萬(wàn)有引力知識(shí)點(diǎn)

1、第六章7.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系：(1) “黃金代換公式推導(dǎo)：萬(wàn)有引力與航天F時(shí),就會(huì)有mgGMm22GM gR.(2)注意：重力是由于地球的吸引而使物體受到的力,但重力不是萬(wàn)有引力.只有在兩極時(shí)物體所受的萬(wàn)有引力才等于重力.重力的方向豎直向下,但并不一定指向地心,物體在赤道上重力最小,在兩極時(shí)重力最大.隨著緯度的增加,物體的重力減小,物體在赤道上重力最小,在兩極時(shí)重力最大.物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小,物體的重力隨緯度的變化很小,因此在一般粗略的計(jì)算中,可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的吸引力,8.萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：通常把天體的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng).從力和運(yùn)動(dòng)

2、的關(guān)系角度分析天體運(yùn)動(dòng)：即可得到“黃金代換公式.天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),其速度方向時(shí)刻改變,其所需的向心力由萬(wàn)有引力提供,即F需=5萬(wàn).如下圖,由牛頓第二定律得：ma®GMm ,從運(yùn)動(dòng)的角度分析向心加速度:L2an2l(2 f)2L.重要關(guān)系式:GMmt32v2.m m LL2L m(2 f)2L.2、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度為3 1,軌道半徑為 半徑為R2,那么太陽(yáng)的質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？Ri,月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度為32,軌道解析：地球與太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供地球運(yùn)動(dòng)的向心力,月球與地球的萬(wàn)有引力提供月球運(yùn)動(dòng)的向心力,最后算得結(jié)果為23iRi- O2R29.計(jì)算大考點(diǎn)：“填補(bǔ)法計(jì)算均

3、勻球體間的萬(wàn)有引力:淡一談：萬(wàn)有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的引力作用,對(duì)于形狀不規(guī)那么的物體應(yīng)給予填補(bǔ),成一個(gè)形狀規(guī)那么、便于確定質(zhì)點(diǎn)位置的物體,再用萬(wàn)有引力定律進(jìn)行求解.模型：如右圖所示,在一個(gè)半徑為 R,質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖出一個(gè)半徑為 R/2的球形空穴后,對(duì)位于球心和空穴中央連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？思路分析：把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余局部對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和,即可求解.根據(jù)“思路分析所述,引力F可視作F=Fi+F2：F GMm,因半徑為R/2的小球質(zhì)量為 dM3 4R3-3M'm所以F2 G2H R d 2G8 dMm2 , FiI兒

4、2F2GMmd2G8 dMmGMm27d2 8dR8d22R2那么挖去2H R d 22_ _ 2小球后的剩余局部對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力為GMm7 d 8 dR 2 R22R8 d d 2水平提升某小報(bào)登載：X年x月x日,x國(guó)發(fā)射了一顆質(zhì)量為 100kg,周期為1h的人造環(huán)月球衛(wèi)星.一位同學(xué)記不住引力常量G的數(shù)值且手邊沒(méi)有可查找的材料,但他記得月球半徑11約為地球的月球外表重力加速度約為地球的經(jīng)過(guò)推理,他認(rèn)定該報(bào)道是那么假新聞,46試寫(xiě)出他的論證方案.(地球半徑約為 6.4X103km)證實(shí)：由于MmG一R2=m JR, 所以 T= 2GM'R3Mm又G - R2=mg 得 g =GM,故

5、 Tmin = 2 TtCR2R3=2兀GMR月1一R地 4=2兀g月1一g地 6=2兀3R地=2兀2g地3X6.4X106s = 6.2 X103sM.72h. 2X9.8環(huán)月衛(wèi)星最小周期約為1.72h ,故該報(bào)道是那么假新聞.§ 6-3 由“萬(wàn)有引力定律引出的四大考點(diǎn)、解題思路一一“金三角關(guān)系：(1)萬(wàn)有引力與向心力的聯(lián)系：萬(wàn)有引力提供天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,即2c 2: ma m m 2r m - r m(2 n)2r是本章解題的主線索. r2rT(2)萬(wàn)有引力與重力的聯(lián)系：物體所受的重力近似等于它受到的萬(wàn)有引力,即GMm mg,g為對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速度,這是本章解題的副

6、線索. r3重力與向心力的聯(lián)系：m g2Vm mr2m2r a為對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速IIIr , g度,適用于g的特殊情況.二、天體質(zhì)量的估算模型一：環(huán)繞型：談一談：對(duì)于有衛(wèi)星的天體, 可認(rèn)為衛(wèi)星繞中央天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng),中央天體對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,利用引力常量G和環(huán)形衛(wèi)星的v、3、T、r 中任意兩個(gè)量進(jìn)行估算只能估計(jì)中央天體的質(zhì)量,不能估算環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量r 和 T: G Mmr4 2r3GT2r 和 v: g Mm r22 v m 一r2 rv "GT和v：g吧 r2 v m rv3T2 G模型二：外表型：談一談：對(duì)于沒(méi)有衛(wèi)星的天體或有衛(wèi)星,但不知道衛(wèi)星

7、運(yùn)行的相關(guān)物理量 體自轉(zhuǎn)的影響,根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力進(jìn)行粗略估算.2MmgRG mg M -RG變形：如果物體不在天體外表,但知道物體所在處的g,也可以利用上面的方法求出天體的質(zhì)量:處理：不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響,天體附近物體的重力等于物體受的萬(wàn)有引力,即:-MmG2(R h)2,g'(R h)2 mg' Mg一視作半徑為r的圓.萬(wàn)有引力常量為G,那么描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足4 2r34 2r2A. GIM= -yr-B. GM=C4 兀 2r2.GM= yr-D.34兀r GM=T,軌道可解析：此題考查了萬(wàn)有引力在天體中的應(yīng)用.是知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.由GMm可得2021 福建理

8、綜,13設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為 M,某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為gm = 4-T2f, A 正確.2、2021 全國(guó)大綱卷,18 “嫦娥一號(hào)是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星,它在距月球外表高度為 200km的圓形軌道上運(yùn)行,運(yùn)行周期為127分鐘.引力常量 G=6.67X1011N m2/kg2 , 月球半徑約為1.74 X103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為D A. 8.1 M010kg B. 7.4X1013kgC. 5.4X1019kgD. 7.4 M022kg解析：此題考查萬(wàn)有引力定律在天體中的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是明確探月衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的向Mm 4 24 ,r3心力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供.由G詈=mr

9、計(jì)得M = 4GT2,又r=R月+h,代入數(shù)值得月子質(zhì)量 M= 7.4X 1022kg,選項(xiàng)D正確.3、宇航員站在一顆星球外表上的某高處,沿水平方向拋出一個(gè)小球.經(jīng)過(guò)時(shí)間到星球外表,測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng).假設(shè)拋出時(shí)的初速度增大到點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為 J3L.兩落地點(diǎn)在同一水平面上,該星球的半徑為 引力常數(shù)為Go求該星球的質(zhì)量 Mot,小球落2倍,那么拋出R,萬(wàn)有解析：在該星球外表平拋物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地球外表相同,根據(jù)條件可以求出該星球表面的加速度；需要注意的是拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為小球所做平拋運(yùn)動(dòng)的位移的大小,而非水平方向的位移的大小.然后根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力,求出該星球的質(zhì)

10、量2 3LR22- 3Gt2三、天體密度的計(jì)算模型一：利用天體外表的八Mm一G 皆 mg,Mg求天體密度:R33gGR物體不在天體外表:°ThMmGmg', M(R h)2,3g'(R h)24 GR3模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度:Mm G r4 2rm-針,MT2 ,4r34 2r3GT24 R3 33 r3 GT2R3.四、求星球外表的重力加速度:在忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下,物體在星球外表的重力大小等于物體與星球間的萬(wàn)有引力大小,即：mg星牛刀小試 礦井深度為2021新課標(biāo)全國(guó)卷,21假設(shè)地球是一半徑為 R、質(zhì)量分布均勻的球體.一 do質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物

11、體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為A dA. 1 RB.d1 十一 R2RD.R d解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M ,地球的密度為P,根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知,地球外表的重力加速度g =胃,地球的質(zhì)量可表示為M=|兀R3p因質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零,所以礦井下以R-d為半徑的地球的質(zhì)量為4. Rd °GM 'M' =3R-d)3p,解得M=LR-)3M,那么礦井底部處的重力加速度g' =,所以礦井底部處的重力加速度和地球外表處的重力加速度之比g= 1-d,選項(xiàng)A正確g R§ 6-4 宇宙速度&衛(wèi)星一、涉及航空航天的“三大速

12、度：一宇宙速度：1 .第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近 環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 必須具有的速度叫第一 宇宙速度,也叫地面附近的環(huán)繞速度,v1=7.9km/s.它是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度,也是人造衛(wèi)星最小發(fā)射 速度.待在地球旁邊的速度2 .第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛,成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星或飛到其他行星 上去的最小速度,V2=11.2km/s .離棄地球,投入太陽(yáng)懷抱的速度3 .第三宇宙速度：使物體 掙脫太陽(yáng)引力的束縛,飛到太陽(yáng)以外的宇宙空間去的最小速度,V2=16.7km/s .離棄太陽(yáng),投入更大宇宙空間懷抱的速度二發(fā)射速度：1 .定義：衛(wèi)星在地面附近離開(kāi)發(fā)射裝置的初速度.2 .

13、取值范圍及運(yùn)行狀態(tài)：v發(fā)v17.9km/s,人造衛(wèi)星只能“貼著地面近地運(yùn)行.v發(fā)v17.9km/s,可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上運(yùn)行.v發(fā) v2,即7.9km/s v發(fā)11.2m/s, 一般情況下人造地球衛(wèi)星發(fā)射速度.三運(yùn)行速度：2Mmv2.大?。簩?duì)于人造地球衛(wèi)星, G m rr1.定義：衛(wèi)星在進(jìn)入運(yùn)行軌道后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度.GMi,該速度指的是人造地球衛(wèi)星在 r軌道上的運(yùn)行的環(huán)繞速度,其大小隨軌道的半徑r J而v T.3.注意：當(dāng)衛(wèi)星“貼著地面飛行時(shí),運(yùn)行速度等于第一宇宙速度；當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑大 于地球半徑時(shí),運(yùn)行速度小于第一宇宙速度.牛刀小試1、地球的第一宇宙速度約為8 km/s

14、 ,某行星的質(zhì)量是地球的6倍,半徑是地球的1.5倍.該行星上的第一宇宙速度約為A A. 16 km/s B. 32 km/s C. 46 km/s D . 2 km/s解析：由公式m= gM1,假設(shè)M增大為原來(lái)的6倍,r增大為原來(lái)的1.5倍,可得v增大 r r為原來(lái)的2倍.二、兩種衛(wèi)星：一人造地球衛(wèi)星：1 .定義：在地球上以一定初速度將物體發(fā)射出去,物體將不再落回地面而繞地球運(yùn)行而形成的人造衛(wèi)星.2 .分類：近地衛(wèi)星、中軌道衛(wèi)星、高軌道衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星、極地衛(wèi)星等.3 .三個(gè)“近似：近地衛(wèi)星貼近地球外表運(yùn)行,可近似認(rèn)為它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于地球半徑.在地球外表隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體可近似認(rèn)

15、為地球?qū)λ娜f(wàn)有引力等于重力.天體的運(yùn)動(dòng)軌道可近似看成圓軌道,萬(wàn)有引力提供向心力.4 .四個(gè)等式：運(yùn)行速度:(Rh)22vmR hGM,R h角速度:Mm-Z2(R h)2(R h)GM(R h)3(R1h)3 h周期：.g Mm 2(R h)h)(R h)3GMT . (R h)3,T向心加速度：GmR二地球同步衛(wèi)星：1 .定義：在赤道平面內(nèi),2 .五個(gè)“一定：2 ma h)2GM_2(R h)12(R h)以和地球自轉(zhuǎn)角速度相同的角速度繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星.周期T 一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相等24h,角速度3也等于地球自轉(zhuǎn)角速度.軌道一定：所有同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致,軌道平面與赤道平

16、面重合.運(yùn)行速度v大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的線速度大小一定,均為 3.08km/s .離地高度h一定：所有同步衛(wèi)星的軌道半徑均相同,其離地高度約為3.6X104km.向心加速度 an大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心加速度大小都相等,約為 0.22m/s 2.注：所有國(guó)家發(fā)射的同步衛(wèi)星的軌道都與赤道為同心圓,它們都在同一軌道上運(yùn)動(dòng)且都相對(duì)靜止.三、衛(wèi)星變軌問(wèn)題：1 .原因：線速度v發(fā)生變化,使萬(wàn)有引力不等于向心力,從而實(shí)現(xiàn)變軌.2 .條件：增大衛(wèi)星的線速度 v,使萬(wàn)有引力小于所需的向心力,從而實(shí)現(xiàn)變軌.3 .注意：衛(wèi)星到達(dá)高軌道后,在新的軌道上其運(yùn)行速度反而 減??；當(dāng)衛(wèi)星的線速度v

17、減小時(shí), 萬(wàn)有引力大于所需的向心力,衛(wèi)星那么做向心運(yùn)動(dòng),但到了低軌道后到達(dá)新的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)時(shí) 速度反而增大.4 .衛(wèi)星追及相遇問(wèn)題： 某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分,但它們都處在同一條直線上.由于它們軌道不是重合的,因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問(wèn)題上不能通過(guò)位移或弧長(zhǎng) 相等來(lái)處理,而是通過(guò)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來(lái)衡量,假設(shè)它們初始位置在同一直線上, 實(shí)際內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差為兀的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí) 刻.四、與衛(wèi)星有關(guān)的幾組概念的比擬總結(jié)：1 .天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比擬：衛(wèi)星的軌道半徑r是指衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 的半徑,與天體半徑 R的關(guān)系是r=

18、R+h (h為衛(wèi)星距離天體外表的高度),當(dāng)衛(wèi)星貼近天體 外表運(yùn)動(dòng)時(shí),可視作 h=0 ,即r=R.2 .衛(wèi)星運(yùn)行的加速度與物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度的比擬：(1)衛(wèi)星運(yùn)行的加速度：衛(wèi)星繞地球運(yùn)行,由萬(wàn)有引力提供向心力,產(chǎn)生的向心加速度滿足G Mm ma,即a 野,其方向始終指向地心,大小隨衛(wèi)星到地心距離r的增大而減小.rr(2)物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度：當(dāng)?shù)厍蛏系奈矬w隨地球的自轉(zhuǎn)而運(yùn)動(dòng)時(shí),萬(wàn)有引力的一個(gè)分力使物體產(chǎn)生隨地球自轉(zhuǎn) 的向心加速度,其方向垂直指向地軸,大小從赤道到兩極逐漸減小.3 .自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的比擬：自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間,公轉(zhuǎn)周期是某星球繞中央天體做圓周 運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間.一般兩者不等(月球除外),如地球的自轉(zhuǎn)周期是 24h,公轉(zhuǎn)周期是 365天.4 .近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體的比擬：(1)近地衛(wèi)星和赤道上的物體：內(nèi)容近地衛(wèi)星赤道上的物體相同點(diǎn)質(zhì)量相同時(shí),受到地球的引力大小相等不同點(diǎn)受力情況只受地球引力作用且地球引力等于衛(wèi)星 做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力受地球引力和地面支持力作用,其合力 提供物體