數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化——第四講數(shù)學(xué)分支介紹---分析學(xué)ppt課件

1、數(shù)學(xué)分支介紹- 分析學(xué)內(nèi) 容 0.前言 1.微積分學(xué)及其發(fā)展道路 2.分析學(xué)的分支0. 前 言在一切理論成就中，未必再有什么像19世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看做人類(lèi)精神的最高勝利了。 -恩格斯自然辯證法微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類(lèi)思維的偉大成果之一。它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別的有效工具。遺憾的是，微積分的教學(xué)方法有時(shí)流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門(mén)學(xué)科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶。 -R柯朗v微積分學(xué)-是研究函數(shù)微分與積分性質(zhì)與應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。v微積分的出現(xiàn)，是由初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的一個(gè)具有劃時(shí)代意義的大事。v但是，在微積分發(fā)展的過(guò)程中也曾產(chǎn)生過(guò)一些“

2、混亂或者說(shuō)“神秘性”。這種“神秘性主要集中在“無(wú)窮小量上。v16世紀(jì)的歐洲向自然科學(xué)提出兩個(gè)基本問(wèn)題：v （1已知路程求速度；v （2已知速度求路程。v 在等速運(yùn)動(dòng)的情況下，這兩個(gè)問(wèn)題可以用初等數(shù)學(xué)來(lái)解決，但在變速的情形，只用初等數(shù)學(xué)就無(wú)法解決了。v由于笛卡爾RDescartes，1596-1650等人創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，開(kāi)始有了變量的概念，并把描述運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系和幾何中曲線(xiàn)或曲面問(wèn)題的研究統(tǒng)一了起來(lái)。v前面所講的力學(xué)中兩個(gè)最基本的問(wèn)題正好與初等幾何一直未解決的兩類(lèi)問(wèn)題完全一致。這兩個(gè)問(wèn)題是：v（1求任意曲線(xiàn)的切線(xiàn)；v（2求任意曲線(xiàn)所圍成的面積或求任意曲面所圍成的體積）。Kepler在于1615

3、年寫(xiě)的一書(shū)中，求出了87種旋轉(zhuǎn)體的體積；1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利B.Cavalieri，1598-1647出版了不可分連續(xù)量的幾何學(xué)，書(shū)中引入了所謂“不可分量”，并提出了卡瓦列利原理，它是計(jì)算面積和體積的有力工具；1656年，英國(guó)人沃里斯.allis, 1616-1703把卡瓦列利方法系統(tǒng)化，使“不可分量更接近于定積分的計(jì)算，在中明確提出了極限思想；費(fèi)馬于1638年在中給出了求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和函數(shù)極值的方法；牛頓在劍橋大學(xué)的老師巴羅I. Barrow，1630-1677不僅給出了求曲線(xiàn)切線(xiàn)的方法，而且也揭示了求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求曲線(xiàn)所圍成面積這兩個(gè)問(wèn)題的互逆性。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之的兒子

4、祖暅對(duì)體積的計(jì)算也做過(guò)重要的貢獻(xiàn)。祖暅于5世紀(jì)提出并證明了“冪勢(shì)既同，則積不容異這個(gè)原理，即空間體積，若其底、高分別相等，等高處的截面積均相等，則兩空間體的體積必相等卡瓦列利原理） 。牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲G. W. Leibniz, 1646-1716在前人工作的基礎(chǔ)上，分別從力學(xué)和幾何學(xué)獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)。牛頓側(cè)重于力學(xué)研究，突出了速度的概念，考慮了速度的變化，建立了微積分的計(jì)算方法。他于1665年創(chuàng)造了“流數(shù)法”，并利用這個(gè)方法從行星運(yùn)動(dòng)三大定律推出了萬(wàn)有引力定律，再根據(jù)萬(wàn)有引力定律解決了許多力學(xué)和天文學(xué)的問(wèn)題。萊布尼茲則突出了切線(xiàn)的概念，從變量的有限差出發(fā)引入微分概念，他特別重視運(yùn)

5、算符號(hào)和法則。恩格斯說(shuō)過(guò)：“微積分是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的?！迸ｎD（英，1642-1727）萊布尼茨德，1646-1716）微積分剛一形成，就在解決實(shí)際問(wèn)題中顯示出強(qiáng)大的威力。例如，在天文學(xué)中，它能夠精確地計(jì)算行星、彗星的運(yùn)行軌道和位置。英國(guó)天文學(xué)家哈雷E. Halley, 1656-1742就通過(guò)這種計(jì)算斷定1531年、1607年、1682年出現(xiàn)過(guò)的彗星是同一顆彗星，并推測(cè)它將于1759年再次出現(xiàn)，這個(gè)預(yù)見(jiàn)后來(lái)果然被證實(shí)。雖然微積分的應(yīng)用愈來(lái)愈豐富，但當(dāng)時(shí)的微分和積分并沒(méi)有確切的數(shù)學(xué)定義。特別是一些定理的證明和公式的推導(dǎo)，在邏輯上前后矛盾，不好理解，使人感到可疑，但推

6、出的結(jié)論往往是正確無(wú)誤的。這樣，微積分就具有了一種“神秘性”。v這種“神秘性集中體現(xiàn)在當(dāng)時(shí)對(duì)“無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)上。牛頓在一些經(jīng)典的推導(dǎo)中，他既用無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，這意味著無(wú)窮小量不是零；然而他又把被無(wú)窮小量所乘的項(xiàng)當(dāng)做沒(méi)有而去掉，這說(shuō)明他又認(rèn)為無(wú)窮小量是零。奇怪的是，這樣所推導(dǎo)的公式在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用中證明了它們都是正確的。附：牛頓在1704年發(fā)表了“曲線(xiàn)的求積”，其中他確定了x3的導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)他稱(chēng)之為流數(shù)）。牛頓所用方法意譯如下：當(dāng)x增長(zhǎng)為x+0 時(shí)，冪x3變?yōu)?x+0)3 或者x3+3x20+3x02+03，它們的增量分別是0和3x20+3x02+03。這兩個(gè)增量與x的增量0的比分別為1

7、與3x2+3x0+02，然后讓增量消失，則它們最后比將為1比3x2。從而x3對(duì)x的變化率為3x2。這種用邏輯上自相矛盾的方法推導(dǎo)出正確結(jié)論的事實(shí)，使微積分運(yùn)算表面看來(lái)有很大的隨意性。正如馬克思所說(shuō)：“這種新發(fā)現(xiàn)的計(jì)算方法，就是通過(guò)數(shù)學(xué)上肯定是不正確的途徑而得出了正確的而且在幾何學(xué)應(yīng)用上簡(jiǎn)直是驚人的結(jié)果。”人類(lèi)進(jìn)入19世紀(jì)后，埋藏在數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題最終還是由科技領(lǐng)域提出的“熱傳導(dǎo)這一大課題的研究為導(dǎo)火線(xiàn)而爆發(fā)出來(lái)。1811年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉Fourier發(fā)表了一篇名為的論文。文中他提出了對(duì)數(shù)學(xué)物理具有普遍意義的方法，即將任意函數(shù)表示為無(wú)窮項(xiàng)三角函數(shù)之和，簡(jiǎn)稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)。這種表達(dá)函數(shù)的方式

8、與函數(shù)的傳統(tǒng)表達(dá)方式相違背，給數(shù)學(xué)帶來(lái)了新的混亂，即什么叫“無(wú)窮項(xiàng)求和問(wèn)題”？這個(gè)問(wèn)題不解決，解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題的方法就缺乏理論依據(jù)。其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題仍然歸結(jié)為如何認(rèn)識(shí)無(wú)窮小量的問(wèn)題。至此，微積分中邏輯上的混亂，即對(duì)無(wú)窮小量的理解，已經(jīng)到了必須澄清的時(shí)候了。也就是說(shuō)，必須給微積分建立嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。在為微積分作奠基性工作方面，瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努里Johann Bernoulli，1667-1748和歐拉、奧地利數(shù)學(xué)家波爾查諾BBolzano，1781-1848）、德國(guó)數(shù)學(xué)家狄內(nèi)赫利Dirichlet，1805-1851等都做過(guò)貢獻(xiàn)。起決定作用的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西Cauchy，1789-1857），他于

9、1821年在中給出了極限概念比較精確的分析定義，并以極限概念為基礎(chǔ)，給出了無(wú)窮小量、無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和等許多概念的較明確的定義。德國(guó)數(shù)學(xué)家韋爾斯特拉斯KWeierstrass，1815-1897總結(jié)了前人的工作，于1855年給出了極限的嚴(yán)格定義，即今天教材上通用的定義，并把分析基礎(chǔ)歸結(jié)為對(duì)實(shí)數(shù)理論的研究。他與德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金RDedekind，1826-1866）、康托GCantor，1845-1918一起創(chuàng)立了實(shí)數(shù)理論，這是分析學(xué)的邏輯基礎(chǔ)發(fā)展史上的重大成就。至此，人們才知道無(wú)窮小量只不過(guò)是在某個(gè)變化過(guò)程中以零為極限的變量?？挛骺挛鳎ǚ?，（法，1789-1857）魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 (德，德，18151897)從1665年牛頓創(chuàng)造的流數(shù)法到1855年韋爾斯特拉斯給出極限的嚴(yán)格定義，經(jīng)歷了190年。如果從我國(guó)魏晉時(shí)代就有微積分計(jì)算方法的萌芽-割圓術(shù)算起，大約經(jīng)歷了1600多年，若再?gòu)陌⒒椎掠诠?世紀(jì)提出“窮竭法算起，則經(jīng)歷了2000多年。微積分這個(gè)漫長(zhǎng)的發(fā)展史，給我們的重要啟示就是：一個(gè)新的理論或新的學(xué)科的誕生，需要許多人付出艱辛的勞動(dòng)，甚至要經(jīng)過(guò)幾代人的努力，科學(xué)研究的道路從來(lái)就不是平坦的。另外，也告訴我們：人們對(duì)客觀世界中數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)是逐步深化的，需要從感性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地躍進(jìn)到理性認(rèn)識(shí)，又要從理性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地指導(dǎo)實(shí)踐，并取得進(jìn)一步