小學(xué)奧數(shù)5-3-5分解質(zhì)因數(shù)(二).教師版

1、5-3-4. 分解質(zhì)因數(shù)教學(xué)目標(biāo)1. 能夠利用短除法分解2. 整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為 . 的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯一”知識點(diǎn)撥5-3-4. 分解質(zhì)因數(shù). 題庫教師版page 11 of 7一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)（ 1 ） .質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).（ 2） .互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1 的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).（ 3） .分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù).例如： 30 2 3 5.其中2、 3、 5 叫做 30 的質(zhì)因數(shù).又如12 2 2 3 22 3， 2、 3 都叫做 12 的質(zhì)

2、因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.（ 4） .分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法212例如： 2 6 ， （是短除法的符號）所以 12 2 2 3 ；3任何一個大于1 的自然數(shù)n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：n p1a1 p2a2 p3a3pkak 其中為質(zhì)數(shù)，a1 a2ak 為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n 的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210 ，求這三個數(shù).分析：210=2 × 3 × 5 × 7，可知這三個數(shù)

3、是5、 6 和 7.111 3 37； 1001 7 11 13； 11111 41 271； 10001 73 137； 1995 3 5 7 19； 1998 2 3 3 3 37；2007 3 3 223； 2008 2 2 2 251； 10101 3 7 13 37.例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)的拆分1】 算式“ 1 1 1 1 ”中，不同的漢字表示不同的自然數(shù)，則“希望杯”【題型】填空19 題， 6 分希望杯 【難度】1 星三 個分?jǐn)?shù)中一定有大于三分之一的，那個數(shù)是二分之一，剩下的兩個數(shù)必有一個大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希 +望 +杯 =2+3+6=111116

4、612】3個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是1661 ，則這 3個質(zhì)數(shù)之和為多少1986【難度】3 星 【題型】解答111解 析 】 設(shè) 這 3個質(zhì)數(shù)從小到大為a、 b、 c，它們的倒數(shù)分別為1 、 1 、 1 ，計算它們的和時需通分，且通abc分后的分母為a b c， 求和得到的分?jǐn)?shù)為F ,如果這個分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為a、abc1661b 、 c 或它們之間的積. 現(xiàn)在和為1661 ，分母 1986 2 3 331，所以一定是a 2 ， b 3， c 331 ，1986檢驗(yàn)滿足.所以這3個質(zhì)數(shù)的和為2 3 331 3362 3 331 3363】一個分?jǐn)?shù)，分母是901 ，分子是一個質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有

5、下面兩種方法：分子和分母各加一個相同的一位數(shù)；分子和分母各減一個相同的一位數(shù)用其中一種方法組成一個新分?jǐn)?shù)，新分?jǐn)?shù)約分后是 7 那么原來分?jǐn)?shù)的分子是多少 13【難度】3 星 【題型】解答解 析 】 因 為新分?jǐn)?shù)約分后分母是13，而原分母為901，由于 901 13 694，所以分母是加上9或者減去 4 若是前者則原來分?jǐn)?shù)分子為7 70 9 481 ，但 481 13 37 ，不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來分?jǐn)?shù)分子是69 7 4 487，而487是質(zhì)數(shù)所以原來分?jǐn)?shù)分子為4874874】將 1 到 9 這 9 個數(shù)字在算式1 的每一個括號內(nèi)各填入一個數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個括號內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)

6、?【難度】4 星 【題型】填空解 析 】 本 題中括號內(nèi)所填的數(shù)字要求為個位質(zhì)數(shù)，那么只能是2， 3，5，7.將原始代入字母分析有b d cb ada c ac1accb ad 1 ，那么很容易發(fā)現(xiàn)只有3 ×5 -2 × 7=1 。符合原式的填法為32753532355】求滿足條件1 11 的a、 b 的值(a、 b 都是四位數(shù))a b 1001【難度】4 星 【題型】解答解 析 】 取 1001 的兩個不同約數(shù)x、 y(x y)，得到：1 xy10011001(x y)xy1001(x y) 1001(x y)1110011001(x y) (x y)xyx、 y 都是

7、1001 的1001約數(shù)，所以1001x10011001 （ x+y）1001（ x+y）都是整數(shù)所以只需令a， b就可以了而a、yxyb 都要大于1001 ，要保證a、 b 都是四位數(shù)，所以a、 b 的比值都要小于10，即x、 y的比值小于10 而 1001 的兩個互質(zhì)且比值小于10 的約數(shù)有以下幾組：（ 1,7） 、（ 7,11） 、（ 7,13） 、（ 11,13） 、（ 11,91） 、13,77） 所以我們依次取x、 y 為上面所列的數(shù)對中的數(shù)，代入a、 b 的表達(dá)式，得到本題的答案：a 8008,2574,2860,2184,9282,6930b 1144,1638,1540,18

8、48,1122,1170a 8008,2574,2860,2184,9282,6930b 1144,1638,1540,1848,1122,1170鞏 固 若 111 ，其中 a 、 b 都是四位數(shù)，且a < b ，那么滿足上述條件的所有數(shù)對（2004 a b【難度4 星【題型 填空解 析 2004 的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501 ，滿足題意的分拆有：a ,b）是1121120042004(1 2)2004(1 2)601230061131120042004(1 3)2004(1 3)80162672123112004 2004(2 3) 2004(2 3)

9、 50103340134112004 2004(3 4) 2004(3 4)4676 35072004 2004(1 2) 2004(1 2) 6012 30061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23) 501033401341120042004(34)2004(34)467635076 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立201）1020【難度4 星【題型 填空解 析 單 位分?jǐn)?shù)的拆分，主要方法是從分母N 的約數(shù)中任意找出兩個數(shù)m 和 n ，有：1 mn mn 11，N N(m n) N(m n) N(m n)

10、 A B從分母 n 的約數(shù)中任意找出兩個m 和 n ( m n )，有：1 mn mn 11N N (m n) N(m n) N (m n) A B 本題10 的約數(shù)有：1 ， 10 ， 2， 51121211例如：選1 和 2，有：11 21211 ；1010 (12) 10 (12) 10 (12)3015從 上面變化的過程可以看出，如果取出的兩組不同的m 和 n ， 它們的數(shù)值雖然不同，但是如果m 和 n的 比值相同，那么最后得到的A 和 B 也是相同的本題中，從10 的約數(shù)中任取兩個數(shù)，共有C42 4 10種，但是其中比值不同的只有5 組： （1 ， 1）； （1 ， 2）； （1 ，

11、 5）； （1 ， 10）； （2， 5），所以本題共可拆分成5 組具體的解如下：111111111111020201111012601435153010 的約數(shù)有1 、 2、 5、 10，我們可選2 和 5(52)10 (52) 10 (52) 615另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)1）11112）10201110 620 11 1101121111160 14 35 15 301157】如果 111 ， A， B 均為正整數(shù)，則B 最大是多少？2009 A B【難度】4 星 【題型】填空101 中學(xué)，分班考試解析】從前面的例題我們知道，要將1 按照如下規(guī)則寫成1 1 的形

12、式：NAB1 m n mn 11 ，其中 m 和 n 都是 N 的約數(shù)。N N (m n) N(m n) N (m n) A B如果要讓B 盡可能地大，實(shí)際上就是讓上面的式子中的n 盡可能地小而m 盡可能地大，因此應(yīng)當(dāng)m 取最大的約數(shù)，而n 應(yīng)取最小的約數(shù)，因此m 2009， n 1 ，所以 B 2009 2008.B 2009 2008鞏固】1111111111145【難度】4 星 【題型】填空11111111111解析】457212018304051358191545111111111114572120183040513581 915458】 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立11

13、1111110【難度】4 星 【題型】填空解 析 】 先 選 10 的三個約數(shù)，比如5、 2 和 1 ，表示成連減式5 2 1 和連加式5 2 1則：11111111041020804016如果選 10、 5、 2，那么有：111111110 3 6 15 17 34 85另外，對于這類題還有個方法，就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分，拆成兩個單位分?jǐn)?shù)的和或差，再將其中的一個單位分?jǐn)?shù)拆成兩個單位分?jǐn)?shù)的和或差，這樣就將原來的單位分?jǐn)?shù)拆成了3 個單位分?jǐn)?shù)的和或差其中的一個分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分，比如11112 13 1561111111110 13 60 1561101113 60 1561119】已知等式11 1 其中

14、 a ， b 是非零自然數(shù)，求15 a b【難度】5 星 【題型】填空華杯賽，決賽，第13 題a+b 的最大值。模塊四、分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用111111 ，再選擇10 12 60易 知，1 mn mn15 15(m n) 15(m n) 15(m n)m ， n ）為互質(zhì)的一對數(shù)，現(xiàn)在要讓分母為1 ，只需 m ， n 是 15 的一對互質(zhì)的約數(shù)即可。111（m ， n）= （ 1 ， 1 ）時，此時，a+b=60 ；15 30 30111（m ， n）= （ 1 ， 3）時，此時，a+b=80 ；1560 20111（m ， n）= （ 1 ， 5）時，此時，a+b=108 ；1590 181

15、11（m ， n）= （ 1 ， 15）時，此時，a+b=256 ；15 240 16111（m ， n）= （ 3， 5）時，此時，a+b=64 ；所以，1540 24a+b 的最大值為256。2561111了比如，要得到，根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如1010】 A， B 都是整數(shù)，A 大于 B ，且 A B 2009,那么 A B 的最大值為，最小值為?！倦y度】【題型】填空走美杯，3 年級，初賽2009 2009 1 287 7 49 41最大值為2009 1 2008最小值為49 41 82008，最小為811】 寫 出所有數(shù)字和為11 ，數(shù)字乘積為20 的四位偶數(shù)：【難度】【題型】

16、填空走美杯，3 年級，初賽本 題屬于數(shù)字拆分，目的就是講11 拆成四個數(shù)字和，20 拆成 4 個數(shù)字的乘積，需要確定的是個位數(shù)字為偶數(shù)。根據(jù)拆分的特點(diǎn)應(yīng)該從20 開始拆分。先將20 分解質(zhì)因數(shù)為：20 2 2 5 ，所以各個數(shù)位數(shù)字乘積為20 的數(shù)字有：2、2、5、1 ；4、5、1、1；數(shù)字和分別為10 和 11 ，符合條件的是 4、 5、 1 、 1 這四個數(shù)字組成的四位偶數(shù)，所以答案為1154 、 1514、 5114 這 3 個答案。1154、 1514、 511412】 在 做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5 看成8 ， 由此得乘積為1872 那么原來的乘積是多

17、少?【難度】3 星 【題型】解答解 析 】 1 872=2× 2× 2× 2× 3× 3× 13 =口口×口口，其中某個口為 8，一一驗(yàn)證只有：1872=48× 39，1872=78 × 24滿足當(dāng)為 1872=48 × 39時，小馬虎錯把5 看成8，也就是錯把45 看成 48， 所以正確的乘積應(yīng)該是45 × 39=1755 當(dāng)為 1872=78 × 24時，小馬虎錯把5 看成8，也就是錯把75 看成78 ，所以正確的乘積應(yīng)該是75 × 24=1800 所以原來的積

18、為1755 或 1800 1755 或 180013】 兩 個學(xué)生抄寫同一個乘法算式，兩個乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯了一個數(shù)字，于是得到兩個不同的算式， 但巧合的是，他們計算的結(jié)果都是936. 如果正確的乘積不能被6 整除， 那么它等于多少？【難度】4 星 【題型】解答解 析 】 注 意 936 中有質(zhì)因數(shù)13 ，故易見將其分解成兩個兩位數(shù)相乘的形式有13 72， 26 36， 39 24，52 18， 78 12這 5 種可能，由于兩人各抄錯了一個數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個位置上的數(shù)字相同.經(jīng)枚舉可知，他們所抄錯的算式可能是(13 72， 18 52)， (13 72， 12 78)，

19、(26 36， 24 39)或 ( 52 18， 12 78).對于第一種情況，兩人抄錯的是第一個乘數(shù)的個位數(shù)字和第二個乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是13 52或 18 72，后者乘積是6 的倍數(shù)，與題意不符，故原算式應(yīng)為前者，正確的乘法算式是13 52 676 .對后三種情況作類似分析，可得出2 3 6種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是6 的倍數(shù)，不合題意.因此676 即為所求.67614】 在 射箭運(yùn)動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0” (脫靶 )，或者是不超過10 的自然數(shù)甲、乙兩名運(yùn)動員各射了5 箭，每人5 箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4 環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是

20、多少？【難度】4 星 【題型】解答解 析 】 應(yīng) 對應(yīng)為 5 個小于 10 的自然數(shù)乘積通常我們會考慮將1764 的 6 個質(zhì)因數(shù)組合為5 個因數(shù)，從而這 5 個因 數(shù)一 定 都是 大于1的 ， 于是得 到了 如下 幾 種分 解情況1764=4 × 3× 3×7×7=2 × 6× 3× 7× 7=2 × 2× 9× 7但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是×74.原因是我們忽略了在題目 敘述實(shí)際環(huán)境中還會有 1環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù)1的 另外 2種情況1784=1×

21、 6 ×6 × 7 ×7=1×4 ×9 ×7 ×7所以 總的 情況 對 應(yīng)的 和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25 ， 2+2+9+7+7=27 ， 1+6+6+7+7=27 ， l+4+9+7+7=28 對應(yīng)的和中只有24， 28 相差4，所以甲的5 箭環(huán)數(shù)為4、 3、 3、 7、 7，乙的5 箭環(huán)數(shù)為1、 4、 9、 7、 7所以甲的總環(huán)數(shù)為24 ，乙的總環(huán)數(shù)為28。24，乙的總環(huán)數(shù)為2815】 某 校師生為貧困地區(qū)捐款1995 元這個學(xué)校共有35 名教師，14 個教學(xué)班各班學(xué)生人數(shù)相同且多于 30

22、 人不超過45 人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元?【難度】3 星 【題型】解答解 析 】 這 個學(xué)校最少有35+14× 30=455 名師生，最多有35+14× 45=665 名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995 1995=3 × 5× 133 ，在 455 665 之間的約數(shù)只有5× 133=665 ，所以師生總數(shù)為665 人，則平均每人捐款1995 ÷ 665=3元316】 張 老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹312 棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10 棵 .問

23、：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？【難度】3 星 【題型】解答解 析 】 因 為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個人種的棵數(shù)又不超過10 所以通過枚舉法來解( 注意人數(shù)是減去1 后是 3 的倍數(shù))： 1 312， 312 1 311 不是 3 的倍數(shù)；2 156， 156 1 155 不是 3的倍數(shù)；3 104， 104 1 103不是3 的倍數(shù)；4 78， 78 1 77不是 3 的倍數(shù)；6 52， 52 1 51是 3 的倍數(shù)；8 39， 39 1 38不是 3 的倍數(shù)；共有51 個學(xué)生，每個人種了6 棵樹 .51 個學(xué)生，每個人種了6 棵樹鞏 固 】 某 班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多，共種了 1073 棵，那么平均每人種了棵樹？【難度】3 星 【題型】解答解 析 】 因 為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073 數(shù)相乘，一個數(shù)為人數(shù)一個數(shù)為每人種的棵數(shù)，1073 29 37 ，注意到人數(shù)是減去1 是 3 倍數(shù)，所以人數(shù)是37 均每人種了29棵。2917】 幼 兒園里給小朋友分蘋果，420 個蘋果正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友，這樣每個小朋友就要少分2 個蘋果。原來有個小朋友?！倦y度】3 星 【題型】填空6 年級，決賽，第8 題， 10 分4