多元函數(shù)微分學復習題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應用復習題及解答、選擇題1.極限limx 0y 0(提示：令y(B)不存在 (C) 年(D)存在且不等于則極限 lim f (x, y)=x 0y o1-12、設函數(shù) f(x,y) xsin； ysin； xy0xy(提示：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小)(A)不存在(B) 等于(C)3、設函數(shù)f (x, y)xy x2 0y2(提示：在xy20，則 f(x,y)y2 0f(x,y)處處連續(xù)；在kx2FoW2kxlim -= 0 f (0,0)x 0 .1 k2,故在x2y2 0,函數(shù)亦連續(xù).所以,f (x, y)在整個定義域內(nèi)處處連續(xù).)(A) 處處連續(xù)(C)僅在

2、(0,0)點連續(xù)(B)(D)處處有極限，但不連續(xù) 除(0,0)點外處處連續(xù)4、函數(shù)z f (x,y)在點(x0,y0)處具有偏導數(shù)是它在該點存在全微分的(A )(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(C)充分必要條件5、設 u arctany ,貝U u =(D)既非充分又非必要條件(A) x y(B)(C)6、設 f(x,y)arcsin J,則 fx(2,1), x(B)(C)1 (D)- 2一、rrx7、設 z arctan , x u yv ,則 ZuZv(A) -2 u v8、若 f (x,2x)x2(B)-2 u v'3x, fx(x,2x)(O -2(D)u v6x

3、 1 ,則 fy(x,2x)=(A) x(C) 2x1(D)2x9、設z一)(2,1) y(A) 2(B) 1+ln2(C) 0(D) 110、設 zxye xy,則 zx(x, x)2、 x2_(A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x2)ex2(C)x(12 x2 一x2)ex (D)x(12 x2 x )e11、曲線 x 2sint,y4cost,z t在點(2,0,5)處的法平面方程是(A) 2x z12、曲線4x5y ,y(B) 2x z - 4 (C) 4y2<z,在點(8,2,4)處的切線方程是2 (D)4y(A )(A)(C)x 820x 85z 44z 44(B)

4、(D)x 1220x 35z 44z413、曲面 xcosz y cosx z 2一在點一,1一，02處的切平面方程為(D )(A) x z(B) xy 1(C) x2(D)14、曲面 x2 yzxy2z36在點(3,2,1)處的法線方程為(A )(C) 8x 3y 18zz 1918118(D) 8x 3y 18z1215、設函數(shù)z 1 Jx2 y2 ,則點(0,0)是函數(shù)z的(A)極大值點但非最大值點(B)極大值點且是最大值點(C)極小值點但非最小值點(D)極小值點且是最小值點16、設函數(shù)z f (x, y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，在P0(x0,y0)處，有fx(P。)0, fy(PO)0,

5、fxx(P0)fyy(P0) 。，fxy(B) fyx(B) 2,則(C )(A)點P0是函數(shù)z的極大值點(B)點P0是函數(shù)z的極小值點(C)點P0非函數(shù)z的極值點(D)條件不夠，無法判定17、函數(shù)f(x,y,z) z 2在4x2 2y2 z2 1條件下的極大值是(C )(A) 1(B)0(C)1(D)2二、填空題1、極限 iimsn9=.答：x 0 xy2X 、2、極限 lim 嗎=e=2=.答：ln2x 022y 1 x y3、函數(shù)z 3n(x y)的定義域為.答：x y 14、函數(shù)z arcs吧的定義域為.答：1 x 1, y 0y5、設函數(shù) f (x, y) x2y2 xyln -,貝

6、U f (kx, ky)=x6、設函數(shù)f (x,y)(Q f(xy,x y)(x y)(x y)(x y) (x y)2x.答：k2 f(x,y)2x22、ln(1 x y )7、設 f (x,y)'3 7AA=.答：ln22 x2 x2 y2 y1/22 ,要使f (x,y)處處連續(xù)，則1/28、設 f (x,y),22、tan(x y )22x y A(x,y) (0,0),要使 f(x,y)在(0, 0)處連續(xù),(x,y) (0,0)則A=.答：1229、函數(shù)z -一匕的間斷點是x 1答：直線x 1 0上的所有點10、函數(shù)f(x,y) 21 2 cosy的間斷點為x y x.答：

7、直線yx及x 0-xy-，貝 1 f (x y,x y)= x y.答：3cos511、設 z sin(3x y) y ,貝(J -z x12、設 f(x,y) 62 y答：x 3y 11e2 022、曲面xey y2e2z z3e3x 2 1在點(2, 1,0)處的法線方程為 e答：x 2 U Z 2e 2e ,則 fy(0,1)=.答：1z、一x 一,一 33113、設 u(x,y,z) ,貝 UdUm、=.答：dx dy ln2dzy(1,2,3)816814、設u / 2，則在極坐標系下, =答：02xy2e x23、曲面 arctan-y1 xz在點(2,1,0)處的切平面方程是 4

8、15、設 u xy -,貝Uu2=.答：篤23x xx2u 116、設 u xlnxy,貝U=.答：一x yy17、函數(shù)y y(x)由1 x2y ey所確定，則dy = dx18、設函數(shù)z z(x,y)由方程xy2z x y z所確定，則一z 二 y2xyz 121 xy19、由方程xyz 收7z7 <2所確定白函數(shù)z z(x,y)在點(1, 0, 1)處的全微分dz=.答：d x 72d y20、曲線x t2,y 2t,z 1t3在點(1,21)處的切線方程是33答：x_J LJ z 122321、曲線x 2te2t,y 3e2t,z t2e2t在對應于t 1點處的法平面方程是y 2z

9、 11 c24、設函數(shù)z z(x,y)由方程/x 3xy y 5x 5y e 2z 4確止，則函數(shù)z的駐點是.答：(一1, 2)27、函數(shù) z 2x2 3y2 4x 6y 1 的駐點是 洛：(1,1)25、若函數(shù)f(x, y) x22xy3y2 ax by 6在點(1, 1)處取得極值，則常數(shù)a , b .答：a 0,b 426、函數(shù)f(x,y,z)2x2在x2y2 2z2 2條件下的極大值是 答：4三、計算題1、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形.(1) z ,1 x2 y2(2)z ln(x y)1(3) z 1(4)z ln(xy 1)ln(x y)解：(1)要使函數(shù)z，1 x2

10、y2有意義，必須有1 x2 y2 0,即有x2 y2 1.故所求函數(shù)的定義域為D ( x, y)| x2 y2 1,圖形為圖3.1(2)要使函數(shù)z ln(x y)有意義，必須有x y 0 .故所有函數(shù)的定義域為D (x,y)|x y 0 ,圖形為圖 3.21(3)要使函數(shù)z 有息義，必須有l(wèi)n(x y) 0 ,即x y 0且ln(x y)x y 1.故該函數(shù)的定義域為D (x,y)|x y 0, x y 1 ,圖形為圖3.3(4)要使函數(shù)z ln(xy 1)有意義，必須有xy 1 0 .故該函數(shù)的定義域為圖3.1D (x, y)|xy 1,圖形為圖 3.4圖3.2ysin 2x2、求極限lim

11、x 0y 0.xy解：xim0y 0ysin 2xlimx 0y 0ysin2x ( xy 1 1) _ 4xy13、求極限lim - x 0y 01、-sin(xy).解：原式nxim。y 02x y3 2' 2x y (1. x y1)sin(xy)y 0sin(xy)xy4、求極限lim x (y (x xye i04眄xy解：limx 04 y 0x xye,16xy.xye呵y 0,x(4. 16 xy)_ 8xy5、設uxsin yycosx ,求ux , uy .解：uxsin yysin xuyxcosy cosx6、設z_ yxeyYe x ,求 zx,zy.解：zx

12、eyye xzyxey e7、設函數(shù)zz(x, y)由 yz zx xy3所確定，試求(其中解一：原式兩邊對x求導得解二:y 0).FxFyfX8、求函數(shù)z2x23xy2y24x3y 1的極值.解：由zxZy4x3x3y4y得駐點（1,0）zxxzyxzxyzyyzxx0 ,函數(shù)z在點（1,0)處取極小值z( 1,0)1.9、設z3x e2y，而 x cost, y t2,求 dz .dt3e3x2y( sint) 2e3x2y(2t)(3sint 4t)e3x 2y10、設 zyx ln(xy)，求-z,-z x y解:zxXy ln y ln xyzyx 11 xxyx 1 ln(xy)

13、yx y11、yz . aln x(a0),求du .解:yz ln a ax1,X yza zln a ,u x yz-ya ln a zx(ayzln a ax1)d xX yza ln a(zd yydz)12、求函數(shù)z ln( x2 y2exy）的全微分.解:xy2x yexy2y xe22 xyx y e22 xyx y e(2xyexy) d x(2y xexy)dy四、應用題1、要造一容積為128立方米的長方體敞口水池，已知水池側(cè)壁的單位造價是底 部的2倍，問水池的尺寸應如何選擇，方能使其造價最低？解：設水池的長、寬、高分別為x,y,z米.水池底部的單位造價為a.則水池造價S x

14、y 4xz 4yz a且 xyz 128令 L xy 4xz 4yz xyz 128Lxy4zyz0Lx4zxz0由 yLz4x4yxy0Lxyz 128 0得 xy8 z2由于實際問題必定存在最小值，因此當水池的長、寬、高分別為8 米、 8米、 2 米時，其造價最低.2、某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為 x和y (件)，總成本函數(shù)22C(x, y) 8x xy 12y (元).商品的限額為x y 42，求最小成本.解：約束條件為(x, y) x y 42 0 ，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F (x, y, ) 8x2 xy 12y2 (x y 42)，F(xiàn)x 16x y 0解方程組Fyx 24y0，得唯一

15、駐點(x, y) (25,17)，F(xiàn) x y 42 0由實際情況知，(x,y) (25,17)就是使總成本最小的點，最小成本為C(25,17) 8043(元).3、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y 單位的產(chǎn)品乙的總費用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2) 元，求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：L(x,y)表示獲得的總利潤，則總利潤等于總收益與總費用之差，即有利潤目標函數(shù)L(x, y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)228x 6y 0.01(3x2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0)，Lx 8 0.01(6x y) 0令，解得唯一駐點(120, 80).Ly 6 0.01(x 6y) 0又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06,得_ 23AC B 3.5 100.得極大值L(120,80) 320.根據(jù)實際情況，此極大值就是最大值.故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時所得利潤最大 320元.五、證明題(1 1)1、設 z e x -y求證 x2 y2 2zx y證明:(1 1)因為二e二？ 2xx2Z(- 1)1z e x y 2yy2所以(11(1)x2 y2 e x -y e x 2z