三垂線定理及其逆定理的練習課教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三垂線定理及其逆定理的練習課教案  教學目標1進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理；2理解公式cos1·cos2cos的證明及其初步應用；（課本第122頁第3題）3理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應用；4了解課本第33頁第11題教學重點和難點教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關(guān)的題教學的難點是在講公式cos1·cos2cos應用時比較2與的大小教學設(shè)計過程師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應用了這兩個定理來解一些有關(guān)的題今天我們要進一步應用這兩個定理來解一些有關(guān)的題，先看例

2、1例1  如圖1，AB和平面所成的角是1；AC在平面內(nèi)，BB平面于B，AC和AB的射影AB成角2，設(shè)BAC求證：cos1·cos2cos師：這是要證明三個角1，2和的余弦的關(guān)系，1已經(jīng)在直角ABB中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使2和是這兩個直角三角形中的銳角生：作BDAC于D，連BD，則BDAC于D這時2是直角BDA中的一個銳角，是直角ABD中的一個銳角師：剛才的表述是應用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應用現(xiàn)在已經(jīng)知道1、2和分別在三個直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式師：這個公式的證

3、明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應用了三垂線定理當然也可用它的逆定理這個公式是在課本第121頁總復習參考題中的第3題我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關(guān)題時都要用到這公式那我們要問在什么條件下可用這個公式？生：因為1是斜線AB與平面所成的角，所以只有當圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規(guī)定1表示斜線與平面所成的角，2是平面內(nèi)過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，是這條射線與斜線所成的角下面我們來研究一下這個公式的應用應用這個公式可解決兩

4、類問題第一是求值即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值例如：60°，這時2；當145°，2135°時，coscos45°·cos135°第二是比較2與的大小因為我們已經(jīng)規(guī)定1是斜線與平面所成的角，一定有0°190°，它的大小不變，為了比較2與的大小，下面分三種情況進行討論（1）290°，因為290°，所以cos20，因此coscos1·cos20，故90°當90°時，我們也可以證明290°一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直這就是三

5、垂線定理一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直這就是三垂線定理的逆定理所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況現(xiàn)在我們來研究在2是銳角時，2與的大?。?）0°290°師：在這個條件下，我們怎樣來比較2與的大小？生：因為0°190°，所以0cos11，又因為0°290°，所以0cos21又因為coscos1·cos2，所以0cos11，而且coscos1·cos2cos2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對應的角小所以2師：現(xiàn)在我們來討論當2是

6、鈍角時，2與的大?。?）90°2180°在這個條件下，我們不再用公式cos1·cos2cos做理論上的證明來比較2與的大小，而是一起來看模型（或圖形）我們假設(shè)2的鄰補角為2，的鄰補角為，即22180°，180°在模型（或圖形）中我們可以看出當2是鈍角時，也是鈍角，所以它們的兩個鄰補角2和都是銳角，由對第二種情況的討論我們知道2由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由2180°2，180°，可得2根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：當290°時，290°，它們都是直角當0°290°時，2，它們都

7、是銳角；當90°2180°時，2，它們都是鈍角關(guān)于公式cos1·cos2cos的應用，今后還要隨著課程的進展而反復提到現(xiàn)在我們來看例2例2  如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C平面C1DB于G；（2）垂足G為正C1DB的中心；（3）A1G2GC師：我們先來證明第（1）問要證直線與平面垂直即要證什么？生：要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直師：我們先證A1C為什么與DB垂直？生：連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因為ACDB（正方形的性質(zhì)），所以  A

8、1CDB（三垂線定理）同理可證A1CBC1因為A1C平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）（在證A1CBC1時，根據(jù)情況可詳、可略，如果學生對應用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1CBC1，得A1CBC1）師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正C1DB的中心？生：因為A1BA1C1A1D，所以BGGC1DG，故G是正C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正C1DB的中心師：現(xiàn)在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面A1ACC1，在這對角面內(nèi)有沒有相似三角

9、形？生：在正方體的對角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知A1GC1OGC，且A1C1OCA1GGC，所以A1GGC21，因此A1G2GC師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型，對于以后證有關(guān)綜合題型時很有用所以對例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論，盡可能的理解、記住現(xiàn)在我們來看例3例3  如圖3，已知：RtABC在平面內(nèi)，PC平面于C，D為斜邊AB的中點，CA6，CB8，PC12求：（1）P，D兩點間的距離；（2）P點到斜邊AB的距離師：現(xiàn)在先來解第（1）問，求P，D兩點間的距離師：現(xiàn)在我們來解第（2）問，求P點到AB邊的距離生：作PEAB于E，

10、連CE則CEAB（三垂線定理的逆定理）PE就是P點到AB邊的距離師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？生：可用等積式CE·ABAC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積師：這個等積式是怎樣證明的？生：有兩種證法因CE·AB是RtABC面積的二倍，而AC·CB也是RtABC面積的二倍，所以它們相等；也可用BCEABC，對應邊成比例推出這個等積式師：這個等積式很有用，根據(jù)這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關(guān)距離問題時會常常用到，所以要理解、記住

11、、會用現(xiàn)在就利用這等積式先求CE，再求PE師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離時，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高現(xiàn)在我們來看例4例4  如圖4，已知：BAC在平面內(nèi)，PO ，PO平面于O如果PABPAC求證：BAOCAO（這個例題就是課本第32頁習題四中的第11題這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應先用模型作演示，使學生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論，然后再進行理論上的證明，這樣使學生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）師：當我們觀察了模型

12、后，很容易就猜想到了結(jié)論即斜線PA在平面上的射線是BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？生：作ODAB于D，作OEAC于E，連PD，PE，則PDAB，PEAC所以RtPADRtPAE，因此PDPE，故ODOE，所以BAOCAO師：今天我們講了公式cos1·cos2cos能否用這公式來證明這題（利用這公式來證明這個題，完全是由學生想到的，當然如果有的班學生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因為PAO是斜線與平面所成的角，所以可以考慮用公式cos1·cos2cosPAO相當于1；PABPAC它們都相當于，由公式可得22，即BAOCAO師：今天我們是應用

13、三垂線定理及其逆定理來解這四個例題例1、例2、例4是三個基本題對這三個題一定要會證、記住、會用關(guān)于這三個題的應用，以后還會在講課過程中反復出現(xiàn)在高考題中也曾用到作業(yè)課本第33頁第13題補充題1已知：BSC90°，直線SA平面BSCSASBASC60°，求：SA和平面BSC所成角的大小45°2已知：AB是平面的一斜線，B為斜足，ABa直線AB與平面所成的角等于，AB在平面內(nèi)的射影A1B與平面內(nèi)過B3已知：P為RtABC所在平面外一點，ACB90°，P到直角頂點C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC4已知：BAC在平面內(nèi)，PA是平面的斜線，

14、BAC60°，PABPAC45°PAa，PO平面于OPDAC于D，PEAB于E求：（1）PD的長；課堂教學設(shè)計說明1如前所述，在學習過三垂線定理及其逆定理以后，教學要達到第二個“高潮”也就是說要學生在這一學科的學習上攀登上第二個高峰攀登第二個高峰要比攀登第一個高峰（求異面直線所成的角）要困難得多因為題型較雜，知識面較廣，思路較活這都給學習造成很大的困難但是，也正是這種困難才能激發(fā)起學生的學習興趣和積極性所以我不論是在北京師大二附中還是在北京九十二中教學時都安排了一節(jié)新課，三節(jié)到四節(jié)練習課，采用精講多練的方法，使學生見到的題型更多，解題的思路更活使他們比較容易地登上新的高峰，

15、從而使以后的學習較為順利2在解每一個例題時，如何靈活地應用三垂線定理及其逆定理是我們講課的重點，也是時刻要把握住的中心環(huán)節(jié)特別是一個空間圖形有多個平面時，首先要找出“基準平面”，也就是說對于哪一個平面來用三垂線定理或其逆定理，在“基準平面”找出后，再找出“第一垂線”，也就是垂直“基準平面”的直線，然后斜線、射影也就迎刃而解了3在講練習課時，要講的例題很多，但一定要講下述四個基本題：（1）ABC是直角三角形，ACB90°，PA平面ABC求證：BC平面PAC（2）課本第122頁第3題（3）課本第33頁第11題（4）正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直因為上述四個基本題和與之對應的基

16、本圖形常常包含于某些綜合題和與之對應的綜合圖形之中，并且往往起著決定性作用因此，在我們解一些綜合題時，通過觀察和分析，如果發(fā)現(xiàn)存在上述情況，就可以將它們化歸為上述基本題和與之對應的基本圖形去解這是在解立體幾何題時又一重要的化歸思想“綜合圖形基本化”（請參看數(shù)學通報1998年第2期化歸方法與立體幾何教學）這四個基本題都是應用三垂線定理與其逆定理解題典型對這四個基本題和與之對應的基本圖形，一定要讓學生會證、理解、掌握、記住這樣才有可能應用它們來解綜合題，這四個基本題是四個臺階，是向上攀登必不可缺的臺階4為了利用公式cos1·cos2cos來比較2與的大小，特選三題供老師們選用（1）二面角-AB-的平面角是銳角，C是內(nèi)一點（它不在棱上），點D是C在內(nèi)的射影，點E是棱AB上任一點，CEB為銳角，求證：BE