高中數(shù)學(xué)求值域的10種方法

1、求函數(shù)值域的十 種方法一一直直接接法法 （觀觀察察法法） ：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 1求函數(shù)1yx的值域?！窘馕觥? x ，11x ，函數(shù)1yx的值域為1,)?！揪毩?xí)】1求下列函數(shù)的值域：32( 11)yxx ；xxf42)(；1xxy；112 xy，2 , 1 , 0 , 1x。4【參考答案】 1,5；2,)；(,1)(1,)； 1,0,3。4二二配配方方法法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如2( )( )( )F xafxbf xc的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例 2求函數(shù)242yxx （ 1,1x ）的值域?！窘馕觥?242(2)6y

2、xxx 。11x ，321x ，21(2)9x，23(2)65x ，35y 。函數(shù)242yxx （ 1,1x ）的值域為 3,5。例 3求函數(shù))4, 0(422xxxy的值域。【解析】本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計算不妨設(shè)：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4, 0(4)2()(2xxxf利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得4, 0)(xf，從而得出：0,2y。說明：在求解值域(最值)時，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：0)(xf。例 4若, 42yx0, 0yx，試求yxlglg的最大值?！痉治雠c解】本題可看成第一象限內(nèi)動點( , )P x y在直線4

3、2yx上滑動時函數(shù)xyyxlglglg的最大值。利用兩點(4,0)，(0,2)確定一條直線，作出圖象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而，y=1 時，yxlglg取最大值2lg。【練習(xí)】2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：142xxy；4 , 3, 142xxxy； 1 , 0, 142xxxy；5 , 0, 142xxxy；xxxy422，4 ,41x；223yxx。56【參考答案】 3,)； 2,1； 2,1； 3,6；736,4；0,256三三反反函函數(shù)數(shù)法法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的

4、值域。適用類型：分子、分母只含有一次項的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型。例 5求函數(shù)12xxy的值域。分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。12xxy反解得yyx2，故函數(shù)的值域為(,2)(2,)?！揪毩?xí)】1求函數(shù)2332xyx的值域。2求函數(shù)axbycxd，0,dcxc 的值域?！緟⒖即鸢浮?22(, )( ,)33；(,)(,)aacc。四四分分離離 變變量量法法：適用類型 1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例 6：求函數(shù)125xyx的值域。解：177(25)1

5、12222525225xxyxxx ，72025x，12y ，函數(shù)125xyx的值域為1 |2y y 。適用類型 2：分式且分子、分母中有相似的項，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為)(xfky(為k常數(shù))的形式。例 7：求函數(shù)122xxxxy的值域。分析與解分析與解：觀察分子、分母中均含有xx 2項，可利用分離變量法；則有22221 111xxxxyxxxx 21113()24x 。不妨令：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf從而,43)(xf。注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除0)(xf，因為)(xf作為分母.所以4( )0,3g x故1 ,31y。另解另解：觀察知道本題中分子較為簡

6、單，可令222111xxtxxxx ，求出t的值域，進而可得到y(tǒng)的值域?！揪毩?xí)】1求函數(shù)132222xxxxy的值域?！緟⒖即鸢浮?10(2,3五五、換換元元法法：對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元三角換元。例 8：求函數(shù)212yxx的值域。解：令12tx（0t ），則212tx，22151()24yttt 。當(dāng)12t ，即38x 時，max54y，無最小值。函數(shù)212yxx的值域為5(, 4。例

7、 9：求函數(shù)221 (1)yxx的值域。解：因21 (1)0 x，即2(1)1x。故可令1cos,0, x ，1cossincos11cosy21)4sin(2。4544,0，2sin()124，02sin() 1 124 故所求函數(shù)的值域為21 , 0。例 10.求函數(shù)34221xxyxx的值域。解：原函數(shù)可變形為：222121211xxyxx 可令 X=tan，則有222221sin2 ,cos11xxxx11sin2cos2sin424y 當(dāng)28k時，max14y當(dāng)28k時，min14y 而此時tan有意義。故所求函數(shù)的值域為41,41 例 11. 求函數(shù)(sin1)(cos1)yxx，

8、,12 2x 的值域。解：(sin1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx令sincosxxt，則21sin cos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt 由sincos2sin()4txxx且,12 2x 可得：222t 當(dāng)2t 時，max322y，當(dāng)22t 時，3242y 故所求函數(shù)的值域為32 3,2422。 例 12. 求函數(shù)245yxx的值域。解：由250 x，可得|5x 故可令5cos,0, x 5cos45sin10sin()44y05444當(dāng)4時，max410y當(dāng)時，min45y故所求函數(shù)的值域為：45,410六六、判判別別式式法法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x

9、的二次方程( , )0F x y ；通過方程有實數(shù)根，判別式0 ，從而求得原函數(shù)的值域，形如21112222a xb xcya xb xc（1a、2a不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例 13：求函數(shù)2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx變形得2(1)(1)30yxyxy，當(dāng)1y 時，此方程無解；當(dāng)1y 時，xR，2(1)4(1)(3)0yyy ，解得1113y，又1y ，1113y函數(shù)2231xxyxx的值域為11 |13yy七七、函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性法法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例 14：求函數(shù)12yxx的值域。解：當(dāng)x增大

10、時，12x隨x的增大而減少，1 2x隨x的增大而增大，函數(shù)12yxx在定義域1(, 2上是增函數(shù)。1111 2222y ，函數(shù)12yxx的值域為1(, 2。例 15. 求函數(shù)11yxx 的值域。解：原函數(shù)可化為：1x1x2y令1, 121xyxy，顯然21y,y在, 1 上為無上界的增函數(shù)所以21yyy在, 1 上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng) x=1 時，21yyy有最小值2，原函數(shù)有最大值222顯然0y ，故原函數(shù)的值域為2, 0(適用類型 2：用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。（原理：同增異減原理：同增異減）例 16：求函數(shù))4(log221xxy的值域。分析與解：由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)（外層

11、函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：2( )4 ( ( )0)t xxx t x 配方得：2( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）知：), 2y。八八、利利用用有有界界性性：一般用于三角函數(shù)型，即利用 1 , 1cos,1 , 1sinxx等。例 17：求函數(shù)cossin3xyx的值域。解：由原函數(shù)式可得：sincos3yxxy，可化為：21sin ()3yx xy即23sin ()1yx xyxRsin () 1,1x x 即23111yy 解得：2244y故函數(shù)的值域為22,44注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法。coscos0sin3sin3

12、xxyxx，利用直線的斜率解題。例 18：求函數(shù)1 212xxy的值域。解：由1 212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y 函數(shù)1 212xxy的值域為( 1,1)y 。九、圖像法（數(shù)形 結(jié)合法）：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例 19：求函數(shù)|3|5|yxx的值域。解：22|3|5|822xyxxx (3)( 35)(5)xxx ，|3|5|yxx的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)|3|5|yxx的值域為8,) 例 20. 求函數(shù)22(2)(8)yxx的值域。解：原函數(shù)可化簡

13、得：|2|8|yxx上式可以看成數(shù)軸上點 P（x）到定點 A（2），( 8)B 間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點 P 在線段 AB 上時，|2|8| | 10yxxAB當(dāng)點 P 在線段 AB 的延長線或反向延長線上時，|2|8| | 10yxxAB85-3oyx故所求函數(shù)的值域為：10, 例 21. 求函數(shù)2261345yxxxx的值域。解：原函數(shù)可變形為：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成 x 軸上的點( ,0)P x到兩定點(3,2),( 2, 1)AB 的距離之和，由圖可知當(dāng)點 P 為線段與 x 軸的交點時，22min|(32)(2 1)43yAB，故所求函數(shù)的值域為

14、43,例 22. 求函數(shù)2261345yxxxx的值域。解：將函數(shù)變形為：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成定點 A（3，2）到點 P（x，0）的距離與定點) 1 , 2(B 到點)0 , x(P的距離之差。即：|yAPBP由圖可知：（1）當(dāng)點 P 在 x 軸上且不是直線 AB 與 x 軸的交點時，如點 P，則構(gòu)成ABP，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有22| |(32)(2 1)26APBPAB即：2626y（2）當(dāng)點 P 恰好為直線 AB 與 x 軸的交點時，有| |26APBPAB綜上所述，可知函數(shù)的值域為：(26,26例 23、：求函數(shù)xxycos2sin3的值域.

15、分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式1212xxyyk，將原函數(shù)視為定點(2，3)到動點)sin,(cosxx的斜率，又知動點)sin,(cosxx滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點的連線和圓相切時取得，從而解得：3326,3326y點評：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解。例 24求函數(shù)xxy11的值域。分析與解答：令xu1，xv1，則0, 0vu，222 vu，yvu，原問題轉(zhuǎn)化為 ：當(dāng)直線yvu與圓222 vu在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公共

16、點時，求直線的截距的取值范圍。由圖 1 知：當(dāng)yvu經(jīng)過點)2, 0(時，2miny；當(dāng)直線與圓相切時， 2222maxOCODy。所以：值域為22 y 2 2OVUABCDE十十：不不等等式式法法：利用基本不等式32,3abab abcabc( , ,)a b cR，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例 25. 求函數(shù)2211(sin)(cos)4sincosyxxxx的值域。解：原函數(shù)變形為：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces

17、 xxxxxx 當(dāng)且僅當(dāng)tancotxx即當(dāng)4xk時()kz，等號成立故原函數(shù)的值域為：5,) 例 26. 求函數(shù)2sin sin2yxx的值域。解：4sin sincosyxxx24sincosxx42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin)/36427yxxxxxxxx當(dāng)且僅當(dāng)22sin22sinxx，即當(dāng)22sin3x 時，等號成立。由26427y 可得：8 38 399y故原函數(shù)的值域為：8 3 8 3,99十十一一、 多多種種方方法法綜綜合合運運用用： 例 27. 求函數(shù)23xyx的值域。解：令2(0)txt，則231xt（1）當(dāng)0t 時，211112tyttt，當(dāng)且僅當(dāng) t=1，即1x 時取等號，所以102y（2）當(dāng) t=0 時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：10,2注：先換元，后用不等式法 例 28. 求函數(shù)234241212xxxxyxx的值域。解：24324241 21212xxxxyxxxx2222111xxxx令tan2x，則22221cos1xx21sin12xx2