高中解析幾何知識點

1、. .曲線與方程 2求曲線方程的根本方法直線一、直線的傾斜角與斜率1、傾斜角的概念：1傾斜角：當直線與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角。 2傾斜角的范圍：當與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°因此0°180°。2、直線的斜率 1斜率公式：K=tan90° 2斜率坐標公式：K= x1x2 3斜率與傾斜角的關系：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率。當=0°時，k=0；當0°90°時，k0，且越大，k越大；當=90°時，k不存在；當90°180

2、6;時，k0，且越大，k越大。二、兩直線平行與垂直的判定1、兩直線平行的判定： 1兩條不重合的直線的傾斜角都是90°，即斜率不存在，那么這兩直線平行； 2兩條不重合的直線，假設都有斜率，那么k1=k2 2、兩直線垂直的判定： 1一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，那么這兩直線垂直； 2如果兩條直線、的斜率都存在，且都不為0，那么 k1·k2=1直線經(jīng)過點，且斜率為，那么方程為直線的點斜式方程.直線與軸交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距.直線叫做直線的斜截式方程.直線上兩點且，那么通過這兩點的直線方程為，由于這個直線方程由兩點確定，所以我們把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩

3、點式直線與軸的交點為，與軸的交點為，其中，那么直線的方程叫做直線的截距式方程.注意：直線與軸交點,0的橫坐標叫做直線在軸上的截距；直線與y軸交點0,的縱坐標叫做直線在軸上的截距.關于的二元一次方程A，B不同時為0叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.直線名稱條件直線方程使用范圍點斜式k存在斜截式k存在兩點式截距式平面上兩點，那么.特殊地：與原點的距離為.點和直線，那么點到直線的距離為：.兩條平行線直線，那么與的距離為直線與方程1直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180

4、°2直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，； 當時，； 當時，不存在。過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。3直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，

5、它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：直線兩點，截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。一般式：A，B不全為0注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：b為常數(shù)； 平行于y軸的直線：a為常數(shù)； 5直線系方程：即具有某一共同性質的直線一平行直線系平行于直線是不全為0的常數(shù)的直線系：C為常數(shù)二過定點的直線系斜率為k的直線系：，直線過定點；過兩條直線，的交點的直線系方程為為參數(shù)，其中直線不在直線系中。6兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要

6、注意斜率的存在與否。7兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合8兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，那么9點到直線距離公式：一點到直線的距離10兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進展求解。圓的方程1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程1標準方程，圓心，半徑為r；2一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點； 當時，方程不表示任何圖形。3求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，假設利用圓的標準方程，需求出a

7、，b，r；假設利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，根本上由以下兩種方法判斷：1設直線，圓，圓心到l的距離為，那么有；2設直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，那么有；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。 (3)過圓上一點的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，那么過此點的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，

8、y0)，那么過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和差，與圓心距d之間的大小比較來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和差，與圓心距d之間的大小比較來確定。當時兩圓外離，此時有公切線四條；當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當時，兩圓內切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內含； 當時，為同心圓。橢圓把平面內與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)大于的點的軌跡叫做橢圓其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距即

9、當動點設為時，橢圓即為點集橢圓的簡單幾何性質范圍：由橢圓的標準方程可得，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，；橢圓的第二定義當點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡是橢圓定點是橢圓的焦點，定直線叫做

10、橢圓的準線，常數(shù)是橢圓的離心率對于橢圓，相應于焦點的準線方程是根據(jù)對稱性，相應于焦點的準線方程是對于橢圓的準線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為橢圓定義1到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.0<e<1圖形方程標準方程(>0)(>0)參數(shù)方程范圍axa，bybaxa，byb中心原點O0，0原點O0，0頂點(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)

11、, (0,b) , (0,b)對稱軸X軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bX軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b焦點F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)焦距2c 其中c=2c 其中c=離心率準線x=x=焦半徑通徑橢圓的其他幾何性質1點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.3假設在橢圓上，那么過的橢圓的切線方程是.4假設在橢圓外 ，那么過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，那么切點弦P1P2的直線方程是.5AB是橢圓的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，那么.6假設在橢圓內，那么被Po所平分的中點弦的方程是.7

12、假設在橢圓內，那么過Po的弦中點的軌跡方程是.8假設PQ是橢圓ab0上對中心X直角的弦，那么.9過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，那么直線BC有定向且常數(shù).10橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，那么橢圓的焦點角形的面積為， .11假設P為橢圓ab0上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，那么.12過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，那么相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 13過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，那么該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.14設A,B為橢圓

13、上兩點，其直線AB與橢圓相交于,那么.15設橢圓ab0的兩個焦點為F1、F2,P異于長軸端點為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，那么有.16經(jīng)過橢圓ab0的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2，那么.17設橢圓ab0,M(m,o) 或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，那么直線A1P、A2Q(A1,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線：(或)上.18設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，那么MFNF.19過橢圓一個焦點

14、F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，那么MFNF.20設A、B、C、D為橢圓上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,那么.21過橢圓ab0的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，那么.22設Ax1 ,y1是橢圓ab0上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設d是原點到直線 L的距離,分別是A到橢圓兩焦點的距離，那么.23橢圓 ab0和 ，一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，那么AB=|CD.24設A、B是橢圓 ab0的長軸兩端點，P是橢圓上的一

15、點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，那么有(1).(2).(3).25橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.26橢圓 ab0的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，那么直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.27橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.28橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.29橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.30橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.31橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角

16、平分線引垂線,那么橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.32橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,那么橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.33橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.34橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.35橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.36橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,那么以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.雙曲線把平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)小于的點的軌跡叫

17、做雙曲線hyperbola其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距即當動點設為時，雙曲線即為點集雙曲線的簡單幾何性質范圍：由雙曲線的標準方程得，進一步得：，或這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比

18、叫做雙曲線的離心率雙曲線第二定義:當動點M(x,y) 到一定點F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點F(c,0)是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑。雙曲線其他性質1點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.2以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.3假設在雙曲線a0,b0上，那么過的雙曲線的切線方程是.4假設在雙曲線a0,b0外 ，那么過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，那么切點弦P1P2的直線方程是.5AB是雙曲線a0,b0的不平行于對稱軸且

19、過原點的弦，M為AB的中點，那么.6假設在雙曲線a0,b0內，那么被Po所平分的中點弦的方程是.7假設在雙曲線a0,b0內，那么過Po的弦中點的軌跡方程是.8假設PQ是雙曲線ba 0上對中心X直角的弦，那么.9過雙曲線a0,bo上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，那么直線BC有定向且常數(shù).10雙曲線a0,bo的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，那么雙曲線的焦點角形的面積為， .11假設P為雙曲線a0,b0右或左支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，那么或.12過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，那么相應交點與相應焦點的

20、連線必與切線垂直.13過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，那么該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.14設A,B為雙曲線a0,b0，上兩點，其直線AB與雙曲線相交于,那么.15設雙曲線a0,b0的兩個焦點為F1、F2,P異于長軸端點為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，那么有.16經(jīng)過雙曲線a0,b0的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于P1和P2，那么.17設雙曲線a0,b0,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點，那么直線A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點)的交點N在直線：上.18設過雙曲線焦

21、點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，那么MFNF.19過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，那么MFNF.20設A、B、C、D為雙曲線a0,bo上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,那么.21過雙曲線a0,b0的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，那么.22設Ax1 ,y1是雙曲線a0,b0上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設d是原

22、點到直線 L的距離,分別是A到雙曲線兩焦點的距離，那么.23雙曲線a0,b0和 ，一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，那么AB=|CD.24設P點是雙曲線a0,b0上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，那么(1).(2).25設A、B是雙曲線a0,b0的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，那么有(1).(2).(3).26雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.27雙曲線a0,b0的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，那么直線AC經(jīng)過線段

23、EF 的中點.28雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切.29雙曲線焦三角形的內切圓必切長軸于非焦頂點同側的實軸端點.30雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內切圓的切線長為定值a+c與a-c.31雙曲線焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.33雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內角平分線引垂線,那么雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.34雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內角平分線引垂線,那么雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實半軸的長.35雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和雙曲線實軸為直徑的圓的切點.36雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內角平分線與焦半徑、實軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.37雙曲線焦三角形中,過非焦頂點的切線與雙曲線實軸兩端點處的切線相交,那么以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關于軸對稱關于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦