雙因子方差分析[1]

1、雙因子方差分析雙因子方差分析上面我們討論了單因子試驗(yàn)中的方差分上面我們討論了單因子試驗(yàn)中的方差分析，但在實(shí)際問(wèn)題中，更多出現(xiàn)的卻是析，但在實(shí)際問(wèn)題中，更多出現(xiàn)的卻是多因素試驗(yàn)，往往需要同時(shí)研究幾種因多因素試驗(yàn)，往往需要同時(shí)研究幾種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，比如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，比如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中需要同時(shí)研究肥料和種子品種對(duì)農(nóng)作物需要同時(shí)研究肥料和種子品種對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量的影響。這樣的問(wèn)題就存在兩個(gè)因產(chǎn)量的影響。這樣的問(wèn)題就存在兩個(gè)因子：一個(gè)因子是肥料的種類，一個(gè)因子子：一個(gè)因子是肥料的種類，一個(gè)因子是種子的品種。是種子的品種。 n它們兩者同時(shí)影響著農(nóng)作物的產(chǎn)量。我們它們兩者同時(shí)影響著農(nóng)作物的產(chǎn)

2、量。我們希望通過(guò)試驗(yàn)選取使產(chǎn)量達(dá)到最高的肥料希望通過(guò)試驗(yàn)選取使產(chǎn)量達(dá)到最高的肥料種類和種子品種。由于有兩個(gè)因子的影響，種類和種子品種。由于有兩個(gè)因子的影響，就產(chǎn)生一個(gè)新問(wèn)題：不同種類的肥料和不就產(chǎn)生一個(gè)新問(wèn)題：不同種類的肥料和不同品種的種子對(duì)產(chǎn)量的聯(lián)合影響不一定是同品種的種子對(duì)產(chǎn)量的聯(lián)合影響不一定是它們分別對(duì)產(chǎn)量影響的迭加，也就是說(shuō)肥它們分別對(duì)產(chǎn)量影響的迭加，也就是說(shuō)肥料類型和種子品種要搭配得當(dāng)才能得到最料類型和種子品種要搭配得當(dāng)才能得到最高產(chǎn)量，這類各因子的不同水平的搭配所高產(chǎn)量，這類各因子的不同水平的搭配所產(chǎn)生的影響在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為交互作用。各產(chǎn)生的影響在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為交互作用。各因子間是否存

3、在交互作用是多因子方差分因子間是否存在交互作用是多因子方差分析中產(chǎn)生的新問(wèn)題。析中產(chǎn)生的新問(wèn)題。由于多因子問(wèn)題復(fù)雜，而解決的基本方法又類似，為簡(jiǎn)由于多因子問(wèn)題復(fù)雜，而解決的基本方法又類似，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們僅介紹二因子的方差分析，分兩種情況討單起見(jiàn)，我們僅介紹二因子的方差分析，分兩種情況討論。論。n1 1、無(wú)交互作用的二因子方差分析、無(wú)交互作用的二因子方差分析n設(shè)在某試驗(yàn)中同時(shí)考慮設(shè)在某試驗(yàn)中同時(shí)考慮A A與與B B兩因子的作用，因兩因子的作用，因子子A A取取r r個(gè)不同的水平個(gè)不同的水平A A1 1,A,A2 2,A,Ar r，因子，因子B B取取S S個(gè)不同的水平個(gè)不同的水平B B1 1,

4、B,B2 2,B,Bs s，由于我們?cè)谶@里，由于我們?cè)谶@里只考慮只考慮A A、B B兩因子無(wú)交互作用的情形，因此對(duì)兩因子無(wú)交互作用的情形，因此對(duì)每種不同水平的組合每種不同水平的組合(A(Ai i,B,Bj j) )均進(jìn)行一次獨(dú)立試均進(jìn)行一次獨(dú)立試驗(yàn)，共得驗(yàn)，共得rsrs個(gè)試驗(yàn)結(jié)果個(gè)試驗(yàn)結(jié)果y yijij可列成下表形式?？闪谐上卤硇问健iisjjyrysy1.1.11B因子因子B1 B2 BSyi.A因因子子A1A2.Ary11 y12 y1sy21 y22 y2syr1 yr2 yrsy1.y2.yr.y.jy.1 y.2 y.s這里仍假定這里仍假定y yijij是獨(dú)立地取自分布為是獨(dú)立地取

5、自分布為N(N(ijij,2 2) )的正態(tài)母體的的正態(tài)母體的子樣。為研究問(wèn)題方便，仍如單因子方差分析一樣把參數(shù)改子樣。為研究問(wèn)題方便，仍如單因子方差分析一樣把參數(shù)改變一下，令變一下，令。個(gè)水平的效應(yīng)的第為因子稱。個(gè)水平的效應(yīng)的第為因子稱為一般平均。稱jBsjiArisjrrisrsjjjiiiriijjsjijirisjij,1,1,2 , 1,1, 2 , 1,1,1.1.1.11顯然有sjjrii1100在A、B無(wú)交互作用的假設(shè)下，應(yīng)有ij=+i+j綜上，得如下(無(wú)交互作用)的方差分析模型且相互獨(dú)立), 0 (0, 011211Nsjriyijrisjjiijjiij要判斷因子要判斷因子

6、A(A(或或B)B)不同水平的影響是否有不同水平的影響是否有顯著差異，只須檢驗(yàn)下面的假設(shè)顯著差異，只須檢驗(yàn)下面的假設(shè)H H0101( (或或H H0202) )H H0101:1 1=2 2=r r=0=0 (8.19)(8.19)H H0202:1 1=2 2=s s=0 =0 為檢驗(yàn)為檢驗(yàn)H H0101和和H H0202，我們?nèi)匀鐔我蜃訒r(shí)一樣，采，我們?nèi)匀鐔我蜃訒r(shí)一樣，采用分解平方和的方法，為此先引進(jìn)如下記號(hào)：用分解平方和的方法，為此先引進(jìn)如下記號(hào)： risjjirisjijjjriijjiisjijiysyryrsysjyryyyriysyyy11.11.1.1.111, 1,1, 1,

7、1,由(8.18)可知有ysjyriyjjjiii11. 分解總偏差平方和分解總偏差平方和BAesjjriirisjjiijrisjjijiijrisjijTSSSyyryysyyyyyyyyyyyyyyS12.12.112.112.112)()()()()()()(risjjiijrisjjiijeyyyyS112.112.)()(riiiriiAsyysS12.12.)()(sjjjsjjBryyrS12.12.)()(其中稱為誤差偏差平方和，它反映了誤差的波動(dòng)稱為誤差偏差平方和，它反映了誤差的波動(dòng) 稱為因子A的偏差平方和 稱為因子B的偏差平方和riiAsrES122) 1(rjjBrsE

8、S122) 1(2) 1)(1(srESe可計(jì)算得 1,1sSrSBA) 1)(1() 1(srSrSFeAA)1)(1(),1(srrF) 1)(1() 1(srSsSFeBB)1)(1(),1(srsF因此在H01和H02為真時(shí)，分別是分別是2的無(wú)偏估計(jì)，為此構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)，為此構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量n( (與單因子時(shí)一樣，利用柯赫倫定理可以與單因子時(shí)一樣，利用柯赫倫定理可以證明證明F FA A、F FB B具有上述具有上述F F分布分布) )，分別作，分別作H H0101和和H H0202的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H H0101、H H0202不真時(shí)，不真時(shí)，F(xiàn) FA A、F FB B分

9、別有偏大的趨勢(shì)。分別有偏大的趨勢(shì)。n對(duì)給定的水平對(duì)給定的水平，可查分布表分別得，可查分布表分別得n(1-)(1-)分位點(diǎn)分位點(diǎn) ),1)(1(),1(1srrF當(dāng)當(dāng)值值)1)(1(),1(1srsF)1)(1(),1(1srrFFA時(shí)拒絕H01，當(dāng)值),1)(1(),1(1srsFFB時(shí)拒絕時(shí)拒絕H02。具體計(jì)算時(shí)，可將分析過(guò)程列成方差分析表具體計(jì)算時(shí)，可將分析過(guò)程列成方差分析表n例8.2 題略(見(jiàn)書(shū)P387)n解：用方差分析解決這里的問(wèn)題n檢驗(yàn)：H01：因子A對(duì)化驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響n H02：因子B對(duì)化驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響n這里r=4,s=3,記n=rs=12, 具體計(jì)算見(jiàn)下表5 .21ijijy

10、92.1621.sjjy2. jy43.13112.riiyABA1 A2 A3 A4y.jy2.jB1B2B33.5 2.6 2.0 1.42.3 2.0 1.5 0.82.0 1.9 1.2 0.39.56.65.490.2543.5629.16yi. 7.8 6.5 4.7 2.5 60.84 30.25 22.09 6.2529.46112risjijy52.38)(12ijijyn又 26. 022. 252.3892.16241)(1129. 552.3843.13131)(1177. 752.3829.46)(1212.21112.2112BATeijijsjjBrisjijri

11、iAijijrisjijTSSSSynyrSynysSynyS由上述計(jì)算可得從而62.2526. 022. 23) 1() 1)(1(69.4026. 029. 52) 1() 1)(1(eBBeAASSssrFSSrsrF )6 , 3( FFA8 . 4)6 , 3(95. 01FF查查表表得得)6 , 2( FFB1 . 5)6 , 2(95. 01FF查查表表得得對(duì)=0.05，因 因)6 , 2()6 , 3(11FFFFBA故拒絕故拒絕H01,H02認(rèn)為因子認(rèn)為因子A、B對(duì)化驗(yàn)結(jié)果都有顯著對(duì)化驗(yàn)結(jié)果都有顯著影響影響n2 2、具有交互效應(yīng)的二因子方差分析、具有交互效應(yīng)的二因子方差分析n

12、在這種情形下，用前面的記號(hào)，因?yàn)閮梢蜃釉谶@種情形下，用前面的記號(hào)，因?yàn)閮梢蜃覣 A與與B B存在交互效應(yīng)存在交互效應(yīng)n會(huì)有會(huì)有ijij+i i+j jn記記ijij=ijij-i i-j jn稱它為因子稱它為因子A A的第的第i i個(gè)水平和因子個(gè)水平和因子B B的第的第j j個(gè)水平個(gè)水平的交互效應(yīng)，其滿足關(guān)系式：的交互效應(yīng)，其滿足關(guān)系式：sjijriijrisj11, 10, 10為了研究交互效應(yīng)，需對(duì)兩因子各個(gè)水平的組合進(jìn)行若干次重為了研究交互效應(yīng)，需對(duì)兩因子各個(gè)水平的組合進(jìn)行若干次重復(fù)的觀察，其結(jié)果如下表所示復(fù)的觀察，其結(jié)果如下表所示因子因子B B因子因子A AB B1 1B B2 2B

13、BS SA A1 1A A2 2. . . .A Ar ry y111111,y,y11t11ty y211211,y,y21t21t. . .y.yr11r11,y,yr1tr1ty y121121,y,y12t12ty y221221,y,y22t22t. .y yr21r21,y,yr2tr2ty y1s11s1,y,y1st1sty y2s12s1,y,y2st2sty yrs1rs1,y,yrstrst這里視(yij1,yijt) i=1r, j=1s, 為取自N(ij,2)母體的簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，又由各母體間相互獨(dú)立的假設(shè)，故所有yijk相互獨(dú)立。綜上，得有交互作用的二因子方差分析模型

14、為：tkNsjriyijkrisjrisjijijjiijkijiiijk, 1), 0 (, 10, 0, 0, 0, 121111且相互獨(dú)立。n對(duì)此模型，除需檢驗(yàn)因子A、B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著影響，即檢驗(yàn)nH01:1=r=0n (8.22)nH02:1=s=0 還需檢驗(yàn)A、B的交互作用是否對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，即nH03:ij=0 對(duì)一切i=1r, j=1s 為此，需找出以上這些顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)為此，需找出以上這些顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，與前一段的討論類似，我們需分統(tǒng)計(jì)量，與前一段的討論類似，我們需分解平方和，先引入一些記號(hào)解平方和，先引入一些記號(hào)( (見(jiàn)書(shū)見(jiàn)書(shū)P387)P387)sjjri

15、irisjtkijkiisjtkijkiijijtkijkijysyrynyriytyyysjriytyyy1.1.111.11.1.11111,1,11,由(8.21)可知.jjjiiiijijjiijyyyy將總偏差平方和作如下分解將總偏差平方和作如下分解BABAerisjjiijrisjtksjjriiijijkrisjtkjiijjiijijkrisjtkijkTSSSSyyyytyyrtyystyyyyyyyyyyyyyyS112.11112.12.2.1112.1112)()()()()()()()()(其中risjtkijijkrisjtkijijkeyyS1112.)21. 8

16、 (1112.)()(稱為誤差偏差平方和稱為誤差偏差平方和( (反映了隨機(jī)誤差對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響反映了隨機(jī)誤差對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響) )riiiriiAstyystS12.12.)()(為因子為因子A A引起的偏差平方和引起的偏差平方和( (除含有誤差波動(dòng)外，除含有誤差波動(dòng)外，反映因子反映因子A A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響) )sjjjsjjBrtyyrtS12.12.)()(稱為因子稱為因子B B的偏差平方和的偏差平方和 risjjiijijrisjjiijBAtyyyytS112. .112. .)()(為因子為因子A A與與B B的交互作用的偏差平方和，反映了因子的交互作用的偏差平方和

17、，反映了因子A A與與B B的的交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。我們可以計(jì)算出交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。我們可以計(jì)算出nE(Se)=rs(t-1)2, nE(SA)=(r-1)2+nE(SB)=(s-1)2+ n E(SAB)=(r-1)(s-1)2+riist12sjjrt12risjijt112eAeAASSrtrstrsSrSF1) 1() 1() 1(eBeBBSSstrstrsSsSF1) 1() 1() 1(eBAeBABASSsrtrstrsSSrSF) 1)(1() 1() 1() 1( ) 1(據(jù)此可構(gòu)造據(jù)此可構(gòu)造H H0101,H,H0202,H,H0303的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為)1(),1(01trsrFFHA真