向量代數(shù)與空間解析幾何教案.doc

1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)向量及其線性運算教學目的：將學生的思維由平面引導到空間，使學生明確學習空間解析幾何的意 義和目的。使學生對（自由）向量有初步了解，為后繼內(nèi)容的學習打下基礎。教 學重點：1.空間直角坐標系的概念2 .空間兩點間的距離公式3 .向量的概念教學難點：1.空間思想的建立2. 向量平行與垂直的關系教學內(nèi)容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學上用有向線段來表示向量，其長度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學上只研究與起點無關的自由向量（以后簡稱向 量）。2 .量的表示方法有：a、i、F、0M等等。3 .向量相等a b ：如果兩個向量大小相等

2、，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全 重合的向量）。4 .量的模：向量的大小，記為卜卜模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 .量平行ab：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平 行。6 .負向量：大小相等但方向相反的向量，記為 a 二、向量的線性運算1 .加減法a b c ：加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有 時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結合率見圖7a-42 . a b c 即 a ( b) c3.向量與數(shù)的乘法a ：設是一個數(shù)，向量a與 的乘積a規(guī)定為(1) 0時，a與a同向，| a(2) 0 時，a 0(3) 0 時，a

3、 與 a 反向，|a |a其滿足的運算規(guī)律有：結合率、分配率。設a °表示與非零向量a同方向的單位向量，那么解：a b AC由于MC又由于 a由于MB2AM ,于是MAMA , 于是M C b BD 2 M D , MD , 于是MB(a b) 2g b)a)(b a)a oan定理1:設向量 ，那么，向量 平行于 的充分必要條件是： 存在唯一的實數(shù)a# 0baA使b= a例1：在平行四邊形 ABCD中，設AB a , AD b ,試用a和b表示向量M A、M B、M C圖7 4和MD ,這里M是平行四邊形對角線的交點。（見圖75）三、空間直角坐標系1 .將數(shù)軸（一維）、平面直角坐標

4、系（二維）進一步推廣建立空間直角坐標系（三維）如圖71,其符合右手規(guī)則。即以右手握住 z軸，當右手的四個手指從正向x軸以一 角度2轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向。2 .間直角坐標系共有 八個卦限，各軸名稱分別為：x軸、y軸、z軸，坐標面分別為xoy面、yoz面、zox面。坐標面以及卦限的劃分如圖72所示。圖7 1右手規(guī)則演示圖7-2空間直角坐標系圖圖7一 3空間兩點M 1M 2的距離圖3.空間點M （x, y, z）的坐標表示方法。通過坐標把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應起來。注意：特殊點的表示a）在原點、坐標軸、坐標面上的點；b）關于坐標軸、坐標面、原點對稱點的表示法。4.空間兩

5、點間的距離。若M 1(X1 , yi , zi ) > M 2 &2 , y2 , Z2 )為空間任意兩點,則M 1M 2的距離（見圖73）,利用直角三角形勾股定理為:Im21M 222M 1NINM2pNNMX2所以PNY2Z2yiZ1X2 XI ) 2 (Y2 yi )2(Z2 zi )2特殊地：若兩點分別為 M （x, y, z） , o （0,0,0）oM |例1：求證以M 1(4,3,1)、M2 (7,1,2)、（5,2,3）三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。2證明：M 1M 27) 2(3I)2(12)214由于例2：坐標。(5(53M7)2I)2(32)24)2(

6、23) 2(3I)2設P在x軸上，它到Pi（0,。2,3）的距離為到點P2（0,1, 1）的距離的兩倍，求點P的解：因為P在x軸上，設P點坐標為（x,0,0）PP2-tlPP221211 Vx 2 乘數(shù)： a ( ax )i ( a y ) j ( az ) k 或a bQx bx , a y by , az bza b a x bx,&y by, az bza x, a.y, &z 平行：若aW o時，向量b a相當于b a ,即bx , by ,bz ax , a y , z也相當于向量的對應坐標成比例即bihx- -thz_ a x a y &z五、向量的模、方向

7、角、投影設a ax, ay,迎，可以用它與三個坐標軸的夾角、 (均大于等于0,小于等于)來表示它的方向，稱為非零向量&的方向角，見圖7- 6,其余弦表示形式cos、cos、cos稱為方向余弦。1.模a x! ay a zCOSa yCOScos2.方向余弦axM iM 2cosaCOS由性質(zhì)1知a yazM iM 2M i M 2coscosaacos , >|Z| &a2y a 2z 0 時，有cos 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： cos2 cos2 cos2 1與非零向量a同方向的單位向量為:a 0a-a x, a y, a z cosU lai例：已知兩點M(2,2,

8、盧)、M (1,3,0),cos , cos M iM 2同向的單位向量。解：M 1M 2 = (1-2 , 3-2 , o- V2 =-l|1 1 M 2 J( 1)2_12( 五11COS , COS ， cos22_2_3_3 '3 '41,美2 )2622設a0為與M iM 2同向的單位向量, 即得由于 a0 cos ,cos , cos 計算向量MrMp 的模、方向余弦、方向角以及與a0 !，五2 223.向量在軸上的投影(1)軸上有向線段的值：設有一軸u , AB是軸u上的有向線段，如果數(shù)滿足|aB |,且當AB與軸u同向時是正的，當AB與軸u反向時是負的，那么數(shù)

9、叫做軸u上有向線段AB的值，記做AB,即 AB o設e是與u軸同方向的單位向量，則AB eQ)設A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有AC AB BC(3)兩向量夾角的概念：設有兩個非零向量a和b,任取空間一點 0,作0A a ,OB b,規(guī)定不超過的A0B稱為向量a和b的夾角，記為&，b)Q)空間一點A在軸u上的投影：通過點A作軸u的垂直平面，該平面與軸u的交點A 叫做點A在軸u上的投影。(5)向量AT在軸u上的投影：設已知向量勺起點A和終點B在軸u上的投影分別為點A'和B 那么軸u上的有向線段的值A'B,叫做向量AB在軸u上的投影，記做Pr Ju

10、AB o2.投影定理性質(zhì)1：向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦:Pr ju AB AB cos性質(zhì)2：兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即Prju （ai a2 ） Pr Jai Pr ja2性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即Pr 1 （ a）Pr ja小結：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數(shù)的初步知識，引導學生對向量（自由向量）有清楚的理解，并會進行相應的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運算，空間直角坐標系（軸、面、卦限），空間兩點間距離公式。 本節(jié)介紹了向量在軸上的投影與投影定理、向量在坐標軸上的分向量與向量的

11、坐標（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別）、向量的模與方向余弦的坐標表示式等概念。作業(yè):第二節(jié)數(shù)量積向量積教學目的：讓學生搞清楚數(shù)量積與向量積的概念及其應用，掌握向量平行、垂直等重要的結論，為空間曲面等相關知識打好基礎。教學重點：1.數(shù)量積、向量積的概念及其等價的表示形式2.向量平行、垂直的應用教學難點：1 .活學活用數(shù)量積、向量積的各種形式2.向量平行與垂直的相應結論教學內(nèi)容：一、數(shù)量積：a）定義：a ba|b cos ,式中 為向量a與b的夾角。b）物理上：物體在常力F作用下沿直線位移s,力F所作的功為W F sos其中為F與s的夾角。c）性質(zhì)：I . a a I 1II .兩個非零向量 &am

12、p;與b垂直a b的充分必要條件為：a b 0III . a b b aIV .3 b) c a cb cV .( a) c 3 c)為數(shù)d)幾個等價公式：I .坐標表示式：設 a ax, a y, az , b bx,by,bz則a b axbxa yby &zbzn .投影表示式：a b|a pr ja b b| Pr jb aHI.兩向量夾角可以由cose) 例子：已知三點 M (1,1,1)、A (2,2,1) fn B(2,1,2)，求 AM B提示：先求出向量MA及MA ,應用上求夾角的公式。二、向量積:a)概念：設向量c是由向量a與b按下列方式定義:sn的模|ajb|si

13、，式中 為向量a與b的夾角。c的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從 a轉(zhuǎn)向bo注意：數(shù)量積得到的是一個數(shù)值，而向量積得到的是向量。b)公式：cab兩個非零向量a與b平行a b的充分必要條件為：a b 0(a b)c)(a) cc)(a c)為數(shù)幾個等價公式:I .坐標表示式:b (b ,b ,b 則d)解:a b 3 ybz&zby ) i (a z b xa xbz ) j3x by a ybx )kII .行列式表示式:例子：已知三角形4x &ybx byABC的頂點分別為: A (1,2,3)三角形ABC的面積。S根據(jù)向量積的定義，ABCbzAB AC sin由于

14、AB = 2,2,2 , AC1,2,4、B (3,4,5)和 C 4,7)，求1 1«» -|AB AC2因此 AB AC 2 2 24i6 j 2k1AC1于是S ABC -2（注意共線、小結： 向量的數(shù)量積（結果是一個數(shù)量）向量的向量積（結果是一個向量）共面的條件）作業(yè)：第三節(jié)平面及其方程教學目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重 要的一節(jié)，本節(jié)讓學生了解平面的各種表示方法，學生在學習時領 會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解 平面與其法向量之間的關系。教學重點：L平面方程的求法2. 兩平面的夾角教學難點：平面的幾種表示

15、及其應用教學內(nèi)容：一、平面的點法式方程1 .平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2 .平面的點法式方程已知平面上的一點M (x ,y, z)和它的一個法線向量 r 1，對平面上的任 ooo on A, B ,C )一點M (x, y, z),有向量M o M n,即n M o M 0代入坐標式有：A (x xo ) B (y yo ) C (z zo ) 0 此即平面的點法式方程。例 1：求過三點 M 1 (2, 1, 4)、M 2(解：先找出這平面的法向量n , n M i M 2 M i M 33 42 3 由點法式方程得

16、平面方程為14 (x 2) 9 (y 1) (z 4) 0(1)1, 3, 2)和M 3 (0, 2, 3)的平面方程。5 14i 9 j k1二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：Ax By C z D 0幾個平面圖形特點：1) D=0：通過原點的平面。2) A=0：法線向量垂直于x軸，表示一個平行于 x軸的平面。同理：B=o或c = o：分別表示一個平行于 y軸或z軸的平面。3) A=B=O：方程為C z D 0 ,法線向量0,0, C,方程表示一個平行于 xoy面的 平面。同理：AX D 0和By D 0分別表示平行于yoz面和xoz面的平面。4)反之：

17、任何的三元一次方程，例如:5x 6 y 7z 11 0都表示一個平面，該平面的法向量為n 5,6, 7)例2：設平面過原點及點(6, 3, 2),且與平面4x y 2z 8垂直，求此平面方程。解：設平面為Ax By C z D 0 ,由平面過原點知D 0由平面過點(6,3, 2)知6 A3B2C0,n 4, 1,2 4A B2C0AB -2 C3所求平面方程為2 x 2 y 3z 0三.兩平面的夾角定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。設平面AixBiy C 1 z D 10 ,2 ： A2 x B2y C 2 z D 2 0m Ai,Bi ,Ci , n2 A2 ,B2 ,C 2 按

18、照兩向量夾角余弦公式有:Ai A2 B 1 B2 C iC 2 ICOS /=/二VA1 2 Bl2 Cl 2 V A22 b2 2 C 2 2三、幾個常用的結論設平面1和平面2的法向量依次為m Al 和n2 A2,B2,C 21）兩平面垂直：Ai A2 BiB2 CiC 20 （法向量垂直）2）兩平面平行：1 1 卜2 B2c 2（法向量平仃）yo 0, zo 2,即直線上點坐標(1,0, 2)3）平面外一點到平面的距離公式：設平面外的一點Po （xo , yo , zo ）,平面的方程為Ax By Cz D 0,則點到平面的距離為 d Rxo B yo C zo DVa2 b 2 c 2例

19、3：研窕以下各組里兩平面的位置關系:(1) x 2 y z 1 0,y 3z 1 0(2) 2x y z 1 0,4x 2y 2z 1 0(3) 2x y z 1 0,4x 2 y 2z 2 0解：(1) cos1V (I) 2 22( 1) 2 < I2 32 、6O兩平面相交，夾角2114221 M (1,1,0)2211422兩半向半仃m 2, 1,1 , n2 4,2, 2兩平面平行M （1,1,0）兩平面平行但不重合。（3）M (1,1,0) 1 M (1,1,0)2所以兩平面重合小結：平面的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。兩平面的夾角以及點到平面的距離公

20、式。作業(yè)：第四節(jié)空間直線及其方程教學目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學重點：1 .直線方程2.直線與平面的綜合題教學難點：L直線的幾種表達式2.直線與平面的綜合題教學內(nèi)容：一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為：A1 x B1 y C i z D i 0A2X B2Y C2Z D2 0二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點M & ,y ,z）和它的一方向向量，設直線上任一點為oooos （m , n, p）M 6, y, z）,那么M 0 M與s平行，由平行的坐標表示

21、式有：xo y yo z zo mnp此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設X xo y yo z zotmn p就可將對稱式方程變成參數(shù)方程（t為參數(shù)）x xo m ty yo ntz zo pt三種形式可以互換，按具體要求寫相應的方程。例1：用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線X y z 102x y 3z 4 0解:在直線上任取一點（xo , yo , zo ）,取xo 1 yo zo 2 0解得yo 3zo 6 0因所求直線與兩平面的法向量都垂直取s m n2 （4, 1, 3對稱式方程為:2參數(shù)方程:1 4tt 例2一直線過點 A3,4）,且和y軸垂直相交，

22、求其方程解:因為直線和y軸垂直相交，所以交點為B （0, 3, 0）s BA 2,0,4,所求直線方程:3 z 4_ 兩直線的夾角4兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設兩直線Li和L 2的方向向量依次為sim 1 , m , pi fn S2 m 2 , n2 , P2 ,兩直線的2 3t夾角可以按兩向量夾角公式來計算cosm im 2 nm2 pi P22221 nr Pl222m2 n2 P2兩直線L1和L2垂直:m i m 2 ni n2Pl P2o （充分必要條件）兩直線Li和L2平行:m i m pi（充分必要條件）例3：求過點（3, 2,5）且與兩平面x 4z3

23、和2xV 5z 1的交線平行的直線方程解：設所求直線的方向向量為s m,n, p,根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平面的法向量都垂直，所以可以取 sni r)2x 3 4, 3, 1所求直線的方程4三、直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,直線與它在平面上的投影直線的夾角(0-）稱為直線2與平面的夾角，當直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為設直線L的方向向量為sm , n, p,平面的法線向量為n的夾角為，那么sh|Am Bn C p|Va2 b2 c 22 n2 p2直線與平面垂直:_S A_ B _CAm Bn C p 0(Aix B i y(A2 x B2 y(4i3 (x2)1)3)

24、3 2 13 一， 70X0(x y z1)1)0 (1)x (1(1)1(1)12.旋轉(zhuǎn)曲面的方程2°2 - 4 13,3)z3)706_ 2, 1,4)7。面的方程0教學難點:教學內(nèi)容:旋轉(zhuǎn)曲面、曲面方程的概念1.實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。2.曲面方程的定義：如果曲面S與三元方程(1)F (x, y, z) 0有卜述關系:（1） 曲面S上任一點的坐標都滿足方程（1）（2） 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程（1） 那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形。3.幾種常見曲面（1）球面 例1：建立球心在M o

25、 （xo , yo , zo ）、半徑為R的球面的方程。解：設M o &o , yo , zo ）是球面上的任一點，那么M oM即:J (x xo )2(y yo )2(z zo )2或：(x xo )2 (y yo )2 (z zo )2 R 2特別地：如果球心在原點，那么球面方程為(討論旋轉(zhuǎn)曲面)x2 y 2 z2 R 2(2)線段的垂直平分面(平面方程)例2：設有點A (1,2,3)和B 2, 1,4),求線段AB的垂直平分面的方程。解：由題意知道，所求平面為與A和B等距離的點的軌跡，設M (x, y, z)是所求平面上的任一點，由于 M A | | M B ,那么t222 I2

26、22、xl y 2 z 3、x2 y 1 z 4化簡得所求方程2x 6 y 2z 7 0研究空間曲面有兩個基本問題：(1)已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。(2)已知坐標間的關系式，研究曲面形狀。旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。 二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程設在坐標面上有一已知曲線，它的方程為yozCf ( y, z) = 0把這曲線繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以 z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設M 1 (0, yi, zi )為曲線C 上的任一點，那么有 f ( y , z ) = 0( 2)1 1當曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)時，

27、點也繞 軸旋轉(zhuǎn)到另一點，這時 =4呆持不變，且C zM zM (x, y, z) z z點到軸的距離M zd&_y-2 I yil將z】=z, yi Vx2 y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程為f （2 y 2 , z） 0旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面（直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角（0° < <90。）,方程為：z 2 a2 （x 2 y 2 ）其中a cot三、柱面1 .定義：平行于定直線并沿曲線定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。定曲線C：準線動直線L：母線2 .特征：x,

28、 y, z三個變量中若缺其中之一（例如 y）則表示母線平行于 y軸的柱面。 3：幾個常用的柱面：b）圓柱面：x2 y2 R 2 （母線平行于z軸）c）拋物柱面：y2 2x （母線平行于z軸）四、二次曲面1、定義：三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面2、截痕法用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加 以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。3、幾種特殊的二次曲面1.橢球面方程為x2 z2；2Mli使用截痕法，先求出它與三個坐標面的交線:222二.二1又上x 22-22a b a cz 0y 022_z i22，這些交線都是橢圓。再看這曲面與平行b cX 0于坐標面的平面的交線：橢球面與平面Z1的交線為橢圓xy 2a2 22 b£ 22（ |zi C ）,同理與平面x XI和y yi的交線也是橢圓。c 2 fcZ1） C2（c zi）Z Zl橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化?？芍湫螤钊缬疑蠄D所示。拋物面例：橢圓拋物面方程為2X y 2 Z （ P與q同號）2p 2q其形狀如右圖所示。旋轉(zhuǎn)拋物面方程為2p 2p雙曲拋物面（鞍形曲面）方程為z （ P與q同號）2 p 2q當p>0, q >0時，其形狀如圖所示。2.雙曲面單葉雙曲面方程為雙葉雙曲面方程為各種圖形注意規(guī)律特點，可以寫出其它的方程表達式。小結：曲面方