高等數(shù)學(xué)微積分第七章 第5節(jié)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 分式線性映射分式線性映射 分式線性映射分式線性映射 分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射分式線性映射一一、 1(0)(4.1), , ,.azbwadbcczda b c d 定定義義 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)稱稱為為分分式式線線性性映映射射 其其中中為為常常數(shù)數(shù) ,.Mobius分分式式線線性性映映射射又又稱稱分分式式線線性性變變換換變變換換等等 它它是是共共形形映映射射基基本本又又很很重重要要的的一一類類映映射射 , , ,:(1);(2)(0);1(3)();(4).ia b c dwzbwrz rwe zwz 對(duì)對(duì)取取特特殊殊值值可可得得到到下下列列下下列列最最基基本

2、本的的分分式式線線性性映映射射平平移移映映射射伸伸縮縮映映射射旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)映映射射為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)反反演演映映射射21100,0,10dwzzwdzzzwwz 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)反反演演映映射射是是共共形形映映射射 如如果果規(guī)規(guī)定定兩兩條條伸伸向向無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲線線在在無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的交交角角等等于于它它們們由由反反演演映映射射所所映映成成的的過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)圖圖7-16,.,前前三三個(gè)個(gè)映映射射的的幾幾何何意意義義很很清清楚楚 它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)均均不不為為零零所所以以都都是是全全平平面面的的共共形形映映射射下下面面?zhèn)葌?cè)重重說(shuō)說(shuō)明明反反演演映映射射1,iiezrewzr 令令則則1

3、()1(),()(),zwzzwz 所所以以當(dāng)當(dāng) 在在單單位位圓圓內(nèi)內(nèi) 外外 時(shí)時(shí)在在單單位位圓圓外外 內(nèi)內(nèi) 當(dāng)當(dāng) 在在上上 下下 半半平平面面時(shí)時(shí)在在下下 上上 半半平平面面 1,01,wzzwz 的的兩兩條條曲曲線線在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的交交角角則則可可以以認(rèn)認(rèn)為為在在也也是是共共形形的的因因此此反反演演變變換換在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面是是共共形形映映射射 根根據(jù)據(jù)這這樣樣的的約約定定 平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面是是共共形形映映射射11,.iiiwazarewre zze z wrzwaz 可可由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)和和伸伸縮縮復(fù)復(fù)合合得得到到 假假定定則則用用可可復(fù)復(fù)合合得得到

4、到,.wazb 稱稱為為整整線線性性映映射射 它它可可由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮和和平平移移復(fù)復(fù)合合得得到到 :(4.1).現(xiàn)現(xiàn)在在我我們們證證明明 一一般般的的分分式式線線性性映映射射可可由由平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮和和反反演演四四個(gè)個(gè)基基本本映映射射復(fù)復(fù)合合得得到到這這時(shí)時(shí)否否則則則則若若, 0, 00 bcaddc ,.abwzdd 它它是是整整線線性性映映射射 可可由由平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮得得到到2(4.2)()abcaddcczc 12322131(),(),(),()(4.1).,.dbcadzzzzzczcawzc 令令平平移移反反演演旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)和和伸伸縮縮平平移移 由由它

5、它們們的的復(fù)復(fù)合合得得到到分分式式線線性性映映射射另另一一方方面面 直直接接計(jì)計(jì)算算可可知知 兩兩個(gè)個(gè)分分式式線線性性映映射射的的復(fù)復(fù)合合仍仍是是分分式式線線性性映映射射1 azbwdczc 0,(4.1)c 若若則則改改寫寫為為()1dada zbccdczc 11111 11122222222,(0), 2,(0),abwa db ccda zba db cc zd 例例如如 設(shè)設(shè) ,.azbwczd 把把后后式式代代入入前前式式 復(fù)復(fù)合合后后得得 11221122, , ,(4.3)a b c dabababcdcdcd 在在直直接接算算出出后后 可可以以證證明明成成立立等等式式 111

6、 12222()()0.adbca db ca db c 因因此此 1(4.1),.定定理理分分式式線線性性映映射射可可由由平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮和和反反演演四四種種變變換換復(fù)復(fù)合合得得到到 分分式式線線性性映映射射的的復(fù)復(fù)合合仍仍為為分分式式線線性性映映射射分分式式線線性性映映射射的的性性質(zhì)質(zhì)二二、 1(4.1)(),.性性質(zhì)質(zhì)分分式式線線性性映映射射是是在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面上上的的雙雙方方單單值值共共形形映映射射 保保角角映映射射 它它的的逆逆映映射射也也是是共共形形映映射射 1,(4.1).(4.1),(4.5)dwbzcwa 證證明明 由由定定理理 知知分分式式線線性性映映射

7、射可可由由平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮和和反反演演四四種種變變換換復(fù)復(fù)合合得得到到 而而這這四四種種變變換換在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面都都是是雙雙方方單單值值的的共共形形映映射射 因因此此分分式式線線性性映映射射也也是是在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面上上雙雙方方單單值值的的共共形形映映射射 直直接接計(jì)計(jì)算算可可知知的的逆逆映映射射為為 ()()0,(4.5).dabcadbc 因因所所以以是是分分式式線線性性映映射射 1.把把性性質(zhì)質(zhì) 說(shuō)說(shuō)成成分分式式線線性性映映射射具具有有保保角角性性 2(4.1).zw性性質(zhì)質(zhì)分分式式線線性性映映射射把把擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周映映為為擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的

8、圓圓周周 :1).2).3).4).zwzwzwzw這這一一性性質(zhì)質(zhì)包包含含下下述述四四種種情情況況把把 平平面面的的通通常常圓圓周周映映為為 平平面面的的通通常常圓圓周周把把 平平面面的的通通常常圓圓周周映映為為平平面面的的直直線線把把 平平面面的的直直線線映映為為 平平面面的的圓圓周周把把 平平面面的的直直線線映映為為 平平面面的的直直線線.2保保圓圓性性說(shuō)說(shuō)成成分分式式線線性性映映射射具具有有把把性性質(zhì)質(zhì) 2,.zw性性質(zhì)質(zhì) 的的證證明明 因因?yàn)闉閳A圓周周或或直直線線經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)平平移移、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、伸伸縮縮仍仍舊舊是是圓圓周周或或直直線線因因此此只只需需證證明明擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面上上的的直直

9、線線經(jīng)經(jīng)反反演演映映射射后后是是擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周 z擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下可可寫寫成成)6 . 4(0)(22 dcybxyxa 222210(4.6),1,awzzzxiy wuivwuvxyuvuv 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)表表示示直直線線 把把反反演演映映射射改改寫寫為為將將代代入入 并并分分開開實(shí)實(shí)部部和和虛虛部部可可得得 221(4.6):(4.6)()0(4.7)wzd uvbucva 代代入入化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)可可知知經(jīng)經(jīng)映映射射后后的的像像為為 ,0.wd 這這是是擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)表表示示直直線線 ,(6.1),z根根

10、據(jù)據(jù)這這個(gè)個(gè)性性質(zhì)質(zhì)容容易易推推知知 在在分分式式線線性性映映射射下下 如如果果在在給給定定的的 平平面面的的圓圓周周或或直直線線上上沒(méi)沒(méi)有有點(diǎn)點(diǎn)被被映映射射為為無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn) ,.如如果果有有一一點(diǎn)點(diǎn)被被映映成成無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)那那末末它它就就被被映映成成半半那那末末它它就就映映成成徑徑為為有有限限的的圓圓周周直直線線 1,0,(4.8)(716( )?kzwkza 例例設(shè)設(shè)試試問(wèn)問(wèn)分分式式線線性性映映射射把把相相交交于于點(diǎn)點(diǎn) 與與 的的兩兩圓圓弧弧圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 見(jiàn)見(jiàn)圖圖映映成成何何圖圖形形圖圖7-16平面經(jīng)過(guò)平面經(jīng)過(guò)由性質(zhì)由性質(zhì)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映為映為把把原點(diǎn)原點(diǎn)平面

11、的平面的映為映為把把所以所以時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解zwzwzzzkwwzwz, 2, 0 .)(,.,.,2121221121212121相等相等即其切線的交角即其切線的交角處的交角處的交角在在和和與與應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)這個(gè)角形的角度這個(gè)角形的角度根據(jù)保角性根據(jù)保角性平面的一個(gè)角形域平面的一個(gè)角形域圍成圍成和和通向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)通向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿時(shí)時(shí)到達(dá)到達(dá)沿沿從從當(dāng)當(dāng)通向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)通向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿時(shí)時(shí)到達(dá)到達(dá)沿沿從從當(dāng)當(dāng)射線射線是兩條從原點(diǎn)出發(fā)的是兩條從原點(diǎn)出發(fā)的和和因此因此通過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)通過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和和且且和和平面的圓弧平面的圓弧平面上擴(kuò)充平面上擴(kuò)充映成映成和和的圓弧的圓弧和和 zllwLLL

12、wlzLwlzLLLLLLwwllwazkz716( ),.,. 把把二二圓圓域域映映射射今今后后將將把把圖圖這這樣樣由由兩兩圓圓弧弧圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域稱稱為為二二圓圓域域因因此此根根據(jù)據(jù)邊邊界界對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)原原理理此此外外還還應(yīng)應(yīng)注注意意 因因?yàn)闉橹敝本€線段段被被看看作作擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面的的圓圓弧弧 所所以以諸諸如如半半圓圓內(nèi)內(nèi)部部或或半半圓圓外外為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)在在原原部部等等也也是是點(diǎn)點(diǎn)的的形形域域二二圓圓域域角角 211,2(717),?zzziwzi 例例中中心心分分別別在在與與半半徑徑為為的的二二圓圓弧弧所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 圖圖在在映映射射下下映映成成何何區(qū)區(qū)域域圖圖7-17

13、,.iiii解解 所所設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)圓圓弧弧的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為與與交交點(diǎn)點(diǎn)映映射射成成無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn) 映映射射成成原原點(diǎn)點(diǎn) 因因此此所所給給的的區(qū)區(qū)域域經(jīng)經(jīng)映映射射后后映映射射成成以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的角角形形區(qū)區(qū)域域 2221( 21)1( 21).21( 21)12iiiwi 由由于于+ +2 11(21)2 12iiwi 且且。D 35():arg717.44ziwziw Dww 由由邊邊界界對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)原原理理，映映射射將將區(qū)區(qū)域域 映映成成的的角角形形域域, ,如如圖圖所所示示 121212212,zzzaRa zzzzazazaR復(fù)復(fù)平平面面上上兩兩點(diǎn)點(diǎn) 和和 關(guān)關(guān)于于圓圓周周對(duì)對(duì)

14、稱稱 意意指指和和 三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線且且 和和 在在 同同側(cè)側(cè) 同同時(shí)時(shí)圖圖7-181122122():(1):;(2)(4.9);(3).(zzzaRzza zKaRz 引引理理下下列列陳陳述述等等價(jià)價(jià)和和 關(guān)關(guān)于于圓圓周周對(duì)對(duì)稱稱過(guò)過(guò) 與與 的的任任一一圓圓周周 均均與與圓圓周周正正交交 212(4.9)(4.9)Rzaza 有有時(shí)時(shí)寫寫成成121212123(0).,.azbwadbcczdzzzwwwzzww 性性質(zhì)質(zhì)設(shè)設(shè)分分式式線線性性映映射射把把擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周及及兩兩點(diǎn)點(diǎn) 和和 分分別別映映成成擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面的的圓圓周周及及兩兩點(diǎn)點(diǎn)和和若若 和和 關(guān)關(guān)于于對(duì)對(duì)稱

15、稱 則則和和關(guān)關(guān)于于對(duì)對(duì)稱稱12121212,.,2,.wwwKKKzzzzzKKww 證證明明 根根據(jù)據(jù)上上面面的的引引理理 只只需需證證明明 平平面面上上經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)和和的的任任一一圓圓周周都都與與正正交交 設(shè)設(shè)的的原原像像為為由由性性質(zhì)質(zhì) 知知它它是是 平平面面的的圓圓周周通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) 與與因因 與與 關(guān)關(guān)于于圓圓周周對(duì)對(duì)稱稱 故故由由引引理理知知 與與正正交交 又又因因分分式式線線性性映映射射具具有有保保角角性性 故故它它們們的的像像與與也也正正交交 再再由由引引理理知知和和關(guān)關(guān)于于對(duì)對(duì)稱稱3.把把性性質(zhì)質(zhì) 說(shuō)說(shuō)成成分分式式線線性性映映射射具具有有保保圓圓對(duì)對(duì)稱稱性性 3Im( )01.z

16、w 例例求求將將上上半半平平面面映映成成單單位位圓圓的的分分式式線線性性映映射射圖圖7-19 0,01,zwzzwwwzw 由由于于上上半半平平面面總總有有一一點(diǎn)點(diǎn)要要映映成成，而而與與是是關(guān)關(guān)于于實(shí)實(shí)軸軸的的一一對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)與與是是與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的關(guān)關(guān)于于圓圓周周的的一一對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn) 所所以以根根據(jù)據(jù)分分式式線線性性映映射射具具有有保保圓圓對(duì)對(duì)稱稱性性知知必必映映成成 ,-0azbwad bcczd 解解 設(shè)設(shè)所所求求的的分分式式線線性性映映射射根根據(jù)據(jù)邊邊界界對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)原原理理，實(shí)實(shí)軸軸映映為為單單位位圓圓周周。.(),.zwkkz 從從而而所所求求的的分分式式線線性性映映射射具

17、具有有下下列列形形式式其其中中 為為常常數(shù)數(shù)= ,1,1,1,.izwkz xwzzxkkezx 因因?yàn)闉槎鴮?shí)實(shí)軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著上上的的點(diǎn)點(diǎn) 故故所所以以即即這這里里 是是任任意意常常數(shù)數(shù)= ,(4.10)Im( )01.,zwz x 反反之之 形形如如的的分分式式線線性性映映射射必必將將上上半半平平面面映映成成單單位位圓圓這這是是因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng)取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí) 有有(),(Im( )0)(4.10)izwez 因因此此所所求求的的分分式式線線性性映映射射一一般般形形式式為為1.iizxweezx 1.0,(4.10)Im( )01.wzwzw 即即把把實(shí)實(shí)軸軸映映射射成成又又因因

18、上上半半平平面面中中的的映映射射成成所所以以必必將將映映射射成成 ,(4.10).據(jù)據(jù)上上所所論論 把把上上半半平平面面映映射射成成單單位位圓圓的的分分式式線線性性映映射射必必是是具具有有形形式式的的分分式式線線性性映映射射 411.zw 例例求求將將單單位位圓圓映映射射成成單單位位圓圓的的分分式式線線性性映映射射 110.11(0zzawwwazwwa 解解 設(shè)設(shè) 平平面面上上單單位位圓圓內(nèi)內(nèi)部部的的一一點(diǎn)點(diǎn) 映映射射成成 平平面面上上的的單單位位圓圓的的中中心心這這時(shí)時(shí)與與點(diǎn)點(diǎn) 對(duì)對(duì)稱稱于于單單位位圓圓周周的的點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)應(yīng)該該被被映映射射成成 平平面面上上的的無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn) 即即與與對(duì)對(duì)稱稱

19、 1).0,.:()()11(),.1zawzwazazawkkaazzazakkkaaz 的的點(diǎn)點(diǎn) 因因此此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)滿滿足足這這些些條條件件的的分分式式線線性性映映射射具具有有如如下下的的形形式式圖圖7-20 ,11.1,11.1zwzwzakwa 由由于于 平平面面上上單單位位圓圓周周上上的的點(diǎn)點(diǎn)映映成成 平平面面上上單單位位圓圓周周上上的的點(diǎn)點(diǎn) 所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)將將代代入入上上式式 得得)(, 1,11是是任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)即即 iekkaa ,:()(1)(4.11)1izaweaaz 由由此此可可知知 所所求求的的分分式式線線性性映映射射具具有有如如下下的的形形式式 = ,(4.1

20、1)11:1()1.1iiiiiiizweaeaweeeaeea 反反之之 形形如如的的分分式式線線性性映映射射必必將將單單位位圓圓周周映映射射成成單單位位圓圓周周上上的的點(diǎn)點(diǎn) 110,(4.11)11.zzawwzw 同同時(shí)時(shí)單單位位圓圓內(nèi)內(nèi)有有一一點(diǎn)點(diǎn)映映射射成成單單位位圓圓的的圓圓心心所所以以必必將將單單位位圓圓映映射射成成單單位位圓圓 15( )0,21( )0.2ww 例例求求將將單單位位圓圓映映射射成成單單位位圓圓且且滿滿足足條條件件的的分分式式線線性性映映射射1( )0,121121.(4.11)(),1212iwzzzwwez 解解 由由條條件件知知 所所求求的的映映射射要要將

21、將內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn) 映映射射成成的的中中心心 所所以以由由得得21211 1(1)()1422 2( ),123(1)2iizzzweez 由由此此得得1212.1212zzwzz 所所以以所所求求的的映映射射為為1( )002iwe 由由于于cos0, sin0 1,ie 因因此此6Im( )022(2 )2 ,arg(2 ).2zwiwiiwi 例例求求將將映映射射成成且且滿滿足足條條件件的的分分式式線線性性映映射射2221.2wiwi 解解映映射射將將映映射射成成 (721)22().22iwiziezi 故故有有 圖圖(2 )0.Im( )01(2 )02().2iiziziezi 這這時(shí)

22、時(shí)將將映映射射成成且且滿滿足足的的映映射射為為 1(2 )2,4iwiei 由由此此得得1|(2 )|2wi 圖圖7-21 2222(1).222wizizwizizi 于于是是所所求求的的映映射射為為或或 4,.在在陳陳述述分分式式線線性性映映射射的的性性質(zhì)質(zhì) 之之前前 先先介介紹紹復(fù)復(fù)比比的的概概念念 =arg(2 )12(2 )4|(2 )|iiwiewiiwie 于于是是211,22iei 21,iei 從從而而31411234324212342:(,;,),.zzzzz z z zzzzzz z zz 定定義義比比式式稱稱為為和和 的的復(fù)復(fù)比比.復(fù)復(fù)比比又又稱稱交交比比或或反反調(diào)調(diào)和

23、和比比1234123412344,( )(0)()(1,2,3,4),(,;,)(,;,)(4.12)iiz z zzzazbwf zadbcczdwwf ziz z z zw w w w 性性質(zhì)質(zhì)分分式式線線性性映映射射保保復(fù)復(fù)比比不不變變 即即若若和和 是是平平面面的的四四點(diǎn)點(diǎn) 經(jīng)經(jīng)分分式式線線性性變變換換分分別別映映成成 平平面面的的四四點(diǎn)點(diǎn)則則()(1,2,3,4),jjjjazbwf zjczd 證證明明直直接接計(jì)計(jì)算算可可知知 313312313232312321()()()();()()wwazbazbazbazbczdczdczdczdwwzzczdzzczd 41412424

24、21()().()()wwzzczdwwzzczd 314112343242(,;,):wwwww w w wwwww 故故12342134,(, ;,)z z z zzzz z 必必須須指指出出 如如果果在在四四個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中有有一一個(gè)個(gè)是是例例如如則則復(fù)復(fù)比比理理解解為為 314112343242:(,;,).zzzzz z z zzzzz 23131411343242412(, ;,)lim:,1.zzzzzzzzz zzzzzzzz 即即把把復(fù)復(fù)比比表表達(dá)達(dá)式式包包含含的的項(xiàng)項(xiàng)均均作作為為4,.利利用用性性質(zhì)質(zhì)可可以以建建立立下下述述關(guān)關(guān)于于利利用用三三對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)可可唯唯一一決決定定分分式式線線性性映映射射的的定定理理1231231231232,( ),.zz zzww wwwf zz zzw ww 定定理理在在 平平面面上上任任意意給給定定互互異異三三點(diǎn)點(diǎn)和和在在 平平面面也也任任意意給給定定互互異異三三點(diǎn)點(diǎn)和和則則存存在