度為：，柔度為：所以連桿將在所以連桿將在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，其許用壓力應(yīng)由平面內(nèi)失穩(wěn)，其許用壓力應(yīng)由 z決定。決定。9 .39720/108 . 35805 . 0A/ILiL4yy 南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)67/100 (2)

17、確定許用壓力確定許用壓力： 由表查得硅鋼：由表查得硅鋼：a=578MPa，b=3.744MPa， s=353MPa，計(jì)算有關(guān)的，計(jì)算有關(guān)的 p和和 s為：為：60744. 335357893240101 . 2522baEsspp可見連桿為中柔度桿。其臨界載荷為：可見連桿為中柔度桿。其臨界載荷為：由此得連桿的許用壓力為：由此得連桿的許用壓力為： (3)討論：在此連桿中：討論：在此連桿中： z=73.7， y=39.9，兩者相差較大，兩者相差較大。最理想的設(shè)計(jì)是。最理想的設(shè)計(jì)是 y= z，以達(dá)到材盡其用的目的。，以達(dá)到材盡其用的目的。kNbaAFcr218)(kNnPFwcrcr3 .875 .

18、 2218南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)68/100解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFwnkN6 .26NF得ABAB桿桿il1m732. 130cos5 . 1l南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)69/100kN6 .26NFABAB桿桿il1m732. 130cos5 . 1l)mm164644222244dDdDdDAIiP1081610732. 113得ABAB為大柔度桿為大柔度桿)kN11822lEIPljNljFPn 342. 46 .26118wnABAB桿滿足穩(wěn)定性要求桿滿足穩(wěn)定性要求wn南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)70/100 例例 一端固定

19、，另一端自由一端固定，另一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿如圖所示。試導(dǎo)出其的細(xì)長(zhǎng)壓桿如圖所示。試導(dǎo)出其臨界力的歐拉公式。臨界力的歐拉公式。APcrLBd d 例例2 導(dǎo)出一端固定、另一導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支壓桿臨界力的端鉸支壓桿臨界力的 歐拉公式。歐拉公式。22cr)L7 . 0(EIP ABPcrL 例例3 試導(dǎo)出兩端固定壓桿的試導(dǎo)出兩端固定壓桿的歐拉公式。歐拉公式。 PcrL南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)71/100PcrLABd dPcrMA=Pcrd dyx失失穩(wěn)穩(wěn)模模式式如如圖圖 d d d d d d 0EI)L(MyyLxkEIPEIMy0y0y0 x2crA，：，：邊界條件：邊界條件：0CCCC000kLcoskkLsink11LkLcoskLsink00k00010k0101043212222 d d 分方程的通解得：分方程的通解得：將邊界條件代入統(tǒng)一微將邊界條件代入統(tǒng)一微0kLcos 為為：解解得得壓壓桿桿失失穩(wěn)穩(wěn)特特征征方方程程：系系數(shù)數(shù)行行列列式式值值為為零零；有有非非零零解解的的充充要要條條件件為為)210n(2nLEIPkLcr， 22cr)L2(EIP1n 為：為：壓桿臨界力的歐拉公式壓桿臨界力的歐拉公式，得一端固定一端自由，得一端固定一端自由取取相當(dāng)于相當(dāng)于2L長(zhǎng)兩端鉸支壓桿的臨界力長(zhǎng)兩端鉸支壓桿的臨界力南南 京京 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)72/100失