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1、2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性(函數(shù)的單調(diào)性(2)1.;2021-03-28一般地,設(shè)函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?I,區(qū)間,區(qū)間 D I :若任意若任意x1,x2D,當(dāng),當(dāng) x1 f(x2),則稱(chēng)則稱(chēng)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D 上是上是減函數(shù)減函數(shù).若任意若任意x1,x2D,當(dāng),當(dāng) x1 x2 時(shí),都有時(shí),都有 f(x1) f(x2),則稱(chēng)則稱(chēng)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 D 上是上是增函數(shù)增函數(shù).2 如果函數(shù)如果函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間D是增函數(shù)或減函數(shù),是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)那么就說(shuō)函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性單調(diào)性,
2、這一區(qū)間這一區(qū)間D 叫做叫做 y=f(x) 的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)的在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)的圖象是下降的圖象是下降的.3說(shuō)明說(shuō)明: 函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有些函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)可能是單調(diào)的,有些函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)可能是單調(diào)的,有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù),而在另有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù),而在另一部分區(qū)間上可能是減函數(shù),一部分區(qū)間上可能是減函數(shù),如一次函數(shù);如一次函數(shù);還有的函數(shù)是非單調(diào)的,還有的函數(shù)是非單調(diào)的,如常數(shù)函數(shù)如常數(shù)函數(shù) f(x)= C ( C為
3、常數(shù)為常數(shù)).如二次函數(shù);如二次函數(shù);xyo45例例1:),(,證明:設(shè)21xx,且21xx 則)()(21xfxf) 1() 1(3231xx3132xx6說(shuō)明:說(shuō)明:用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:取值取值.即設(shè)即設(shè)x1 、x2是該區(qū)間是該區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)值,且內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x1x2 ;作差變形作差變形.即作差即作差f(x1)-f(x2) ,并用因式分解、配方、有理化等并用因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形;方法將差式向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形;定號(hào)定號(hào).確定差確定差f(x1)-f(x2)的符號(hào)的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)當(dāng)符號(hào)不確
4、定時(shí),可以進(jìn)行討論可以進(jìn)行討論;判斷判斷.根據(jù)定義作出結(jié)論根據(jù)定義作出結(jié)論.即即“取值取值作差作差變形變形定號(hào)定號(hào)判斷判斷”這幾個(gè)步驟這幾個(gè)步驟.78,0)()(12xfxf. )()(21xfxf即綜上所述:綜上所述:9. 10()01)1 () 1(1)(上是減函數(shù),區(qū)間在上是增函數(shù),在區(qū)間函數(shù)xxxf10例例3 指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1) f(x) = |x-1|-1;(2) f(x) = -x2 + 2|x| + 3 .1| 1|)() 1 ( xxf分析:分析:畫(huà)出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫(huà)出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.) 1() 1(2xxxx解:解:畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù) f(x)=|x-1|-1圖象圖象.觀察圖象可得函數(shù)觀察圖象可得函數(shù)f(x)的的單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間 1,+),單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間(-,1.11(2)0(4) 1()0(4) 1(22xxxx畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù) f(x)的圖象,的圖象,xy.1-13-3412例例4:9) 1(2u解:解:,令22xu228)(uuuf又,由1u.11xx,或,得即122 x,由1u.11x,得即122 x,為增函數(shù))(uf. 1()2()(2上
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