八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題、最值問(wèn)題與存在性問(wèn)題

1、第14講平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題、最值問(wèn)題與存在性問(wèn)題知識(shí)導(dǎo)航1 .最值問(wèn)題解題依據(jù)有：三角形兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊；點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短；函數(shù)式在特定自變量取值范圍內(nèi)存在最值；2 .動(dòng)態(tài)點(diǎn)的問(wèn)題探究時(shí)，常先分析起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間某一個(gè)特殊點(diǎn)，再由特殊到一般的方法求解；3 .存在性問(wèn)題，根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形，得出相關(guān)結(jié)論，列方程求解.【板塊一】動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題方法技巧：一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和或差，可以作對(duì)稱點(diǎn)，運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，化折為直求最值.題型一做對(duì)稱點(diǎn)，運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求最值【例1】如圖正方形ABCD的面積為12,ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD

2、內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE最小，則這個(gè)最小值為（）A.石B.273C.276D.而AD【例2】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，BE=2,AE=3BE,P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是.方法技巧遇直角三角形求最值，找直角三角形斜邊中點(diǎn)，連斜邊中線，該中線長(zhǎng)等于斜邊一半，為定值題型二連斜邊中線求最值【例3】如圖，/ACB=90°,BC=8,AC=6,點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,CMXBP于點(diǎn)M,求AM的最小值.方法技巧通過(guò)構(gòu)造全等三角形，將動(dòng)線段轉(zhuǎn)化到特定位置，這一位置上能求出最值題型三構(gòu)造全等求最值【例4】如圖，ABC是等邊三角形，AB=4,E是AC

3、的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段EF,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AF的最小值.方法技巧求四邊形周長(zhǎng)的最值，或者求三條線段和的最值，兩動(dòng)點(diǎn)間距離一定，另兩點(diǎn)為定點(diǎn)，將兩動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行平移，再做一定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩線段和問(wèn)題，然后求解題型四平移線段求最值【例5】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E在CD上，DE=1,點(diǎn)M,點(diǎn)N在BC上，且MN=2,求四邊形AMNE的周長(zhǎng)的最小值.針對(duì)練習(xí)11 .如圖，菱形ABCD中，AB=2,/A=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，求PK+QK的最小值.2 .如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,P為BC上

4、的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于AC,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)N,M,連接MN,求MN的最小值.3 .如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，作AFLDE分別交DE,DC與點(diǎn)P,F,連接PC.(1)若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求證：F點(diǎn)為CD的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，PE=6,PC=4J2,求PF的長(zhǎng)；(3)若正方形邊長(zhǎng)為4,直接寫(xiě)出PC的最小值為4 .矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E為直線BC上一點(diǎn).(1)如圖1,當(dāng)E在線段BC上，且DE=AD時(shí)，求BE的長(zhǎng)；(2)如圖2,點(diǎn)E為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BE時(shí)，連接DE,M為DE的中點(diǎn)，連接AM,CM,求證：AM±CM;(3)如圖3

5、,在(2)的條件下，點(diǎn)P,Q為AD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2.5,連接PB,MQ,則四邊形PBMQ周長(zhǎng)的最小值為.（圖1）（圖2）（圖3）【板塊二】動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(8,0),P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P,PC為邊在x軸同側(cè)作正方形OPEF和正方形PCAD,若線段OA的中點(diǎn)為M,求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x,y軸上，A(0,6),點(diǎn)Q為對(duì)角線BO上一動(dòng)點(diǎn)，D為邊OA上一點(diǎn)，DQLCQ,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向移動(dòng)，若移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3,直接寫(xiě)出CD的中點(diǎn)M移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.y針對(duì)練習(xí)2

6、1.如圖，A(0,4),B(2,0),C為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P沿A-O從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O,CP=CD,且/PCD=90°(點(diǎn)P,C,D逆時(shí)針排列)，則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.4,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F時(shí)AD上的一點(diǎn)，且AF=1AD,求證：CE平分/BCF;4(2)如圖2,若點(diǎn)Q時(shí)AD的中點(diǎn)，連接EQ并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)G,過(guò)Q作EG的垂線交射線BC于點(diǎn)P,連接PE,PG.設(shè)AE=x,PEG的面積為V,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；若點(diǎn)M時(shí)PQ的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)的路線的長(zhǎng).(圖1)(圖2)【板塊三】存在性問(wèn)題【例

7、1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,Ja21J21a16.一動(dòng)點(diǎn)AB/OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b滿足P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、O同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).【例2】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn).(1)