第八講 不定積分的概念與性質(zhì) 第一類(lèi)換元積分法

1、第八講 不定積分的概念和性質(zhì) 微分法:)?()( xF積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算第一類(lèi)換元積分法 一一 、 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的概念及性質(zhì)二、二、 第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法1、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x)滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .則稱(chēng) F (x) 為f (x) 1)1)原函數(shù)原函數(shù)一、一、 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的概念及性質(zhì)問(wèn)題問(wèn)題: 1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若

2、原函數(shù)存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù) .(下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理 2. 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C即0)()(C

3、xFx屬于函數(shù)族.)(CxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即定義定義 2. )(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱(chēng)為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;(P183)若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù) )C 稱(chēng)為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)不定積分的概念不定積分的概念3)不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為)(xfxx

4、fd)(的圖形的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族.yxo0 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的積分曲線積分曲線 . 例例1. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有C2121C因此所求曲線為12 xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxo)2, 1 (從不定積分定義可知:xdd) 1 (xxfd)()(xf2、 基本積分公式基本積分公式dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd)

5、1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1( )ln()ln(xxx14) 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算間的互逆關(guān)系積分運(yùn)算與微分運(yùn)算間的互逆關(guān)系21d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd

6、)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求求.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例3. 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3、不定積分的性質(zhì)、不定積分的性質(zhì)xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若, )()(1xfkxfinii則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

7、返回 結(jié)束 例例4. 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例6. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan3

8、13機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo),xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有二、第一類(lèi)換元法二、第一類(lèi)換元法1、第一類(lèi)換元法、第一類(lèi)換元法定理定理1.,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱(chēng)配元法配元法即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求).1(d

9、)(mxbxam解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 當(dāng)1m時(shí)bxaxdCbxaaln1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22)(1d1axxa例例2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax

10、 arcsin22dxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似Caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常用的幾種湊微分形式常用的幾種湊微分形式: xbxafd)() 1 ( )(

11、bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬(wàn)能湊冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.

12、求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxsin11sin1121例例10. 求.dsecxx解

13、法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P196 例16 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222d)(2123xax例例11. 求.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx2

14、1222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若則的原函數(shù)是,)(xfex d)(

15、ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個(gè)原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx機(jī)

16、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 求不定積分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6. 已知已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7. 下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xx