2020屆內(nèi)蒙古赤峰市高三年級12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆內(nèi)蒙古赤峰市高三年級 12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題21 .集合 U R, A x|x 4x 12 0，則 CuA （）A.2,6B,6,2C.,26,D., 6 U 2,【答案】C【解析】求出 A中不等式的解集確定出 A,根據(jù)全集U = R,求出A的補集即可.【詳解】2依題意，A x|x 4x 12 0 x| 2 x 6，故 Cu A , 26,故選：C.【點睛】 此題考查了補集的運算及一元二次不等式的解法，熟練掌握補集的定義是解本題的關(guān) 鍵.2.復(fù)數(shù)z滿足z 1 i 1 3i ,則z （）A. 2B. 4C. 75D . 5【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)z,再

2、求出模長|z|.1 3i 1 3i 1 i z 1 i2【點睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的乘除運算與模長計算問題，是基礎(chǔ)題.一.313.已知sin21A .一馬，則8s（）3B.1C.逑D.述3333【答案】B【解析】直接由誘導(dǎo)公式計算即可【詳解】由誘導(dǎo)公式可得：f 31 拓1sin cos -,故 cos -.故選：B.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題1 一 74 .已知正等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若aiS3 一，則（）33161283264. 3333【答案】C【解析】利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出.a2a3,5故 a6aq257一,即3323，13q1 27c

3、-q-,解得 q =2(q333舍去），故選：C.本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力， 屬于中檔題.5.將某新電動車的續(xù)航里程數(shù)統(tǒng)計如下圖所示，則該款電動車的續(xù)航里程數(shù)的中位數(shù)約為（）蛆昭A. 325B. 312.5C. 316.67D. 310【答案】C【解析】由頻率分布直方圖得：續(xù)航里程數(shù)在150 , 300 ）的頻率為0.4 ,續(xù)航里程數(shù)在300 , 350 ）的頻率為0.3,由此能求出中位數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖得：續(xù)航里程數(shù)在150 , 300 ）的頻率為：（0.001+0.003+0.004） X 50 =0.4,續(xù)航里程數(shù)在300 , 35

4、0 ）的頻率為：0.006 X50 = 0.3,所求中位數(shù)大約為：3000.5 0.4 50 316.67 .0.3故選：C.【點睛】本題考查中位數(shù)的求法， 考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查分析問題的能力，是基礎(chǔ)題.6.連續(xù)投擲2粒大小相同，質(zhì)地均勻的骰子 3次，則恰有2次點數(shù)之和不小于10的概率為（）5B .7252161C.15【解析】基本事件總數(shù) n = 6 X6= 36 ,利用列舉法求出出現(xiàn)向上的點數(shù)之和不小于10包含的基本事件有 6個，由此能求出一次出現(xiàn)向上的點數(shù)之和不小于10的概率，再結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率公式求解即可.【詳解】連續(xù)投擲2粒大小相同，質(zhì)地均勻的骰子1次，基本事件總數(shù)

5、n = 6 X6 = 36 ,出現(xiàn)向上的點數(shù)之和不小于10包含的基本事件有：(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6),共有 6 個，每次投擲，兩骰子點數(shù)之和不小于10的概率為1,6又投擲3次，相當(dāng)于3次獨立重復(fù)試驗，2155故恰有兩次點數(shù)之和不小于10的概率為C32-一.6672故選：B本題考查獨立重復(fù)試驗的概率的求法,考查古典概型概率計算公式、列舉法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力，是中檔題.7 .已知向量a、b滿足aA. 458 . 60r r2, 2a bCrr r r 0312a b ,則a與b夾角為(C. 90D. 120【解析】根據(jù)1

6、2a b I石 12a bl, 兩邊平方，根據(jù) ai, b ,得出向量的數(shù)量積,再根據(jù)夾角公式求解.rr2rr2r 2 r r r 2 r 2 r r由已知，(2a b) =3( 2a b)，即 4a +4a?b b=3(4a - 4 a?brrr,r,因為 |a|= 1,|b| = 2,則a21,b2=4,所以 8+4 3？： 3 (8-4a?tb ),r r r即 a?b 1.設(shè)向量3與b的夾角為e,則 | a|?| b |cos 8 1,即 cos 0 ,2故 e=60 ° .故選：B.【點睛】本題考查了向量夾角的求法，考查了數(shù)量積的運算法則及模的求解方法，屬于基礎(chǔ)題22xy8

7、 .已知雙曲線C ：)今ab0,b0的左，右頂點分別為A, B ,雙曲線C上存在一點M i 2 ,且滿足kMA kMB2,則雙曲線方程為(22C. 4x2 2y2 1 D. 1【解析】直線MA、MB的斜率之積求得a2 ,再利用M在C上代入雙曲線方程求得b2,即可得結(jié)果kMB_22_43 a - 3 a 3 a2-34_22M 在 C 上-2- 1 與 a 1 b 2 .a b雙曲線方程為x21,2【點睛】 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.f x的圖，一一 ,7 77.2c9.已知函數(shù) f x J3sin x cos x sin 3221 人一、人一、，y-，像向下平移

8、一個單位后，再向左平移 一個單位，得到函數(shù) g x的圖像，則（24A.函數(shù)g x的圖像關(guān)于x 對稱B.函數(shù)g x的圖像關(guān)于x對稱55cC. g x g x 066D.7g 127g 12【解析】由條件利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)f x化簡，再利用圖象變換規(guī)律求得 g x ,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象的對稱性，對選項一一判斷.【詳解】 依題意 f x 3sinxcosx sin2 x sin 2x 6一. ，一，1 . -.八 一函數(shù)f x的圖像向下平移一個單位后，得到 y sin 2x 一的圖像,26再向左平移一個單位，得到 g x sin 2 x sin 2x ,4463_k _令2x k ,(k Z),解得

9、x ,(k Z)為gx的對稱軸, 32122-k_令 2x k ,(k Z),解得 x ,(k Z),362一.， k則（,0）（ k Z）為g x的對稱中心, 62給k賦值，可判斷選項 A, B, D均不正確,k 2時，5,0是函數(shù)g x的圖像的一個對稱中心 6故選：C.【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù) y = Asin （ ax+ g的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的 圖象的對稱性，屬于中檔題.10 .已知長方體ABCD AB1C1D1中，AB 2AD 2AA ,若點e是線段CD的中點，AD與AD1相交于點F ,則直線BF與直線DE夾角的余弦值為（）A. 1B.史C.我D 1214147【

10、解析】先通過作平行線，作出異面直線所成的角，再由余弦定理解三角形求得其余弦 值即可.【詳解】作出圖形如圖所示，連接 AE ,取AE的中點G ,連接GF ,則GF/ DE ,則直線BF與直線D1E夾角即為 GFB1,又AB2AD 2AA1 4,則GFJ2, BF3J2,又在底面中易求BG 10,. B1GBB12 b4,故cosGFBI3.2 2 京22 2 3 2故選：A.本題考查了求異面直線所成的角的基本方法是：一、作角（平行線）；二、證角（符合 異面直線所成角的定義）；三、求角（解三角形），屬于基礎(chǔ)題2x11 .橢圓-2a2L 1 b2a b 0的左，右焦點分別為 E , F2 ,直線l過

11、點F1交橢圓于A,B兩點,ABBF23 AF2BAF2 60 ,則橢圓的離心率為（1B.一3【解析】在 ABF2中,利用橢圓定義及已知,結(jié)合余弦定理可得AF2 :bf2定義可得由AB得：AB整理得:AF2BF2AFi =a ,從而得到e.3AF2 3 AF2BF2代入,ABAF22 AF2AB cos60bf2AF2 : BF25:7代入式得:AF2 : BF2 :AB5:7:8不妨設(shè)：AF2則 5 x 2a5,故點A為橢圓頂點,故選：A.BF2of2AF2本題考查了橢圓的離心率的求法,余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題12 .已知函數(shù)fln xS x1, x2x1x2B.ABAF28,sin 30A

12、Fix,考查了橢圓定義的應(yīng)用及焦點三角形的周長,K,x2a,，使涉及到xi2,則a的取值范圍是（C.,2f X2 ,X2 的【解析】由S X|,X2的幾何意義可得S X|,X2表示兩點Xi,f Xi距離，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為兩個互為反函數(shù)圖像上兩點間的距離的最小值問題【詳解】令 t f X2 ,則 X2 e a,則 S Xi, X2 ,即為兩點 Xjn Xi a , t,et a的距離，又y In x a與y eX a關(guān)于y X對稱，設(shè) A 1 a,0 , B 0,1 a ,則兩函數(shù)在 A , B處的切線斜率都為1, kAB 1,故可知AB為S X1,X2最小值.即2 72 a 1 a V2

13、 1,即 1 a 72 1 ,當(dāng)a 1時，顯然成立，故 a 、21.故選：A.【點睛】本題考查了兩點間距離的求法，考查了換元法及反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題、填空題13 .已知實數(shù)x, y滿足 y 4x ,則一的取值范圍為 【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解即可.作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,表示平面區(qū)域內(nèi)的點與5,0連線的斜率,故kBDyx 5 yx 5故答案為:1,3本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)直線斜率的公式,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.6y 的展開式中,y2的系數(shù)為906個因式中,2個因式取y,2個因式取x2 , 2個因式取

14、1於，即可得到含x3y2的項.依題意,1x6表示6個因式1-xy的乘積，要得到x3y2的項,需有2個因式取y，2個因式取x2 , 2個因式取6一、3 222的展開式中，x y的系數(shù)為C6c4 15 6 90故答案為：90.【點睛】本題主要考查三項式的展開式的系數(shù)問題，組合數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.115 .已知數(shù)列 an滿足：ai 一 21a2 一 32 a3312a4 1 , a5 一 4414a7,，以此類推 a20205-4【答案】 一65【解析】根據(jù)數(shù)列項的規(guī)律進行分段，分析出第2020項所屬的那一段，再結(jié)合規(guī)律即可求值.按分母分段，分母為 k 1的分?jǐn)?shù)有k個,一 .63 64因為 2

15、016 ,故2020屬于第64段,2則 a2020 應(yīng)該是分母為65的第四數(shù)，即465故答案為:465本題考查數(shù)列的遞推式，解題時要善于合理地分段， 考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16 .四邊形 ABCD 中，AB 5, BC 6, CD 7, DA 8,則四邊形 ABCD 面 積最大值為.【答案】4.105【解析】在CBD, AABD中，由余弦定理可得 21cosc 20cosA 1再由三角形面積公式，可得 21sinC 20sin A Sabcd ,結(jié)合同角基本關(guān)系可得 2222120 840cos A C 1 Sabcd ,利用余弦定理的有界性求得最值.【詳解】ABD 中，BD2 52

16、 82 2 5 8cos A,CBD 中，BD2 62 72 2 6 7cos C ,由得：21cosc 20cosA 1(*)C1 L c . ASABCD5 8sin A1-6 7sin C 221sinC 20sin AABCD (),(*)(*)兩式平方相加得:_ ,2_2_ _,_22120840cosA C1Sabcd ,_2_ 221Sabcd2120840 1681,' SABCD最大值為.16804 .105 .2故答案為：4.105本題考查余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用, 考查運算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.三、解答題17 .各項為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a11 ,

17、 2sn an an 1 .(1)求an的通項公式;1(2)求證：一a1a2anan 1【答案】(1) an證明見解析【解析】(1) 2Snan an1 ,得2Sn 1 an 1 an 1 1 ,兩式作差，即可證明an為等差數(shù)列，從而求出 an.(2)利用裂項求和法能求出數(shù)列的前n項和,再放縮即可證明.(1 )由 2Snan an12Sn 1an 1 an 1兩式相減得:2an an2an 1an整理可得anan 1anan 1可得 anan 11 ,1anan 1故 an1 n 11 n.11(2) 一 一 al a2 a2a31112 2 3本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題

18、時要認(rèn)真審題， 注意迭代法和裂項求和法和放縮法的合理運用.18 .四棱錐 P ABCD 中，PA AD 2, AB BC CD 1, BC/AD,平面PBA平面PBD.PAD 90 . PBA 為銳角,（1）證明：PA平面ABCD ;（2）求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值. 萬【答案】（1）證明見解析；（2）7【解析】（1）先作AM PB于M ,則由平面PAB 平面PBD AM 平面PBD AM BD ,又在底面中可得 ABD 90 ,從而可得DB 平面PAB PA DB ,結(jié)合 PAD 90 PA 平面 ABCD.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，可得所求【詳解】(1

19、)作 AM PB 于 M則由平面PAB 平面PBD AM 平面PBD AM BD ,取 AD 中點為 Q ,則 BCPQD BQ CD 1 QDQAABD 90又 PBA為銳角，M、B不重合,DB ABDB 平面 PAB PA DB 與 PADB AMADPA 平面 ABCD.x軸與HB平行)，(2)取AQ中點H ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系(其中0-3 1 n則B,-,02 2,3 3C ,02 20,2,0P 0,0,2 ,由(1)的證明知:平面 PAB法向量為uuurBDir設(shè)平面PCD法向量為mx,y,z ,v uuivm PD 0 則 v uuivm CD 02y 2z 03x2令 x

20、1 m1,73,73 ,ir uuru uur m BD cos;m, BD ) urF-uur m BD,3 3,3_-T -2- 7_,3 77【點睛】本題考查面面垂直、線面垂直與線線垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查了空間直角坐標(biāo)系求二面角，考查空間想象能力以及計算能力，屬于中檔題；19 .某公司在年終“尾牙”宴上對該公司年度的最佳銷售員工進行獎勵，已知員工A 一年以來的月銷售業(yè)績分別為： 102 , 113 , 123 , 132 , 144 , 138 , 126 , 119 , 108 , 122 , 109 ,146.若該公司為最佳員工準(zhǔn)備了相應(yīng)的獎品，需要該員工通過抽獎游戲進行確定獎品金額

21、，游戲規(guī)則如下：該員工需要從9張卡牌中不放回的抽取 3張，其中1 張卡牌的獎金為 600元，4張卡牌的獎金均為 400元，另外4張卡牌的獎金均為 200元，所抽到的3張卡牌的金額之和 X便是該員工所獲得的獎品的最終價值.-1(1 I I 12 13 14(I)請根據(jù)題意完善員工A的業(yè)績的莖葉圖，并求出員工A銷售業(yè)績的中位數(shù)；(n)求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(I)莖葉圖見解析，122.5; (n)分布圖見解析，1000【解析】(I)根據(jù)條件，可得員工 A的莖葉圖，利用莖葉圖的中位數(shù)計算方法求解；(n)求出X的所有可能取值，分別求出相應(yīng)的概率， 由此能求出X的分布列及期望.【詳解】(I)依

22、題意，所求莖葉圖如圖所示：122 123則所求中位數(shù)為122.5；2(n) X 的所有可能值為 600 , 800 , 1000 , 1200 , 1400.則 P X 600C3£2C93 84 21 ?800C4 C：24 2C；84 7，1000c1C42c：c：C3308412003111C4 C1 C4 C4C931400C11 C46C384114所以X的概率分布列為:X600800100012001400P1212751452111412551所以 E X 600-8001000一1200一1400一1000 (元).217142114【點睛】本題考查莖葉圖的中位數(shù)的求

23、法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用.20 .拋物線C ： x2 2 py上有兩點A, B ,過A , B作拋物線的切線交于點 M 2, 1 ,且 AMB 90（1）求拋物線C的方程;x c c 1交拋物線于C ,（2）過m點斜率為1的直線交拋物線于 p , Q,直線yD ,求四邊形PQDC面積的最大值2【答案】（1） X24y；（2）128.227【解析】（1）設(shè)過點M的切線方程為y 1k x 2 ,與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及 AMB 90可得所求.（2）分別聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長公式求得PQ和CD ,再利用平行線間的距離求得梯形

24、的高，將PQDC面積表示為關(guān)于c的函數(shù)，通過換元法及導(dǎo)數(shù)求得最值2(1)過點M作x 2py的切線，方程為y 1 k x 2 , 2_2即 y kx 2k 1 代入 x 2 py x 2 pkx 2 P 2k 10,0,2一 ,2化簡為 pk 4k 2 0, kk1 1 P 2,P即 x2 4y .y x 12(2)2x 4x 4 0.x 4y故 PQ 衣 |xp xq 近 43 8,cd ： y x c代入 2.2x 4y 4 x c x 4x 4c 0 CD72 |xC xD 顯 J16 16c 472 VT-c ,且由 16 16c 01 c 1,由平行線之間的距離公式可得：梯形PQDC的

25、高為故 SPQDC28 42、1 c 1 c21 c 2,2 2.1C令 7TT t,則 Spqdc2 t2 2戊 2t t 0,&S' 2t 2,2 2t 2 t2 26t2 4、. 2t 46 t ,2 t -2 ,3在 0,22 上，S' 0,在 烏,& 上，S 0, 33故當(dāng)tS取最大值為128.227【點睛】本題考查了拋物線的切線方程,考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理和弦長 公式，以及三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)求解最值的應(yīng)用，考查運算能力和推理能力，屬于21 .已知函數(shù)f X難題.lnx mx,點M為/,N -V2在曲線y f x上.(i)討論函

26、數(shù) f x的極值情況;V2 Vx2 x1f ' x1 x2 2的大小關(guān)系，并說明理由V V1【答案】(i)討論見解析；(n)1 "西ef, x x2,理由見解析【解析】(I )求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極值情況V2 V1 , 一 X x2，x2 ,.(n)將與f' 七工 作差，進行參數(shù)集中，令 t 一構(gòu)造函數(shù)h t ,通過x2 x12x1導(dǎo)數(shù)研究h t的最值，從而得到結(jié)論.【詳解】-1.11 mx(I)依題意， x 0, ，故 f' x - m ；xx當(dāng)m 0時，f' x 0,此時函數(shù)f x無極值;0時，令故當(dāng)x1

27、0, m時,0,當(dāng)故函數(shù)x有極大值fIn綜上所述,當(dāng)m 0時,ln m 1,無極小值;(n)依題意，f xIn x2x2In m函數(shù)In xx,無極值;時，f' x 01 ,無極小值;0時,故函數(shù)有極大值x1x222 1x1x2In x1x1In x2In x1x2x1x2x1y2小X2XIn x2In x1x2ln 一X2 x2x1Inx2x2x2xX2x1不妨設(shè)In t2,h'.h t0,上是增函數(shù).-.h t0,lnx2x1x2x1x1x2y2y1f2x2x1x2x1,x2ln 一x1 .tx2x11,42x2【點睛】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查了構(gòu) 造函數(shù)法，屬于較難題.x 2 2cos22 .在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線lx的參數(shù)方程為y立極坐標(biāo)系.y 2sin2L C為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，X軸的非負(fù)半軸為極軸建(I)求曲線C以及直線l的極坐標(biāo)方程；11(n)若A 0,1，直線l與曲線C相交于不同的兩點 M , N ,求而 FT的值.AMIAN【答案】(I) 4cos ,亞 sin -1 ； (n)