生活中的軸對稱(知識點(diǎn)總結(jié)+基礎(chǔ)+變式+提高)

1、知識要點(diǎn)梳理廠軸對稱圖形軸對稱分類軸對稱實(shí)例生活中的軸對稱廣角平分線線段的垂直平分線等腰三角形等邊三角形軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)鏡面對稱的性質(zhì)廠圖案設(shè)計I軸對稱的應(yīng)用 YI鑲邊與剪紙、軸對稱圖形1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的局部能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸 對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點(diǎn)：1指一個圖形；2存在一條直線對稱軸；3圖形被直線分成的兩局部互相重合；4軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的那么存在多條；5線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；【例1】要在一塊長方形的空地上修建一個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的花

2、壇，以下列圖案中不符合設(shè)計要求的是二、軸對稱1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱, 這條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。2、理解軸對稱應(yīng)注意：1有兩個圖形；2沿某一條直線對折后能夠完全重合；3軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形；4對稱軸是直線而不是線段 ；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關(guān)系對稱軸可能不止一條對稱軸只有條共同點(diǎn)沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱的兩個圖形看作.一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形分成兩局部兩個圖形，那么這兩局部關(guān)于

3、這條對稱軸成軸對 稱?！纠?】以下四個判斷：成軸對稱的兩個三角形是全等三角形；兩個全等三角形一定成軸對稱；軸對稱的兩個圓的半徑相等；半徑相等的兩個圓成軸對 稱，其中正確的有4個3于C- 2個三、角平分線的性質(zhì)1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。【例3】如圖，AB=AC, BEL AC于E, CF丄AB于F, BE,CF交于D,那么以下結(jié)論： AB妾 ACF BDF CDE 點(diǎn) D在/ BAC的平 分線上.正確的選項(xiàng)是A.BCD.四、線段的垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。2、性質(zhì)：線

4、段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等?！纠?】以下各語句中不正確的選項(xiàng)是A 全等三角形的周長相等ir=.1B 全等三角形的對應(yīng)角相等C 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上D 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、 相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是 等腰三角形。5、 等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸等邊三角形除外，其底邊上的高或頂角的平 分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、 等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它

5、們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。7、 等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一& “三線合一是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。9、“三線合一是等腰三角形特有的性質(zhì)， 是指其頂角平分線， 底邊上的高和中線，這三線, 并非其他。10、 等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角。11、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法：1兩條邊相等的三角形是等腰三角形;2如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊【例5】如圖(a) , BC=3, / ABC和/ ACB的平分線相交于點(diǎn)O, OE/ AB,

6、OF/ AC那么三角形OEF的周長為。£【變式5】如圖(b)，在 ABC中，AB=AC, AD是高，AM是 ABC外角/ CAE的平分 線.1用尺規(guī)作圖方法，作/ ADC的平分線DN;保存作圖痕跡，不寫作法和證明2設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F,判斷 ADF的形狀.只寫結(jié)果六、等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。2、 等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。3、等邊三 角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。4、等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都是6O0。圖形定義性質(zhì)等腰三角形Z有兩邊

7、相等的1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=1800-2 X底角。底角 =1800-頂角/2。3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三 線合一。4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。«三角形等邊三 角 形又叫正三角形/邊相的角三都等三形1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角都等于60°。2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。、【例6】以下三角形： 有兩個角等于60°； 有一個角等于60°的 等腰三角形； 三個外角每個頂點(diǎn)處各取一個外角都相等的三角形； 一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有BC.【變式6】在 ABC中，A

8、B=AC,將線段AC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD,旋 轉(zhuǎn)角為 a ,且0°V aV 180°, 連接 AD、BD.1如圖1 ,當(dāng)/ BAC=100 ,a =60°時，求/ CBD 的大小。(2) 如圖2,當(dāng)/ BAC=100 ,a =20°時，求/ CBD 的大小。(3) / BAC的大小為m 60°v mv 120°,假設(shè)/ CBD的大小與2中的結(jié)果相同，請直接寫出a的大小.七、含有30°角的直角三角形性質(zhì)：在一個直角三角形中，如果有一個角等于30°,那么30°所對的角是斜邊的一半?！纠?】假設(shè)等腰三

9、角形腰長為8，腰長上的高為4，那么此三角形的頂角是 A. 30°B. 150°C. 30° 或 150°D. 30° 或 120°【變式7】以下說法： 如圖1 , ABC中，AB=AC, / A=45 °，那么 ABC能被一條直線分成兩個小等腰 三角形. 如圖 2, ABC 中，AB=AC, / A=36 ° , BD, CE 分 別為/ ABC, / ACB 的 角平分 線，且相交于點(diǎn)F,那么圖中等腰三角形有6個.1 如圖3, ABC是等邊三角形，CD丄AD,且 AD/ BC,貝U AD= AB2 如圖4 , A

10、BC中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且 AE=AB連接BE并延長至點(diǎn) D,使AD=AC1/ DAC=Z CAB, / DBC=- / DAB,其中，正確的有。2八、軸對稱的性質(zhì)1、 兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點(diǎn)稱為對應(yīng)點(diǎn)對稱點(diǎn)，能夠重合的線段稱為 對應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。3、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。4、 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。5、類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)有：1軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。2軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。3根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求

11、作軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ) 全軸對稱圖形?！纠?】以下四個判斷：成軸對稱的兩個三角形是全等三角形；兩個全等三 角形一定成軸對稱；軸對稱的兩個圓的半徑相等；半徑相等的兩個圓成軸對 稱，其中正確的有右折L1J； V M右下方折沿巒誓幵S)(5)九、圖案設(shè)計1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形，實(shí)際上是軸對稱圖形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。2、 作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形的步驟：1首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點(diǎn)；2然后利用軸對稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對稱點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分3分別連接其對稱點(diǎn)，那么可得其對稱圖形。3、表達(dá)方式以點(diǎn) M為例：1過點(diǎn)M作對稱軸

12、I的垂線，垂足為 A；2延長MA到M到，使MA=MA那么點(diǎn)M就是點(diǎn)M關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)。3在復(fù)雜的作圖中，也可以表達(dá)為：作出點(diǎn)M關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)M.4、在運(yùn)用軸對稱設(shè)計圖案時，就注意以下幾點(diǎn)：1要有明確的設(shè)計意圖；2創(chuàng)意要新穎獨(dú)特；3設(shè)計出的圖案要符合要求；4能清楚地表達(dá)自己的設(shè)計意圖和制作過程。5、 圖案的設(shè)計除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。6、設(shè)計的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。【例9】按照軸對稱畫出圖形的另一半11Lr ii i1tw/1ar1|klI1 1.!i1!i,1【變式9】如圖，草原上有兩個居民點(diǎn)P,Q, MM是一條公路，NN

13、9;是一條河流.一汽車從 P出發(fā)，把一批參加社會實(shí)踐活動的學(xué)生送到公路上，再到河邊去加水，最后回到Q問：怎樣安排兩個?？奎c(diǎn) R, S,可使行駛的路程最短？PO十、鏡面對稱1、鏡面對 稱的有關(guān)性質(zhì)：1任何一個平面圖形物體在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個軸對稱圖形 在鏡子中的像仍是軸對稱圖形。2假設(shè)一個平面圖形正對鏡面，那么其左右側(cè)在鏡中的像是其右左側(cè)；3假設(shè)一個平面圖形物體垂直于鏡面擺放，那么靠近鏡面的局部，其像也靠近鏡面;2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像的兩個結(jié)論：1如果寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，那么紙條上寫的0、1、3、8所成的像與原來的數(shù)字完全一樣。2如果紙條正對鏡面擺 放，

14、那么紙條上寫的 0、1、8這三個數(shù)字在鏡中的像和原來的數(shù)字 完全一樣。3、像與物體到鏡面的距離相等。4、像與物體的對應(yīng)點(diǎn)連線被鏡面垂直平分。5、由鏡中的時間來判斷真實(shí)時間是近幾年來中考的一個熱點(diǎn)。時間的表示有用一般數(shù)字表 示的，也有直接用鐘表來表示的。 在判斷時，大家要注意靈活利用鏡面對稱的知識來加以解 決。【例10】鏡子里看到的視力表如下所示，畫出其實(shí)際圖形3山m E【變式10】看鏡子，寫數(shù)字8£d1V: > < > ( )( )( )( ) )OQ 8 Vl ST( ) ( ) ( ) ( )練習(xí)題一、選擇題1 以下說法中，不正確的選項(xiàng)是A. 等腰三角形底邊上的

15、中線就是它的頂角平分線B. 等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一局部C. 一條線段可看作以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形D. 兩個三角形能夠重合，它們一定是軸對稱的2以下推理中，錯誤的選項(xiàng)是A. vZ A=Z B=Z C，.A ABC是等邊三角形B. v AB= AC,且/ B=Z C，.A ABC是等邊三角形C. vZ A= 60。，/ B= 60°，仏 ABC是等邊三角形D. v AB= AC, / B= 60°，仏 ABC是等邊三角形3. 在等邊三角形 ABC中，CD是/ ACB的平分線，過 D作DE/ BC交AC于E，假設(shè) ABC的邊長為玄，那么厶ADE

16、的周長為4A. 2a B . a C . 1. 5aD. a34. 等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm那么這個三角形的周長是A. 9cm B . 12cm C . 9cm 和 12cm D .在 9cm與 12cm之間5. 觀察圖7108中的汽車商標(biāo)，其中是軸對稱圖形的個數(shù)為圖 7-1086. 對于以下命題：1關(guān)于某一直線成軸對稱的兩個三角形全等；2等腰三角形的對 稱軸是頂角的平分線；3 條線段的兩個端點(diǎn)一定是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線的對稱點(diǎn)；4如果兩個三角形全等，那么它們關(guān)于某直線成軸對稱.其中真命題的個數(shù)為A. 0 B . 1 C . 2D. 37. AABC中，AB= AC,點(diǎn)D與頂

17、點(diǎn) A在直線BC同側(cè)，且BD= AD.貝U BD與 CD的大小關(guān)系為A. BD> CD B . BD= CD C . BD< CD D . BD與 CD大小關(guān)系無法確定&以下列圖形中，不是軸對稱圖形的是A. 互相垂直的兩條直線構(gòu)成的圖形B. 條直線和直線外一點(diǎn)構(gòu)成的圖形C. 有一個內(nèi)角為30°，另一個內(nèi)角為120°的三角形D. 有一個內(nèi)角為60。的三角形9. 在等腰 ABC中，AB= AC, O為不同于 A的一點(diǎn)，且 OB= OC那么直線 AO與底邊 BC的關(guān)系為 A.平行 B .垂直且平分 C .斜交D .垂直不平分10. 三角形的三個頂點(diǎn)的外角平分線

18、所在的直線兩兩相交，所圍成的三角形一定是 A.銳角三角形 B .鈍角三角形C .等腰三角形D.直角三角形、填空題1 正五角星形共有條對稱軸.2.黑板上寫著舊弓己在正對著黑板的鏡子里的像是3 等腰三角形的腰長是底邊長的4. 1等腰三角形，2正方形，4，一邊長為11cm那么它的周長為 .3正七邊形，4平行四邊形，5梯形，6菱形中,定是軸對稱圖形的是5.如果一個圖形沿某一條直線折疊后,直線兩旁的局部能夠,那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做中，AD= B» BC,假設(shè)/ C=A7.：如圖7 110, ABC中, AB= AC, BE/ AC/ BDE= 100。，/ BAD= 70&#

19、176;，那么& 如圖7111 ,在Rt ABC中，B為直角，DE是AC的垂直平分線，E在BC上, / BAE/ BAC= 1 : 5，那么/ C=.9.如圖7 112,Z BAC= 30°, AM是/ BAC的平分線，過 M作 ME/ BA交AC于E,作MDL BA 垂足為 D, ME= 10cm,貝U MD=.F07J1210.如圖7 113, OE是/ AOB的平分線，BD丄OA于 D, ACL BO于C,那么關(guān)于直線 OE對稱的三角形有對.三、解答題1.如圖7 114,/ XOY內(nèi)有一點(diǎn) P,在射線 0X上找出一 點(diǎn)M 在射線 0Y上找出一點(diǎn) N,使PMF MNr NP最短.2.如圖7115，圖中的圖形是軸對稱圖形嗎 ？如果是軸對稱圖形，請作出它們的對稱軸.7-1153. / AOB= 30°，點(diǎn)P在0A上，且 0P= 2,點(diǎn)P關(guān)于直線 0B的對稱點(diǎn)是 Q,求PQ之長.4. 如圖7 116,在厶ABC中，C為直角，/ A= 30