化歸思想──小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理

1、化歸思想小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理二、化歸思想1 .化歸思想的概念。人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，把這種思想方法稱為化歸(轉(zhuǎn)化)思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程；然而，人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時(shí)，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2 .化歸所

2、遵循的原則?；瘹w思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡(jiǎn)單的、具體的、基本的知識(shí)的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問(wèn)題。因此，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則：(1)數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問(wèn)題，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實(shí)踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。(2)熟悉化原則，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程；解決疑難問(wèn)

3、題的過(guò)程，也是一個(gè)面對(duì)陌生問(wèn)題的過(guò)程。從某種程度上說(shuō)，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是一個(gè)探索的過(guò)程，又是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程；與課程標(biāo)準(zhǔn)提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會(huì)把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，是一個(gè)比較重要的原則。(3)簡(jiǎn)單化原則，即把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。對(duì)解決問(wèn)題者而言，復(fù)雜的問(wèn)題未必都不會(huì)解決，但解決的過(guò)程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。(4)直觀化原則，即把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性。有些抽象的問(wèn)題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，或者借助直觀手段，比較容易分析

4、解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之3 .化歸思想的具體應(yīng)用。學(xué)生面對(duì)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)單地分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有知識(shí)便可順利解答的問(wèn)題；另一種是陌生的知識(shí)、或者不能直接應(yīng)用已有知識(shí)解答的問(wèn)題，需要綜合地應(yīng)用已有知識(shí)或創(chuàng)造性地解決的問(wèn)題。如知道一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，求它的面積，只要知道長(zhǎng)方形面積公式的人，都可以計(jì)算出來(lái)，這是第一類問(wèn)題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過(guò)割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計(jì)算面積，這是第二類問(wèn)題。對(duì)于廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所遇到的很多問(wèn)題都可以歸為第二類問(wèn)題，并且要不斷地把第二類問(wèn)題轉(zhuǎn)

5、化為第一類問(wèn)題。解決問(wèn)題的過(guò)程，從某種意義上來(lái)說(shuō)就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛?；瘹w思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的意義整數(shù)的意義：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解小數(shù)的意義：用直觀圖幫助理解分?jǐn)?shù)的意義：用直觀圖幫助理解負(fù)數(shù)的意義：用數(shù)軸等直觀圖幫助理解四則運(yùn)算的意義乘法的意義：若7個(gè)相同加數(shù)相加的一種簡(jiǎn)便算法。除法的意義：乘法的逆運(yùn)算。四則運(yùn)算的法則整數(shù)加減法：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解算法。小數(shù)加減法：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，然后按照整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的方法進(jìn)行計(jì)算，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。小數(shù)除法：把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，基本按照整數(shù)除法的方法

6、進(jìn)行計(jì)算，需要注意被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)與商的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。分?jǐn)?shù)加減法：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法。分?jǐn)?shù)除法：轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系a+b=c,ca=bab=c,a=c+b簡(jiǎn)便計(jì)算利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算方程解方程：解方程的過(guò)程，實(shí)際就是不斷把方程轉(zhuǎn)化為未知數(shù)前邊的系數(shù)是1的過(guò)程（x=a）。解決問(wèn)題的策略化繁為簡(jiǎn)：植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等?；橄鬄橹庇^：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量之間的關(guān)系、幫助推理?；瘜?shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題：化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題：化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題：空間與圖形三角形內(nèi)角和通過(guò)操作把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為二角形求內(nèi)角和面積公式止方形的面積：

7、轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積平行四邊形面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積三角形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積圓的面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積組合圖形的面積：轉(zhuǎn)化為求基本圖形的面積體積公式正方體的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓柱的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表運(yùn)用不同的統(tǒng)計(jì)圖表描述各種數(shù)據(jù)可能性運(yùn)用不同的方式表K可能性的大小4 .解決問(wèn)題中的化歸策略。(1)化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)的抽象性，這是每個(gè)想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對(duì)的問(wèn)題。從小學(xué)到初中，再到高中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性不斷加強(qiáng)，學(xué)生的抽象思維能力在不斷接受挑戰(zhàn)。如果能把比較

8、抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為操作或直觀的問(wèn)題，那么不但使得問(wèn)題容易解決，經(jīng)過(guò)不斷的抽象一直觀一抽象的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會(huì)逐步提高。下面舉例說(shuō)明。1分析：此問(wèn)題通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)的2。但是對(duì)于小學(xué)和初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式。如果把一條線段看作1,先取它的一半表示2,再取余下的一半的一半表示4,這樣不斷地取下去，最終相當(dāng)于取了整條線段。因此，上式的結(jié)果等于1,這樣利用直觀手段解決了高中生才能解決的問(wèn)題。(2)化繁為簡(jiǎn)的策略。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并

9、進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)便得到解決。下面舉例加以說(shuō)明。案例1:把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大?187呢？分析：此題中的數(shù)比較大，如果用枚舉法一個(gè)一個(gè)地猜測(cè)驗(yàn)證，比較繁瑣。如果從比較小的數(shù)開(kāi)始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開(kāi)始，10可以分成：1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。它們的積分別是：9,16,21,24,25?？梢猿醪秸J(rèn)為拆分成相等的兩個(gè)數(shù)的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個(gè)例子，如12可以分成：1和11,2和10,3和9,4和8,5和7,6和6,它們的積分別是：11,2

10、0,27,32,35,36。由此可以推斷：把186拆分成93和93,93和93的乘積最大，乘積為8649。適當(dāng)?shù)丶右詸z驗(yàn)，如92和94的乘積為8648,90和96的乘積為8640,者B比8649小。因?yàn)?87是奇數(shù)，無(wú)法拆分成相等的兩個(gè)數(shù)，只能拆分成相差1的兩個(gè)數(shù)，這時(shí)它們的乘積最大。不再舉例驗(yàn)證。案例2:你能快速口算85X85=,95X95=,105X105=嗎?分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類題有些共同特點(diǎn)，每個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相等，并且個(gè)位數(shù)都是5。如果不知道個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積的規(guī)律，直接快速口算是有難度的。那么，此類題有什么技巧呢？不妨從簡(jiǎn)單的數(shù)開(kāi)始探索，如15X15=225,

11、25X25=625,35X35=1225。通過(guò)這幾個(gè)算式的因數(shù)與相應(yīng)的積的特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25(5乘5的積)。所以85X85=7225,95X95=9025,105X105=11025,實(shí)際驗(yàn)證也是如此。很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過(guò)程非常繁瑣，就會(huì)產(chǎn)生退縮情緒，或者在繁瑣的解答過(guò)程中出現(xiàn)失誤，這是比較普遍的情況。因此，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)的解題策略，對(duì)于提高解決繁難問(wèn)題的能力大有幫助。(3)化實(shí)際問(wèn)題為特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活。與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的生活中

12、的實(shí)際問(wèn)題，多數(shù)可以用常規(guī)的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決；但有些生活中的實(shí)際問(wèn)題表面上看是一些常用的數(shù)量，似乎能用常規(guī)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。但真正深入分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，可能由于條件不全面而無(wú)法建立模型。這時(shí)，就需要超越常規(guī)思維模式，從另外的角度進(jìn)行分析，找到解決問(wèn)題的方法。下面舉例說(shuō)明。案例1:某旅行團(tuán)隊(duì)翻越一座山。上午9時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達(dá)山頂時(shí)休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行4千米，下午4時(shí)到達(dá)山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具體時(shí)間，因此無(wú)法直接求出上山和下山的路程，但是知道總路程。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：題中給出了兩個(gè)未知數(shù)量的

13、總和以及與這兩個(gè)數(shù)量有關(guān)的一些特定的數(shù)量，如果用假設(shè)的方法，那么就類似于雞兔同籠問(wèn)題。假設(shè)都是上山，那么總路程是18(6X3)千米，比實(shí)際路程少算了2千米，所以下山時(shí)間是212+(43)小時(shí)，上山時(shí)間是4小時(shí)。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例2:李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價(jià)格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢？分析：此題初看是關(guān)于單價(jià)、總價(jià)和數(shù)量的問(wèn)題，但是，由于題中沒(méi)有告訴蘋果和香蕉各自的總價(jià)是多少，無(wú)法直接計(jì)算各自的單價(jià)。認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)：題中分兩次給出了不同數(shù)量的蘋果和香蕉的總價(jià)，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價(jià)這

14、兩個(gè)未知數(shù)，但這二者沒(méi)有直接的關(guān)系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問(wèn)題在小學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問(wèn)題；具體來(lái)說(shuō)就是把兩組數(shù)量中的一個(gè)數(shù)量化成相等的關(guān)系，再相減，得到一個(gè)一元一次方程。不必列式推導(dǎo)，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2,所以香蕉的單價(jià)是每千克2元。再通過(guò)計(jì)算得蘋果的單價(jià)是每千克2.5元。(4)化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題。對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程，有些新知識(shí)通過(guò)某些載體直接呈現(xiàn)，如面積

15、和面積單位，通過(guò)一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識(shí)可以利用已有知識(shí)通過(guò)探索，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)，通過(guò)割補(bǔ)平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見(jiàn)。下面舉例說(shuō)明。案例：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題時(shí)學(xué)習(xí)了最基本的有關(guān)兩個(gè)數(shù)量的一種模型：已知兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系以及這兩個(gè)數(shù)量的和或差，求這兩個(gè)數(shù)量分別是多少。題中的蘋果和香蕉的關(guān)系，不是簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系；而是在倍數(shù)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)條件，即蘋果比香蕉的2倍還多30千克。假

16、如把180減去30得150,那么題目可以轉(zhuǎn)化為：如果水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，那么這兩種水果一共銷售了150千克。銷售香蕉多少千克？這時(shí)就可以列方程解決了，設(shè)未知數(shù)時(shí)要注意設(shè)誰(shuí)為x,題目求的是哪個(gè)量。這個(gè)案例能給我們什么啟示呢？教師在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么？學(xué)生既要學(xué)習(xí)知識(shí)，又要學(xué)習(xí)方法。學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)類型套類型的解題模式，更重要的是在理解和掌握最基本的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，形成遷移類推或舉一反三的能力。教師在上面最基本的模型基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考以下幾個(gè)問(wèn)題：1 .水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？2 .水果商店昨天銷

17、售的香蕉比蘋果的2多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？I3 .水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的2少30千克，這兩種水果一共銷售了120千克。銷售蘋果多少千克？4 .水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？5 .水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了210千克。銷售香蕉多少千克？從以上幾個(gè)題目的步數(shù)來(lái)說(shuō)，可能已經(jīng)超越了教材基本的難度標(biāo)準(zhǔn)。但筆者近年來(lái)一直有一個(gè)理念：“高標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試”教師們可以在課堂上大膽探索，這樣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生到底能否解決？學(xué)生

18、是否能在數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維能力上得到更好的發(fā)展？是否貫徹了課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的理念？(5)化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題。數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般具有普遍性，但是對(duì)于小學(xué)生而言，普遍的規(guī)律往往比較抽象，較難理解和應(yīng)用。如果舉一些特殊的例子運(yùn)用不完全歸納法加以猜測(cè)驗(yàn)證，也是可行的解決問(wèn)題的策略。下面舉例說(shuō)明。案例：任意一個(gè)大于4的自然數(shù)，拆成兩個(gè)自然數(shù)之和，怎樣拆分才能使這兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？分析：此問(wèn)題如果運(yùn)用一般的方法進(jìn)行推理，可以設(shè)這個(gè)大于4的自然數(shù)為No如果N為偶數(shù)，可設(shè)N=2K(K為任意大于2的自然數(shù))；那么N=K+K=(K1)+(K+1)=(K2)+(K+2)=,因?yàn)镵>K1>K4>，所以KXK>(K1)X(K+1)>(K2)X(K+2)>,所以把這個(gè)偶數(shù)拆分成兩個(gè)相等的數(shù)的和，它們的積最大。如果N為奇數(shù)，可設(shè)N=2K+1(K為任意大于1的自然數(shù))；那么N=K+(K+1)=(K1)+(K+2)=(K-2)+(K+3)=，因?yàn)镵+K>K+K2>K+K6