一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、21章 一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等號兩邊是整式，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必須是一個(gè)整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2 ；（4）二次項(xiàng)系數(shù)不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次三項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。 注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須

2、把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是一元二次方程。二、 一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)時(shí)，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有兩個(gè)根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接開平方法:直接開平方法理論依據(jù)：平方根的定義。 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。 根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。三種類型：（1）的解是； （2）的解是； （3）的解是。2、配方法: 配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，

3、并用x代替，則有。 （一）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1） 把一元二次方程化成一般形式（2） 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（3） 把原方程變?yōu)榈男问?。?） 若，用直接開平方法求出的值，若n0，原方程無解。（二）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)； （3）在方程的左、右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的一半的平方把原方程化為的形式

4、； （4）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；并判斷方程根的情況；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。因式分解法的理論依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將

5、方程的右邊化為0（即化為一般式）；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0（即化為一般式）；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。三、一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”

6、來表示，即I 當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；II 當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III 當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定的值；計(jì)算的值；根據(jù)的符號判定方程根的情況。 根的判別式的逆用 在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0（3）方程沒有實(shí)數(shù)根0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。  

7、0; 在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a0因當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程  應(yīng)用求根公式解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；若b24ac0，則方程無解  利用因式分解法解方程時(shí)，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式如2(x4)2 =3（x4）中，不能隨便約去x4。  注意：解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法 6一元二次方程解的情況 b24ac0Û方程

8、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； b24ac=0Û方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； b24ac0Û方程沒有實(shí)數(shù)根。 解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實(shí)數(shù)根”“兩相等實(shí)數(shù)根”“沒有實(shí)數(shù)根”時(shí)，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍。  考點(diǎn)3：根與系數(shù)的關(guān)系:韋達(dá)定理    對于方程ax2bx+c=0(a0）來說，x1 +x2 =ab，x1x2= ac。 也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次

9、項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。五、一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。一、一元二次方程的有關(guān)概念1的一般形式是 ，其中二次項(xiàng)是 ， 一次項(xiàng)系數(shù)是 2當(dāng)= 時(shí)，方程有一根是0.3若（b1）2+a2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ）（A） ax2+5x b=0（B） (b2 1)x2+(a+4)x+ab=0 （C）(a+1)x b=0 （D）(a+1)x2 bx+a=04.關(guān)于x的方程是(m21)x2+(m1)x2=0

10、，那么當(dāng)m 時(shí)，方程為一元二次方程；當(dāng)m 時(shí)，方程為一元一次方程.5方程（m2）xx40是一元二次方程，則m的值為 6已知 ,是關(guān)于的二次方程, 則 7已知是方程的一個(gè)根，則a=_，另一個(gè)根為_；8下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 9關(guān)于x的一元二次方程,當(dāng)a+b+c=0時(shí)，方程的根為_；當(dāng)方程的一根為1時(shí)，a,b,c滿足的條件是_二、一元二次方程的解法1方程的根是 2已知代數(shù)式4x2 14=50, 則x的值為 28塊相同的長方形地磚拼成面積為24002的矩形ABCD（如圖），則矩形ABCD的周長為（ ）（A） 200（B）220 （C）240 （D）2803

11、已知關(guān)于x的二次方程（m+1）x2+3x+m2 3m 4=0的一個(gè)根為0，求m的值4請寫出一個(gè)一元二次方程使它有一個(gè)根為3 ， 5分式的值是0，則；6用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（ ）A.x2-2x-99=0化為(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化為 D.3y2-4y-2=0化為7下面是李剛同學(xué)在一次測驗(yàn)中解答的填空題，其中答對的是（）A.若x2=4，則x2 B.方程x(2x1)2x1的解為x1C.若x2+2x+k=0的一個(gè)根為1，則 D.若分式的值為零，則x1，28方程的根是_；方程的根是_；方程 的根是 ；方程x2-1=0的根

12、為_； 的根是_ 9設(shè)是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為 10.方程兩根的平方和 倒數(shù)和 11已知實(shí)數(shù)滿足 ,那么的值為 12已知方程（x+a）（x-3）=0和方程x2-2x-3=0的解相同，則a=_14等腰三角形的兩邊的長是方程的兩個(gè)根，則此三角形的周長為 （ ）A. 27 B. 33 C. 27和33 D. 以上都不對15若一個(gè)三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+8=0，則此三角形的周長為 .16請寫出一個(gè)根為x= - 1，另一根滿足的一元二次方程 一元二次方程解法練習(xí)題一、 用直接開平方法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、二、用配方法解下列一元二次方程

13、。1、. 2、 3、 4、5、 6、 7、 三、用公式解法解下列方程。1、 2、 3、4、 5、 6、 四、用因式分解法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 五、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠獭?、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13. 14. 15. x2+4x-12=0 16. 17. 18、3x2+5(2x+1)=0 19、 20、 三、一元二次方程根的判別式1關(guān)于x的方程kx26x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 .2若關(guān)于x 的方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有兩個(gè)相等的實(shí)根，則a2004+b5的值為

14、 3若關(guān)于x的方程x2 2x(k-x)+6=0無實(shí)根，則k可取的最小整數(shù)為_4方程的根的情況是_5 關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是 6. 如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（ ）7關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么以a、b、c為三邊的三角形是( )A、以為斜邊的直角三角形 B、以為斜邊的直角三角形C、以為底邊的等腰三角形 D、以為底邊的等腰三角形 8關(guān)于的一元二次方程的根的情況是 ( )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)根 C. 無實(shí)數(shù)根 D. 不能確定9已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值是 10關(guān)于的一元二次方程

15、有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 。11 .已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 12若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則化簡代數(shù)式的結(jié)果為_13如果關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么a的值等于 .14如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 15求證：不論k取什么實(shí)數(shù)，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.16.已知a、b、c為三角形三邊長，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.試判斷此三角形形狀，說明理由四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1、關(guān)于x的方程2x2+(m29)x+m+1=0，當(dāng)m= 時(shí)，兩根互

16、為倒數(shù)； 當(dāng)m= 時(shí)，兩根互為相反數(shù).2、設(shè)x1、x2是方程3x2+4x5=0的兩根，則 .x12+x22= .3、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一個(gè)根，則a= ，該方程的另一個(gè)根x2 = .4、方程x2+2x+a1=0有兩個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是 5、若p23p5=0，q23q5=0，且pq，則 .6、已知方程的兩根平方和是5，則= .7、如果把一元二次方程 x23x1=0的兩根各加上1作為一個(gè)新一元二次方程的兩根，那么這個(gè)新一元二次方程是 .8.方程的兩個(gè)根分別是兩個(gè)根的一半，則；9如果、是一元二次方程x23x20的兩個(gè)根，則22的值是 10已知三角形兩邊長是方程的兩個(gè)

17、根，第三邊=3,則三角形的的周長是 考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用一、考點(diǎn)講解：1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見的模型如下： 與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長率的應(yīng)用：此類問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的等量關(guān)系是a(1±x）2=b，其中a表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長率（降低率），b表示后來的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長率不為負(fù)，降低率不超過1。 經(jīng)濟(jì)利潤問題：總利潤=（單件銷售額單件成本）×銷售數(shù)量；或者，總利潤=總銷售額總成本。 動(dòng)點(diǎn)問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后，要想辦法把圖中變化

18、的線段用未知數(shù)表示出來，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2注重解法的選擇與驗(yàn)根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性C二、經(jīng)典考題剖析： 【考題1】（2009、深圳南山區(qū)）課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉庫旁的一塊空地，開辟一個(gè)面積為130平方米的花圃（如圖121），打算一面利用長為15米的倉庫墻面，三面利用長為33米的舊圍欄，求花圃的長和寬 解：設(shè)與墻相接的兩邊長都為米，則另一邊長為米，依題意得 ， 又 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，15 不合題意，舍去 答：花圃的長為13米，寬為10米【考題2】（2009、襄樊）為了改善居民住

19、房條件，我市計(jì)劃用未來兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10平方米提高到12.1平方米，若每年的增長率相同，則年增長率為（） A.9 B.10 C. 11 D.12 解：設(shè)年增長率為x，根據(jù)題意得10(1+x)=12.1，解得x1=0.1，x2 =2.1因?yàn)樵鲩L率不為負(fù)，所以x=0.1。故選D?！究碱}3】（2009、?？冢┠乘l(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？ 解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)

20、x元，依題意，得(5002 0 x)（10+x）=6000整理，得x15x50=0解這個(gè)方程，x=5，x=10要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元 點(diǎn)撥：此類經(jīng)濟(jì)問題在設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)漲價(jià)或降價(jià)為未知數(shù)；應(yīng)根據(jù)“要使顧客得到實(shí)惠”來取舍根的情況 【考題4】如圖，在ABC中，B=90°，AB=5，BC=7，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PBQ的面積等于4？（2）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PQ的長度等于5？PQBCA 解

21、：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，PBQ的面積等于4， 則由題意得AP=x，BP=5x，BQ=2x, 由BP·BQ=4，得（5x）·2x=4， 解得，x=1，x=4 當(dāng)x=4時(shí)，BQ=2x=87=BC，不符合題意。故x=1 （2）由BP+BQ=5得（5x）+（2x）=5, 解得x1=0（不合題意），x2=2所以2秒后，PQ的長度等于5。三、針對性訓(xùn)練：1小明的媽媽上周三在自選商場花10元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時(shí)，正好遇上商場搞酬賓活動(dòng)，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜05元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花了2元錢，卻比上次多買了2瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶？2合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：

22、“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十·一”國慶節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少？3在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？32m20m4小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲(chǔ)蓄的年利率.（精確到0.1%）5如

23、圖12-3，ABC中，B=90°，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)。（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使ABQ的面積等于8cm2?(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q以C后又繼續(xù)在AC邊上前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6 cm2。解：依題意，得：（6-x）·2x=8解這個(gè)方程得：x1=2，x2=4即經(jīng)過2s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)4cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)4cm處；經(jīng)過4s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)2cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)8cm處。故本小題有兩解。（2）設(shè)經(jīng)過x秒，

24、點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，且有CP=（14-x）cm,點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且命名CQ=（2x-8） cm，過Q作QDCB于D。CQDCAB，即QD=。依題意，得：（14-x）·=12.6，解這個(gè)方程得：x1=7，x2=11經(jīng)過7s，點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)7cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)6cm處，使SPCQ=12.6cm2經(jīng)過11s，點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)14cm處， 140,點(diǎn)Q已超出CA范圍，此解不存在。故本題只有一解。例1、某種商品原價(jià)50元。因銷售不暢,3月份降價(jià)10%,從4月份開始漲價(jià),5月份的售價(jià)為64.8元,則4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為 .思維點(diǎn)擊：由題意，3

25、月份的售價(jià)可以用50×（110%）表示，若設(shè)4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為，則4月份的售價(jià)是50×（110%）×（1+），5月份的售價(jià)是50×（110%）×（1+）（1+）即50×（110%）×（1+），由于5月份的售價(jià)已知，所以可列出一個(gè)方程，進(jìn)而解決本題。解：設(shè)4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為，由題意，得50×（110%）×（1+）=64.8。整理，得（1+）=1.44.解得：（不合題意，舍去）。所以4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為20%。解后反思：列方程解應(yīng)用題，要注意求得的方程的解必須符合題意。例2、如圖，

26、一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長.思維點(diǎn)擊：設(shè)截去正方形的邊長x厘米之后，關(guān)鍵在于列出底面（圖示虛線部分）長和寬的代數(shù)式.結(jié)合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式.解：設(shè)截去正方形的邊長為x厘米，根據(jù)題意，得(602x) (402x) 800.原方程可寫成：解這個(gè)方程，得如果截去的小正方形的邊長為40厘米，那么左下角和右下角的兩個(gè)小正方形的邊長之和為80厘米，這超過了長方形鐵皮的長60厘米，因此不符合題意，應(yīng)舍去。答：截去正方形的邊長為10厘米。溫馨提示：在應(yīng)用一

27、元二次方程解實(shí)際問題時(shí)，也像以前學(xué)習(xí)一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數(shù)量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.求得方程的解之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，然后得到原問題的解答.范例探究基礎(chǔ)思維探究探究點(diǎn)1、與圖形有關(guān)的問題例1、為了培養(yǎng)孩子從小熱愛動(dòng)物的良好品德，在一邊靠校園20米的院墻，另外三邊用55米長的籬笆，圍起一個(gè)面積為300的矩形場地組織生物小組學(xué)生喂養(yǎng)小鳥、兔子等小動(dòng)物問這個(gè)場地的各邊長為多少？思維點(diǎn)擊：設(shè)與院墻垂直的邊長為x m，則與院墻平行的邊長為(55-2x)m，根據(jù)矩形面積公式可列出方程式 解：設(shè)與院墻垂直的邊長為x m，則與院墻平行的邊長為(55-2x

28、)m，根據(jù)題意得： 整理，得.解方程，得當(dāng)x20，即與院墻垂直的邊長為20米時(shí)，另一邊長為20米，即與院墻平行的邊長為15米當(dāng)x15，即與院墻垂直的邊長為15米時(shí)，另一邊長為25米，即與院墻平行的邊長為25米由于校園的院墻長20米，2025，所以此解不合題意，應(yīng)舍去答：與院墻垂直的邊長為20米，與院墻平行的邊長為15米溫馨提示：若設(shè)與院墻平行的邊長為x m，則與院墻垂直的邊長為m 根據(jù)矩形面積公式也可以列出方程式但出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，不如前一種設(shè)法好探究點(diǎn)2、利潤問題例2、某商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措

29、施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？思維點(diǎn)擊：每天售出的童裝件數(shù)×每件童裝的利潤=每天這種童裝的總利潤。解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)題意，得化簡，得，解得。因?yàn)橐M快減少庫存，所以應(yīng)取20。答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元。溫馨提示：求出方程的解后，必須根據(jù)要求，對方程的解進(jìn)行合理取舍。探究點(diǎn)3、增長率問題例3、某廠1月份生產(chǎn)零件 2 萬個(gè)，第一季度共生產(chǎn)零件 7.98 萬個(gè)，若每月的增長率相同，求每月的增長率。思維點(diǎn)擊：解：設(shè)每月的平均增長率為x，依題意，得2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98經(jīng)整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合題意，舍去。答：每月的增長率為30%。溫馨提示：（1）解本題的關(guān)鍵是理解“7.98 萬個(gè)零件是3個(gè)月生產(chǎn)量的總和”，一定要注意審題；（2）牢記公式，為增長率（降