2020-2021學(xué)年四川省宜賓市第四中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020-2021學(xué)年四川省宜賓市第四中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1 .設(shè)a, b R,且a b,則下列不等式中恒成立的是（112, 2A. a b 1B. - -C. a2 b2a b【答案】DD選項，作差比較可知 D【解析】對于A, B,C選項，分別取特值可知都不正確，對于正確.對于A,取a 1,b 2 ,則a【詳解】b 1不成立，故A不正確;1一不成立，故B不正確；b2,bb2不成立，故C不正確;2b o 3bb ) (a b)( a -)0 ,所以 a b ,故 D 正24對于D ,因為a b,所以a3 b3 （a b）（a2 ab確.故選：D【點睛】本題考查了作差

2、比較大小，2 .下列說法正確的是（）A.命題 直角相等”的條件和結(jié)論分別是 直角“和 相等”B.語句 最高氣溫30c時我就開空調(diào)”不是命題C.命題對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D.語句當(dāng)a>4時，方程x24x+a = 0有實根”是假命題【答案】D【解析】將其改寫為若p,則q”的形式，從而判斷 A;根據(jù)命題的定義判斷 B;舉反例判斷C, D；【詳解】對于A,改寫成若p,則q”的形式應(yīng)為 若兩個角都是直角，則這兩個角相等"，則A錯誤；對于B,所給語句是命題，則 B錯誤；對于C,邊長為3的等邊三角形與底邊為 3,腰為2的等腰三角形拼成的四邊形，對角線相互垂直，但不是菱形，則C

3、錯誤；對于D,當(dāng)a 5時， 16 4 5 0,方程x24x+ a=0無實根，則D正確；故選：D【點睛】本題主要考查了命題的概念以及判斷命題的真假，屬于中檔題3.點(石，4)在直線l： axy+1=0上，則直線l的傾斜角為()A. 30°B. 45°C 60°D 120°【答案】C【解析】先求出a B再根據(jù)斜率可得傾斜角.【詳解】由題意可知*a 4+1=0,即a= J3 ,設(shè)直線的傾斜角為 %則tan “= 33,又 0"90- ,a= 60 ,故選：C.【點睛】本題考查了由直線的斜率求傾斜角，掌握傾斜角的范圍是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4,雙曲線x

4、2 y2 4左支上一點P(a,b)到y(tǒng) x的距離為 亞，則a b ()A. 2B. -2C. 4D. -4試題分析:由點到直線的距離公式Axo By。C,a2 b22 一 2a b 2,把點P(a,b)代入雙曲線方程得 a b a b a b 4 ；又因為點p在左支上，所以a b 0,故a b 2, B為正確答案.【考點】1、點到直線的距離公式；2、雙曲線的性質(zhì).5.若條件p：兇W2條件q： xv,且p是q的充分不必要條件，則 a的取值范圍是()A. 2, +oo)B. (oo, 2C. 2, +8)d. (8, 2【答案】A【解析】p是q的充分不必要條件，即p所表示的集合是q所表示集合的真子

5、集.【詳解】由題意得p： 2 X 2,要使得p是q的充分不必要條件，只需 a 2,選A. 【點睛】對于充分性必要性條件的判斷三種常用方法：(1)利用定義判斷.如果已知p q ,則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)利用等價命題判斷；(3)把充要條件“直觀化”，如果 p q ,可認(rèn)為p是q的“子集”；如果 q p , 可認(rèn)為p不是q的“子集”，由此根據(jù)集合的包含關(guān)系，可借助韋恩圖說明.6 .若方程mx2 (2- m)y2= 1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()B. (0,2)C. (1,2)D. (01)【答案】D【解析】首先方程寫成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)焦點在x軸，列不等

6、式，求解m的取值范圍.【詳解】2 x Tm2y12 m1一 0 m12 m丁焦點在x軸的橢圓,m 02 m 0 ,0 m 1 .m 2 m故選D【點睛】 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)概念的考查x 27 .已知命題p: x R,ln x x 2 0,命題q: x R, 2 x，則下列命題中為真命題的是()A. p A qB.p A qC. p A qD.pA q【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由已知可構(gòu)造函數(shù)f x lnx x 2,因為f 1 ln1 1 21 0, f 2 ln2 2 2 1n2>ln1 0,所以存在 x 1,2 ,使方程工一2三0成立，即命題p為真命題；又因

7、為x 3時，有23 8 , 32 9, 此時23 32,所以命題q為假命題，則 q為真，故正確答案為 c.【考點】函數(shù)零點、常用邏輯用語8.如圖中共頂點的橢圓與雙曲線的離心率分別為e1, e2, e3,其大小關(guān)系為（）A . e1<e2<e3<e4C. e1<e2<e4<e3【答案】CB. e2<e1<e3<e4D. e2<e1 <e4<e3【解析】【詳解】根據(jù)橢圓越扁離心率越大可得到0V eK e2< 1根據(jù)雙曲線開口越大離心率越大得到1 v av e3可得到 ev e2v e4v e34,故選C.9 .已知x 0

8、, y0 ,且x2 3xy 2 0,則2x y的最小值是（2、,而<.3【答案】AB.2.23【解析】由題意，根據(jù)x2 3xy 2 0 ,得y2 x22上，代入2x 3xy ,利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案【詳解】由題意，可知x 0, y 0 ,且x2 3xy 2 0 ,貝U y則 2x y 2x2 x23x1 5x2 23 x1 s 2、1 c12 2,10 一 (5x ) 2 I5x - ,3 x 3, x 30等號成立，即52x y最小值是20 ,故選A.3【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最小值問題,其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，代入化簡,根據(jù)“一正、二定、三相等”，合

9、理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10.已知半徑為r的圓M與x軸交于E,F兩點，圓心 M到y(tǒng)軸的距離為d .若d EF ,并規(guī)定當(dāng)圓M與x軸相切時EF 0,則圓心M的軌跡為()A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線【答案】C【解析】設(shè)圓心M (x, y),利用圓的弦長公式，得出x 2JP一，即可得到圓心 M 的軌跡，得到答案.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心 M(x, y),則圓心M到y(tǒng)軸的距離為d |x ,由圓的弦長公式，可得 EF 24r2 d2 2斤y7 ,因為 d |EF ,即 x 2ypy2 ,整理得 x2 4y2 4r2 ,22x y即一4 1

10、,即圓心M的軌跡為橢圓.4r r故選：C.【點睛】本題主要考查了軌跡的判定與求解，其中解答中熟練應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系，合理利用圓的弦長公式列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力11.下列幾個命題:a 0c2是不等式ax2 bx c 0的解集為R的充要條件;x的圖象關(guān)于y軸對稱;b2 4ac 0設(shè)函數(shù)y f x的定義域為R ,則函數(shù)f x與f若函數(shù)y Asin x A 0為奇函數(shù)，則k ,k Z ,已知x2 一0,，貝U y cosx 的最小值為2衣；2cosx其中不正確的有()A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個0的解集為R推不出【解析】對于，當(dāng)a二b二0, c 0時，不等式ax

11、2 bx ca 02,故錯誤；對于，兩個函數(shù)圖象上的橫坐標(biāo)為相反數(shù)時，縱坐b2 4ac 0標(biāo)恒相等，故正確；對于，根據(jù) x 0, y 0可推出 k ,k Z ,故正確；對2于，設(shè)cosx t,根據(jù)對勾函數(shù)t t ，的單調(diào)性可求出最小值為3,故錯誤.【詳解】對于，當(dāng)a二b二0, c 0時，不等式ax2 bx c 0的解集也為R,故錯誤；對于，設(shè)函數(shù) y f x的定義域為R ,因為函數(shù)y f x與y f x的圖象上橫坐標(biāo)為相反數(shù)的點的縱坐標(biāo)相等，所以函數(shù)f x與f x的圖象關(guān)于y軸對稱，故正確；對于，若函數(shù) y Asin x A 0為奇函數(shù)，則Asin( x ) Asin( x )對 x R 恒成

12、立，令 x 0,得 Asin Asin ，即 2Asin 0,又 A 0 ,所以 sin 0 ,所以k , k Z,此時y Asin( x k ) Asin x (k Z)為奇函數(shù)，故正確；2對于，設(shè)cosx t,因為x 0,),所以t (0,1,此時t t -在(0,1上為遞減2t函數(shù),所以當(dāng)t 1,即x 0時，ymin 12 3,故錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了判斷命題的真假，考查了充要條件，考查了函數(shù)的對稱性，考查了由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于中檔題 2212 .已知Fi, F2分別為橢圓x2- -y2- l(a b 0)的左、右焦點，點P是橢圓上位于

13、 a b第二象限內(nèi)的點，延長 PFi交橢圓于點Q,若PF2 PQ ,且PF2 |PQ ,則橢圓的離心率為()a.而 6 b. V2 ic. 73 V2d. 2 72【答案】A【解析】由題意可得&PQF2為等腰直角三角形，設(shè)|PF2|=t,運用橢圓的定義可得|PFi|= 2a-t,再由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，計算可得離心率.【詳解】解：PF2LPQ且|PF2|=|PQ|,可得 PQF 2為等腰直角三角形，設(shè) |PF2|=t,則 |QF2|= 72t ,由橢圓的定義可得|PFi|=2a-t,2t , 2t 4a則 t= 2 (2 - 22.) a,在直角三角形PFiF2中，可得 t

14、2+ (2a - t) 2= 4c2,4 (6-472)a2+ (i2-8亞)a2=4c2,化為 c2= ( 9- 672)a2,可得 e= c= 76 M . a故選A.【點睛】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及運算求解能力.二、填空題13 .過點A 3, 1且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是 【答案】x 3y 0或x y 2 0【解析】 當(dāng)直線過原點時，在x軸和y軸上的截距都為0,也相等；當(dāng)直線在x軸和y軸上 的截距不為0時，可設(shè)截距式，代入坐標(biāo)即可求解. , 1當(dāng)直線經(jīng)過原點時，在x軸和y軸上的截距都為0,也相等，此時直線的斜

15、率k 則直31-線方程為yx,即x 3y 031，代入A 3, 1可得0當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距不為 0時,設(shè)直線方程為 - ya ax v1,解得a 2,則直線方程為一 上1，即x y 22 2綜上可知，直線方程為乂3丫0或*丫2 0故答案為：x 3y 0或x y 2 0本題考查了直線的截距式方程的應(yīng)用，注意討論截距等于0的情況，屬于基礎(chǔ)題y 1 0y 1 0 ,則z 2x 3y的最小值是3x14 .已知實數(shù)滿足xx【答案】6【解析】試題分析：作出約束條件表示的可行域，如圖 ABC內(nèi)部(含邊界)，作直線M：2x 3y 0,平移直線I。，當(dāng)直線I。過點B(3,4)時，z 2x 3y取得最小值

16、 6.【考點】線性規(guī)劃15.傾斜角為一的直線過拋物線y242x的焦點F ,交拋物線于 A、B兩點，則|AB| 【答案】4【解析】由拋物線y212x得焦點F ,0 ,再求得直線的萬程, 2將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得出交點的坐標(biāo)的關(guān)系XiX23,再由拋物線的定義可求得線段的長由拋物線y2L 1八，人八，一，2x得焦點F ,0 ,，傾斜角為一的直線過焦點F的方程為:24e, tr 212x聯(lián)立得x 3x 0 ,43,由拋物線的定義得令 Ax1，y1, Bx2,y2,則x1鵬1|AF | x1 2,|BF | x211 | AB | x1乂222故答案為：4.本題考查拋物線的定義和直線與拋物線的

17、位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運用拋物線的定義轉(zhuǎn)化了 求線段的長的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題2216 .設(shè)雙曲線）4 1 a 0,b 0的右焦點為F，右準(zhǔn)線l與兩條漸近線交于 P、 a bQ兩點，如果 4PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率 e 【答案】,2 .a2【解析】設(shè)右準(zhǔn)線l交x軸于點N ,0 ,由 PQF是直角三角形得知PNF是以c點N為直角頂點的等腰直角三角形，然后得出PN FN ,可計算出雙曲線的離心率e的值.【詳解】a2設(shè)右準(zhǔn)線l交x軸于點N ,0 c由題意可知，點 P、Q關(guān)于x軸對稱，.2 .設(shè)右準(zhǔn)線l交漸近線y bx于點P ,a- ac c交漸近線y bx于點Q a-, ab , ac c PQ

18、F是以點f為直角頂點的等腰直角三角形,根據(jù)雙曲線的對稱性知,PNF是以點N為直角頂點的等腰直角三角形,.2.22.2PN FN ,即 ab c a-,即 ab c , a -,c c c c c貝 U c Va2 b2 72a '因此，雙曲線的離心率為 e c 工. a故答案為：2.【點睛】本題考查雙曲線準(zhǔn)線相關(guān)的幾何性質(zhì)，充分考查三角形的幾何特征是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題17.已知直線l的傾斜角是直線yJ3x 1的傾斜角的 1,且l過點P J3, 1 .(1)求l的方程；(2)若直線m與直線l平行，且點P到直線m的距離為3,求直線m的方程.【

19、答案】(1)代x y 4 0; (2) T3x y 2 0或 T3x y 10 0.【解析】(1)先求得直線y V3x 1的傾斜角，由此求得直線l的傾斜角和斜率，進而求得直線l的方程.(2)設(shè)出直線m的方程，根據(jù)點P到直線m的距離列方程，由此求解出直線m的方程.【詳解】(1)二.直線的方程為y用x 1,kJ3,傾斜角 120 ,由題知所求直線的傾斜角為 60 ,即斜率為J3,直線1經(jīng)過點 J3, 1 ,所求直線1方程為y 1 J3 x J3 ,即 73x y 4 0;(2) 直線m與1平行，可設(shè)直線m的方程為J3x y c 0由 73 1c即 4 c 6 ,c 2 或 c10所求直線 m的方程

20、為 J3x y 2 0或T3xy10 0【點睛】本小題主要考查直線的斜率和傾斜角，考查兩直線平行，考查點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.八一 一，22x 3 c18 .命題p：函數(shù)y 1g x 4ax 3a (a 0)有意義，命題q：實數(shù)x滿足 0 .x 2(1)當(dāng)a 1且p和q都為真命題，求實數(shù) x的取值范圍；(2)若q是p的充分不必要條件，求實數(shù) a的取值范圍.【答案】(1) 2,3 , (2) 1,2 .【解析】(1)由函數(shù)y lg x2 4ax 3a2 a 0有意義化簡P,求解分式不等式化簡q,再由p , q同時為真，取交集得答案；(2)由q是p的充分不必要條件，得 2,3 ? a,3a

21、,再由兩角和端點值間的關(guān)系列不等式組求解.【詳解】(1)由4 ax3a2 0，得 x2 4ax 3a2 0 ，3a3a3a0.3,x 3xr2即q： 2q同時為真,2x3,1所以2實數(shù)x的取值范圍是（2）若q是p的充分不必要條件,. .即 2,3 ? a,3a .3a 3，且3a 3, a 2不能同時成立, a 2實數(shù)a的取值范圍為1,2 .本題考查一元二次不等式及分式不等式的解法,考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題.2 x19.已知雙曲線a23 1（a 0,b 0）的虛軸長為2瓜且離心率為6求雙曲線的方程;（2）經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30。的直線

22、，直線與雙曲線交于不同的兩點A,B,求 |AB|.2【答案】（1）31；（2呼【解析】(1)由題意可得e c 73, b Jc2 a2 J6,解方程可得a, b, c, 可得所求雙曲線的方程；(2)設(shè)經(jīng)過雙曲線右焦點 F2且傾斜角為30。的直線的方程為y 叵(x 3),聯(lián)立雙3曲線方程，可得 x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.22(1)雙曲線C：當(dāng) 當(dāng) 1(a 0,b 0)的虛軸長為2疾,離心率為 由, a bc 3_a 解得 a73, b 褥，c 3,b 622雙曲線的方程為 1.3622F2且傾(2)由(1)知雙曲線上 1的右焦點為F2(3,0),設(shè)經(jīng)過雙曲線右焦點 3

23、6斜角為30。的直線的方程為-(x 3) , A(x1, y1) 3B(x2,y2),2X,3由2L 1:,得 5x2,X 3)36x 27 0,其中，XiX26一,X1X2527-5，| AB| .1 k2 |xi x2116 2271+3 ( 5)4 ( 5)16'、35本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.20,已知圓M與圓N : X 3y2 1關(guān)于直線l：y X對稱.(I )求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)若A點的坐標(biāo)為1,3O為坐標(biāo)原點，點 B為圓M上的動點，求AOB面積的取值范圍.C21 5【答案】(I) X2 y 31； (n

24、)-,-22 2【解析】(I)利用點關(guān)于線對稱得到圓心坐標(biāo)，寫方程即可;(n)三角形底邊 OA不變，只需要計算圓 M上的動點B到直線OA的距離的取值范圍即可得解.【詳解】解：(I)圓N: x 32 y2 1的圓心N 3,0關(guān)于直線y x的對稱點為M 0,3 ,2半徑不變圓M的標(biāo)準(zhǔn)萬程為：x2 y 31 ；(n) O OA2,且直線OA的方程為：y J3x,點M 0,3到直線OA:y 73x的距離為：d9,22又；點B為圓M上的動點，半徑為1,1 5點B到直線OA的距離h的取值范圍為：一，5 ,2 2S AOB11Saob 2|OA h "-AAOB面積的取值范圍為 ；【點睛】本題考查

25、了圓的方程和圓上動點到定直線距離的范圍，屬于中檔題21 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O為坐標(biāo)原點，動點 P與兩個定點 M (1, 0), N (4,0)的距離之比為1 . 2(I )求動點P的軌跡W的方程；(n)若直線l： y= kx+3與曲線 W交于A, B兩點，在曲線 W上是否存在一點 Q,使 得oQ oA OB,若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由.【答案】 解：(I)動點P的軌跡W的方程為x2 y2 4, (n)見解析.【解析】(I)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x, y),再由M和N的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公1式分別表不出|PM|及|PN|,由距離之比為 1列出關(guān)系式，整理后即可得

26、到動點P軌跡W2的方程；(n)由第一問得到的 W軌跡方程為圓心(0, 0),半徑為2的圓，且直線l與圓交于兩個，求出不等式的解集得到k的范圍，假設(shè)存在 Q點，使得和B在圓上，利用由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，根據(jù)菱形的對角線互相平分且垂直，得到 OQ與AB互相垂直且平分，可得出原點到直線 l的距離k的方程，求出等于|OQ|的一半，即為半徑的一半，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于方程的解得到k的值，經(jīng)檢驗符合 k的范圍，故存在點Q,使得oQPM 1解：(I)設(shè)點P坐標(biāo)為(x, y),依題意得： -PN|2又 M (1, 0), N (4, 0),2 X 1 2 y2化簡彳導(dǎo):X2 + y2=4,則動點P軌跡W方程為X2+y2=4；(H) .直線l: y=kx+3與曲線 W交于A, B兩點，且 W軌跡為圓心為（0, 0）,半徑 r = 2的圓,3/5，圓心到直線l的距離d j 2 < r= 2,即k2>一,.1 k4解得：k>巫或k< 居, 22假設(shè)存在點q點，使得OQ oA oB由A, B在圓上，且oQ利用向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形,OQ與AB互相垂直且平分，13，原點O到直線l: y = kx+3的距離為d