數(shù)學(xué)問(wèn)題解決及教學(xué)（培訓(xùn)）

1、專題四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決及教學(xué)一、數(shù)學(xué)問(wèn)題二、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知分析四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)策略五、案例 標(biāo)準(zhǔn)中“解決問(wèn)題”的總體目標(biāo)是：初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。這就表明，“解決問(wèn)題”的實(shí)質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”、具有初步的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。這與“解決問(wèn)題就是強(qiáng)調(diào)各種解題技巧的運(yùn)用”是大不相同的。例1：美國(guó)情景數(shù)學(xué)七年級(jí)（相當(dāng)于我國(guó)的五或六年級(jí)）統(tǒng)計(jì)系列的一個(gè)單元：統(tǒng)計(jì)與環(huán)境統(tǒng)計(jì)與環(huán)境簡(jiǎn)介：該單元從解決一個(gè)海島的旅游開發(fā)和環(huán)境保簡(jiǎn)介：該單元從解決一個(gè)海島的旅游開發(fā)和環(huán)境

2、保護(hù)問(wèn)題開始，探討與數(shù)據(jù)分析有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。護(hù)問(wèn)題開始，探討與數(shù)據(jù)分析有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。包括抽樣、收集數(shù)據(jù)、問(wèn)卷調(diào)查以及如何表示數(shù)包括抽樣、收集數(shù)據(jù)、問(wèn)卷調(diào)查以及如何表示數(shù)據(jù)和如何運(yùn)用這些數(shù)據(jù)合理的做出決策，對(duì)所做據(jù)和如何運(yùn)用這些數(shù)據(jù)合理的做出決策，對(duì)所做的決策的前景作出評(píng)估，對(duì)該海島的旅游開發(fā)前的決策的前景作出評(píng)估，對(duì)該海島的旅游開發(fā)前景和環(huán)境受影響的情況做出直觀和量化的說(shuō)明。景和環(huán)境受影響的情況做出直觀和量化的說(shuō)明。內(nèi)容：內(nèi)容：1.概述概述 Murre島簡(jiǎn)介島簡(jiǎn)介氣候氣候蝙蝠蝙蝠俯視圖、等高線俯視圖、等高線闡述如何保護(hù)與開發(fā)闡述如何保護(hù)與開發(fā)搜集信息搜集信息2.島上森林的危機(jī)島上森林的危機(jī)島

3、上森林島上森林古樹名木保護(hù)古樹名木保護(hù)3.解釋信息解釋信息用數(shù)據(jù)說(shuō)話用數(shù)據(jù)說(shuō)話度假活動(dòng)中的數(shù)據(jù)度假活動(dòng)中的數(shù)據(jù) 4.描述信息描述信息環(huán)境問(wèn)題環(huán)境問(wèn)題能源問(wèn)題能源問(wèn)題節(jié)電問(wèn)題節(jié)電問(wèn)題Murre島能源使用問(wèn)題島能源使用問(wèn)題水資源問(wèn)題水資源問(wèn)題Murre島的水資源問(wèn)題島的水資源問(wèn)題5.Murre島旅游規(guī)劃島旅游規(guī)劃野營(yíng)野營(yíng)徒步旅行路線徒步旅行路線游客住宿游客住宿其它娛樂(lè)項(xiàng)目其它娛樂(lè)項(xiàng)目1氣候 1另一個(gè)海島的氣候1蝙蝠外出覓食的時(shí)間與氣候的關(guān)系1有等高線的俯視圖1徒步旅行的路線1選擇哪一條作為徒步旅行線路？1關(guān)于旅游開發(fā)的信息如時(shí)間地點(diǎn)項(xiàng)目等等2林木種類面積覆蓋率保護(hù)的必要性2了解北大西洋沿岸12個(gè)國(guó)

4、家森保護(hù)區(qū)林狀況3人口分布與旅游4面臨的主要環(huán)境問(wèn)題4水資源問(wèn)題4家庭用水量4總體能源消耗及居民能源使用情況4家用電器的能源消耗情況4家庭垃圾4垃圾構(gòu)成4總量與人均垃圾產(chǎn)生量4思考減少垃圾量的辦法5.制定方案：（野營(yíng)營(yíng)地、徒步旅行路線、游野營(yíng)營(yíng)地、徒步旅行路線、游客住宿、其它娛樂(lè)項(xiàng)目）客住宿、其它娛樂(lè)項(xiàng)目）以設(shè)計(jì)一處野營(yíng)營(yíng)地為例，方案應(yīng)包括：以設(shè)計(jì)一處野營(yíng)營(yíng)地為例，方案應(yīng)包括：以數(shù)據(jù)為依據(jù)的論證報(bào)告以數(shù)據(jù)為依據(jù)的論證報(bào)告提供給露營(yíng)者的營(yíng)地地圖提供給露營(yíng)者的營(yíng)地地圖營(yíng)地管理規(guī)定營(yíng)地管理規(guī)定介紹營(yíng)地所在地介紹營(yíng)地所在地Murre島的手冊(cè)島的手冊(cè)具體方案中要包括以下內(nèi)容：具體方案中要包括以下內(nèi)容：營(yíng)

5、地的容量及面積的大小營(yíng)地的容量及面積的大小每個(gè)單位的數(shù)量及大小每個(gè)單位的數(shù)量及大小營(yíng)地的方位及營(yíng)地周圍可能的觀賞景點(diǎn)營(yíng)地的方位及營(yíng)地周圍可能的觀賞景點(diǎn)為建營(yíng)地必須砍伐的樹木數(shù)量為建營(yíng)地必須砍伐的樹木數(shù)量電力、水源供應(yīng)，垃圾處理方式電力、水源供應(yīng)，垃圾處理方式營(yíng)地的運(yùn)營(yíng)費(fèi)用及露營(yíng)者所需的費(fèi)用營(yíng)地的運(yùn)營(yíng)費(fèi)用及露營(yíng)者所需的費(fèi)用一、數(shù)學(xué)問(wèn)題一、數(shù)學(xué)問(wèn)題（一）對(duì)（一）對(duì)“數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題”的理解的理解 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)一書中指出，所謂“問(wèn)題問(wèn)題”就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)

6、。 牛津大詞典對(duì)“問(wèn)題”的解釋是： 指那些并非可以立即求解或較困難的問(wèn)指那些并非可以立即求解或較困難的問(wèn)題，那種需要探索、思考和討論的問(wèn)題，題，那種需要探索、思考和討論的問(wèn)題，那種需要積極思維活動(dòng)的問(wèn)題。那種需要積極思維活動(dòng)的問(wèn)題。 在第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，“問(wèn)題解決、模型化及應(yīng)用”課題組提交的課題報(bào)告中，對(duì)“問(wèn)題”給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出 一個(gè)問(wèn)題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、一個(gè)問(wèn)題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問(wèn)題情境。解問(wèn)題情境。 該課題組主席奈斯還進(jìn)一步把“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”中的“問(wèn)題”具體分為兩類：一類是

7、非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；另一類是數(shù)一類是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題。學(xué)應(yīng)用問(wèn)題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。 我國(guó)的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的數(shù)學(xué)教育學(xué)里的“數(shù)學(xué)教育中的問(wèn)題解決”中，對(duì)什么是問(wèn)題及問(wèn)題與習(xí)題的區(qū)別作了很好的探討。 綜上，對(duì)“問(wèn)題”可以有以下幾個(gè)方面的理解和認(rèn)識(shí)：1. 問(wèn)題是一種情境狀態(tài)問(wèn)題是一種情境狀態(tài) 這種狀態(tài)會(huì)與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當(dāng)前狀態(tài)下還沒(méi)有易于理解的、沒(méi)有完全確定的解答方法或法則。 所謂所謂有問(wèn)題的狀態(tài)，有問(wèn)題的狀態(tài)，即這個(gè)人面臨著他即這個(gè)人面臨著他們不認(rèn)識(shí)的東西，對(duì)于這種東西又不能們不認(rèn)識(shí)的東西，對(duì)于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范

8、的解法去解答，因?yàn)閮H僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因?yàn)橐粋€(gè)問(wèn)題一旦可以使使用以前的算法輕一個(gè)問(wèn)題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來(lái)，那么它就不是一個(gè)問(wèn)題易地解答出來(lái)，那么它就不是一個(gè)問(wèn)題了。了。 2. 問(wèn)題解決中的問(wèn)題解決中的“問(wèn)題問(wèn)題”，并不，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是指非常包括常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題。規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題。 這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 3. 問(wèn)題是相對(duì)的問(wèn)題是相對(duì)的 問(wèn)題因人因時(shí)而宜，對(duì)于一個(gè)人可能是問(wèn)題，而對(duì)于另一個(gè)人只不過(guò)是習(xí)題或練習(xí)，而

9、對(duì)于第三個(gè)人，卻可能是所然無(wú)味了。 隨著人們的數(shù)學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)、能力的提高，原先是問(wèn)題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問(wèn)題，或者說(shuō)已經(jīng)構(gòu)不成問(wèn)題了。 4. 問(wèn)題情境狀態(tài)下，要對(duì)學(xué)生本人問(wèn)題情境狀態(tài)下，要對(duì)學(xué)生本人構(gòu)成問(wèn)題，必須滿足三個(gè)條件構(gòu)成問(wèn)題，必須滿足三個(gè)條件:（1）可接受性。）可接受性。指學(xué)生能夠接受這個(gè)問(wèn)題，還可表現(xiàn)出學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的興趣。（2）障礙性。）障礙性。即學(xué)生當(dāng)時(shí)很難看出問(wèn)題的解法、程序和答案，表現(xiàn)出對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)和處理的習(xí)慣模式的失敗。（3）探索性。該問(wèn)題又能促使學(xué)生深入地研究和進(jìn)一步的思考，展開各種探究活動(dòng)，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。 5. 問(wèn)題解決中的問(wèn)題解決中的“問(wèn)題

10、問(wèn)題”與與“習(xí)題習(xí)題”或或“練習(xí)練習(xí)”的的區(qū)別區(qū)別（1）性質(zhì)不同）性質(zhì)不同中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的“習(xí)題習(xí)題”或者或者“練習(xí)練習(xí)”屬于屬于“常規(guī)問(wèn)題常規(guī)問(wèn)題”，教，教師在課堂中已經(jīng)提供了典范解法，而學(xué)生只不過(guò)是這種典范解法師在課堂中已經(jīng)提供了典范解法，而學(xué)生只不過(guò)是這種典范解法的翻版應(yīng)用，一般不需要學(xué)生較高的思考。因此，實(shí)際上學(xué)生只的翻版應(yīng)用，一般不需要學(xué)生較高的思考。因此，實(shí)際上學(xué)生只不過(guò)是在學(xué)習(xí)一種算法，或一種技術(shù)，一種應(yīng)用于同一類不過(guò)是在學(xué)習(xí)一種算法，或一種技術(shù)，一種應(yīng)用于同一類“問(wèn)題問(wèn)題”的技術(shù)，一種只要避免了無(wú)意識(shí)的錯(cuò)誤就能保證成功的技術(shù)。的技術(shù)，一種只要避免了無(wú)意識(shí)的錯(cuò)誤就

11、能保證成功的技術(shù)。（2）服務(wù)的目的不同）服務(wù)的目的不同盡管有些困難的習(xí)題對(duì)大部份學(xué)生實(shí)際上也可能是真正的問(wèn)題，盡管有些困難的習(xí)題對(duì)大部份學(xué)生實(shí)際上也可能是真正的問(wèn)題，但數(shù)學(xué)課本中的習(xí)題是為日常訓(xùn)練技巧等設(shè)計(jì)的，而真正的問(wèn)題但數(shù)學(xué)課本中的習(xí)題是為日常訓(xùn)練技巧等設(shè)計(jì)的，而真正的問(wèn)題則適合于學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進(jìn)行數(shù)學(xué)原始發(fā)現(xiàn)以及則適合于學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進(jìn)行數(shù)學(xué)原始發(fā)現(xiàn)以及學(xué)習(xí)如何思考。因此，練習(xí)技巧與解真正問(wèn)題所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目學(xué)習(xí)如何思考。因此，練習(xí)技巧與解真正問(wèn)題所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目的不大相同，也正因?yàn)樗鼈兏髯苑?wù)于一種目的，所以中學(xué)教學(xué)的不大相同，也正因?yàn)樗鼈兏髯苑?wù)于一種目的

12、，所以中學(xué)教學(xué)課本中的課本中的“習(xí)題習(xí)題”、“練習(xí)練習(xí)”不應(yīng)該從課本中被除去，而應(yīng)該被不應(yīng)該從課本中被除去，而應(yīng)該被保留。保留。然而，解決了這些常規(guī)問(wèn)題后，并不意味著已經(jīng)掌握了然而，解決了這些常規(guī)問(wèn)題后，并不意味著已經(jīng)掌握了“問(wèn)題解問(wèn)題解決決”。 練習(xí)與解決問(wèn)題的特征比較練習(xí)的特征練習(xí)的特征解決問(wèn)題的特征解決問(wèn)題的特征著重尋找答案著重尋找解決問(wèn)題的過(guò)程往往針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或技能點(diǎn),著重對(duì)某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能進(jìn)行練習(xí)著重思考如何將一般知識(shí)和技巧運(yùn)用到新情況中,具有綜合性的特點(diǎn)可以對(duì)某一類習(xí)題反復(fù)演練解決問(wèn)題中的“問(wèn)題”具有新穎性對(duì)思考的要求相對(duì)比較低對(duì)思考的要求相對(duì)比較高（二）好問(wèn)題的“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)” 數(shù)學(xué)教

13、育家倫伯格指出：解決非單純練習(xí)題式的問(wèn)題正是數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)中心論題。 一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)好問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1、應(yīng)該具有較強(qiáng)的探究性、應(yīng)該具有較強(qiáng)的探究性好問(wèn)題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動(dòng)探究意識(shí)，展現(xiàn)思維過(guò)好問(wèn)題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動(dòng)探究意識(shí)，展現(xiàn)思維過(guò)程。程。 如同波利亞所指出的“我們這里所指的問(wèn)題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造精神”。 這里的“探究性（或創(chuàng)造精神）”的要求應(yīng)當(dāng)是與學(xué)生實(shí)際水平相適應(yīng)的，既然我們的數(shù)學(xué)教育是面向大多數(shù)學(xué)生的。 因此，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問(wèn)題，正是數(shù)學(xué)上“普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”，這又并非是“高不可及

14、”的，而是可通過(guò)努力得到解決的。 從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，我們這里說(shuō)的好問(wèn)題并不是指問(wèn)題應(yīng)有較高的難度，這一點(diǎn)與現(xiàn)在數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中所選用的大部份試題是有區(qū)別的。 在競(jìng)賽中，“問(wèn)題解決”在很大程度上所發(fā)揮的只是一種“篩子”的作用，這是與以“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)教育的中心環(huán)節(jié)和根本目標(biāo)有區(qū)分的。 2、應(yīng)該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間、應(yīng)該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間 一個(gè)好問(wèn)題的啟發(fā)性不僅指問(wèn)題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對(duì)于這些問(wèn)題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識(shí)別的模式，或者通過(guò)基本技巧的某種運(yùn)用很快地得到解決。 同時(shí)，“問(wèn)題解決”還能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的掌握，有利于學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)

15、知識(shí)和思想方法，這就與所謂的“偏題”、“怪題”劃清了界線。 一個(gè)好問(wèn)題的可發(fā)展空間是說(shuō)問(wèn)題并不一定在找到解答時(shí)就會(huì)結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對(duì)原問(wèn)題的各部份作種種變化，由此可以引出新的問(wèn)題和進(jìn)一步的結(jié)論。 問(wèn)題的發(fā)展性可以把問(wèn)題延伸、拓廣、擴(kuò)充到一般情形或其他特殊情形，它將給學(xué)生一個(gè)充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。 3、應(yīng)該具有一定的、應(yīng)該具有一定的“開放性開放性” 好問(wèn)題的“開放性”，首先表現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)源的“開放”。問(wèn)題應(yīng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，與現(xiàn)實(shí)社會(huì)、生活實(shí)際有著直接關(guān)系，這種對(duì)社會(huì)、生活的“開放”，能夠使學(xué)生體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值和開展“問(wèn)題解決”的意義。 同時(shí)，問(wèn)題的“開放性”，還包括

16、問(wèn)題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破“每一問(wèn)題都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)解答”和“問(wèn)題中所給的信息都有用”的傳統(tǒng)觀念，這對(duì)于學(xué)生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極為重要的意義。 二、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決（一）對(duì)（一）對(duì)“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”的理解的理解 從國(guó)際上看，對(duì)“問(wèn)題解決”長(zhǎng)期以來(lái)有著不同的理解，因而賦予“問(wèn)題解決”以多種含義，總括起來(lái)有以下六種： 1、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為一種教學(xué)目作為一種教學(xué)目的的 例如美國(guó)的貝格教授認(rèn)為：“教授數(shù)學(xué)的真正教授數(shù)學(xué)的真正理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學(xué)要理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學(xué)要有利于解決各種問(wèn)題有利于解決各種問(wèn)題”，“學(xué)習(xí)怎樣解決問(wèn)

17、題學(xué)習(xí)怎樣解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的”。 E.A.Silver教授也認(rèn)為本世紀(jì)80年代以來(lái)，世界上幾乎所有的國(guó)家都把提高學(xué)生的問(wèn)題解決的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。 當(dāng)“問(wèn)題解決”被認(rèn)為是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目的時(shí)，它就獨(dú)立于特殊的問(wèn)題，獨(dú)立于一般過(guò)程和方法以及數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，此時(shí)，這種觀點(diǎn)將影響到數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)和確定，并對(duì)課堂教學(xué)實(shí)踐有重要的指導(dǎo)作用。2、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為一個(gè)數(shù)學(xué)基本技能作為一個(gè)數(shù)學(xué)基本技能例如美國(guó)教育咨詢委員會(huì)認(rèn)為“問(wèn)題解問(wèn)題解決決”是一種數(shù)學(xué)基本技能，他們對(duì)如何是一種數(shù)學(xué)基本技能，他們對(duì)如何定義和評(píng)價(jià)這項(xiàng)技能進(jìn)行了許多探索和定義和評(píng)價(jià)這項(xiàng)技能進(jìn)行

18、了許多探索和研究。研究。 當(dāng)“問(wèn)題解決”被視為一個(gè)基本技能時(shí)，它遠(yuǎn)非一個(gè)單一的技巧，而是若干個(gè)技巧的一個(gè)整體，需要人們從具體內(nèi)容、問(wèn)題的形式、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法等等綜合考慮。 3、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為一種教學(xué)形式作為一種教學(xué)形式 例如英國(guó)的柯可勞夫特柯可勞夫特等人認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)形式中增加討論、研究問(wèn)題解決和探索等形式，他還指出在英國(guó)，教師們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有把“問(wèn)題解決”的活動(dòng)形式作為教學(xué)的類型。 4、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為一種過(guò)作為一種過(guò)程程 例如21世紀(jì)的數(shù)學(xué)綱要中提出“問(wèn)題解決”是學(xué)生應(yīng)用以前獲得的知識(shí)投入到新或不熟悉的情境中的一個(gè)過(guò)程。 美國(guó)的雷布朗斯認(rèn)為：“

19、個(gè)體已經(jīng)形成的有關(guān)過(guò)程的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)被用來(lái)處理個(gè)體所面臨的問(wèn)題”？此種解釋，可以使一個(gè)人使用原先所掌握的知識(shí)、技巧以及對(duì)問(wèn)題的理解來(lái)適應(yīng)一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段，它著重考慮學(xué)生用以解決問(wèn)題的方法、策略和猜想。 5、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為法則作為法則 例如在國(guó)際教育辭典中指出，“問(wèn)題解決”的特性是用新穎的方法組合兩個(gè)或更多的法則去解決一個(gè)問(wèn)題。 6、把、把“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”作為能力作為能力 例如1982年英國(guó)的Cockcroft report認(rèn)為那種把數(shù)學(xué)用之于各種情況的能力，稱之為“問(wèn)題解決”。 綜合以上各種觀點(diǎn)，雖然對(duì)“問(wèn)題解決”的描述不同，形式不一，但是，它們所強(qiáng)調(diào)的有著共

20、同的東西，即“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”不應(yīng)該僅僅理解為不應(yīng)該僅僅理解為一種具體教學(xué)形式或技能，它應(yīng)貫一種具體教學(xué)形式或技能，它應(yīng)貫穿在整個(gè)教學(xué)教育之中。穿在整個(gè)教學(xué)教育之中。 “問(wèn)題解決”的教學(xué)目的是很明確的，那就是要幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問(wèn)題能力，而且“問(wèn)題解決”的過(guò)程是一個(gè)創(chuàng)造性的活動(dòng)，因而是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一種活動(dòng)？ 以下是從文獻(xiàn)中對(duì)“問(wèn)題解決”的六個(gè)不同的概念：（1） 解決教科書中標(biāo)題文字題，有也叫做練習(xí)題； （2） 解決非常規(guī)的問(wèn)題； （3） 邏輯問(wèn)題和“游戲”； （4） 構(gòu)造性問(wèn)題； （5） 計(jì)算機(jī)模擬題； （6） “現(xiàn)實(shí)生活”情境題。（二）問(wèn)題解決與課標(biāo)（二）問(wèn)題解決與課標(biāo)1.重視問(wèn)題

21、解決是世界性的趨勢(shì)重視問(wèn)題解決是世界性的趨勢(shì)2.問(wèn)題解決問(wèn)題解決1.重視問(wèn)題解決是世界性的趨勢(shì)重視問(wèn)題解決是世界性的趨勢(shì)如在美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中被列為第一個(gè)一如在美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中被列為第一個(gè)一般性目標(biāo)：般性目標(biāo)：?jiǎn)栴}解決問(wèn)題解決交流交流推理推理聯(lián)系聯(lián)系（9 9個(gè)分知識(shí)領(lǐng)域目標(biāo)）個(gè)分知識(shí)領(lǐng)域目標(biāo)）美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中問(wèn)題解決指：美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中問(wèn)題解決指：我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中問(wèn)題解決指：我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中問(wèn)題解決指： 解應(yīng)用題是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)解應(yīng)用題是學(xué)習(xí)的終點(diǎn) 人為編造的痕跡較為明人為編造的痕跡較為明顯，封閉顯，封閉 形式：找類型，記結(jié)語(yǔ)，形式：找類型，記結(jié)語(yǔ)，套公式，形成套公式，形成“條件反條件反

22、射射” “條件條件+題型題型=問(wèn)題答問(wèn)題答案案”，無(wú)需反思無(wú)需反思弗蘭登塔爾的看法弗蘭登塔爾的看法：引自數(shù)學(xué)教育反思一書 先理論后實(shí)踐，先頓悟后操練看似有效，但對(duì)前者的精通先理論后實(shí)踐，先頓悟后操練看似有效，但對(duì)前者的精通并不意味著對(duì)后者也能精通。并不意味著對(duì)后者也能精通。 把文字題的范例在結(jié)構(gòu)上加以修飾，概括出題型，看起來(lái)把文字題的范例在結(jié)構(gòu)上加以修飾，概括出題型，看起來(lái)好像很有用，但不會(huì)成功，因?yàn)檫@些假的題型絲毫無(wú)助于好像很有用，但不會(huì)成功，因?yàn)檫@些假的題型絲毫無(wú)助于解決由文字?jǐn)⑹龅哪切?shí)際問(wèn)題。解決由文字?jǐn)⑹龅哪切?shí)際問(wèn)題。 讓學(xué)生再創(chuàng)造越早越好，一旦學(xué)生已經(jīng)被灌輸了現(xiàn)成的模讓學(xué)生再創(chuàng)造

23、越早越好，一旦學(xué)生已經(jīng)被灌輸了現(xiàn)成的模式和題型就太晚了。式和題型就太晚了。 應(yīng)用是不能從教應(yīng)用中學(xué)會(huì)的，數(shù)學(xué)在自然界和社會(huì)中的應(yīng)用是不能從教應(yīng)用中學(xué)會(huì)的，數(shù)學(xué)在自然界和社會(huì)中的一些應(yīng)用不能只由教科書的作者或教師示范說(shuō)明，而應(yīng)該一些應(yīng)用不能只由教科書的作者或教師示范說(shuō)明，而應(yīng)該留給學(xué)生去再發(fā)現(xiàn)。留給學(xué)生去再發(fā)現(xiàn)。（三）（三）1.改革方向的基本載體改革方向的基本載體有助于培養(yǎng)終生學(xué)習(xí)的愿望和能力有助于培養(yǎng)終生學(xué)習(xí)的愿望和能力有助于收獲創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力有助于收獲創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力2. 課程目標(biāo)的基本示范課程目標(biāo)的基本示范體現(xiàn)出從教育和社會(huì)的角度看作為教育內(nèi)容的體現(xiàn)出從教育和社會(huì)的角度看作為教育內(nèi)容

24、的數(shù)學(xué)更重要，而這是學(xué)校數(shù)學(xué)必須承載的社會(huì)數(shù)學(xué)更重要，而這是學(xué)校數(shù)學(xué)必須承載的社會(huì)責(zé)任。責(zé)任。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不是一個(gè)已經(jīng)終結(jié)的封閉學(xué)科體系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不是一個(gè)已經(jīng)終結(jié)的封閉學(xué)科體系，而是一個(gè)被漸漸知曉的過(guò)程，是一個(gè)持續(xù)的人而是一個(gè)被漸漸知曉的過(guò)程，是一個(gè)持續(xù)的人類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的探索領(lǐng)域。類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的探索領(lǐng)域。明確了學(xué)校數(shù)學(xué)的面貌：明確了學(xué)校數(shù)學(xué)的面貌： 明確了學(xué)校數(shù)學(xué)的面貌：明確了學(xué)校數(shù)學(xué)的面貌： 把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作為支撐和激勵(lì)學(xué)習(xí)的源泉把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作為支撐和激勵(lì)學(xué)習(xí)的源泉 把數(shù)學(xué)的把數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)”作為常態(tài)目標(biāo)作為常態(tài)目標(biāo) 著眼于解決問(wèn)題的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用屬著眼于解決問(wèn)題的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用屬于

25、他們自己的經(jīng)驗(yàn)和策略于他們自己的經(jīng)驗(yàn)和策略 著眼于多樣化、多途徑的解決問(wèn)題策略，著眼于多樣化、多途徑的解決問(wèn)題策略，而不是強(qiáng)行用單一的途徑去規(guī)范。而不是強(qiáng)行用單一的途徑去規(guī)范。 提供在廣泛的背景之下理解、認(rèn)識(shí)和發(fā)展提供在廣泛的背景之下理解、認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象符號(hào)與具體方法的機(jī)會(huì)數(shù)學(xué)抽象符號(hào)與具體方法的機(jī)會(huì)3.教學(xué)形態(tài)的基本要求教學(xué)形態(tài)的基本要求從豐富的的問(wèn)題情境開始，把重要數(shù)學(xué)原理預(yù)設(shè)好，從豐富的的問(wèn)題情境開始，把重要數(shù)學(xué)原理預(yù)設(shè)好，用開放性的問(wèn)題拓展學(xué)生的思維，鼓勵(lì)解決問(wèn)題的多用開放性的問(wèn)題拓展學(xué)生的思維，鼓勵(lì)解決問(wèn)題的多種途徑。種途徑。安排內(nèi)容豐富、前后關(guān)聯(lián)的活動(dòng)，要同時(shí)涉及不同的安排內(nèi)容

26、豐富、前后關(guān)聯(lián)的活動(dòng)，要同時(shí)涉及不同的知識(shí)區(qū)域，在學(xué)生通過(guò)情境中設(shè)置的問(wèn)題達(dá)到充分理知識(shí)區(qū)域，在學(xué)生通過(guò)情境中設(shè)置的問(wèn)題達(dá)到充分理解后，再逐步形式化。解后，再逐步形式化。既要有傳統(tǒng)的內(nèi)容，也要包括新的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)內(nèi)容之既要有傳統(tǒng)的內(nèi)容，也要包括新的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)內(nèi)容之間的聯(lián)系。間的聯(lián)系。從把數(shù)學(xué)僅僅看成是供記憶復(fù)制的一套程序向數(shù)學(xué)思從把數(shù)學(xué)僅僅看成是供記憶復(fù)制的一套程序向數(shù)學(xué)思考轉(zhuǎn)變?？嫁D(zhuǎn)變。從強(qiáng)調(diào)機(jī)械操練到強(qiáng)調(diào)猜想、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題。從強(qiáng)調(diào)機(jī)械操練到強(qiáng)調(diào)猜想、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題。從把數(shù)學(xué)看成一個(gè)孤立的概念和程序的結(jié)合體到把數(shù)從把數(shù)學(xué)看成一個(gè)孤立的概念和程序的結(jié)合體到把數(shù)學(xué)看成一個(gè)思想和應(yīng)用相互交織的整體

27、。學(xué)看成一個(gè)思想和應(yīng)用相互交織的整體。 在“問(wèn)題解決”中，相當(dāng)一部份是實(shí)際生活中例子。從構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法，再到檢驗(yàn)與回顧等整個(gè)過(guò)程要由學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去設(shè)計(jì)、去創(chuàng)新、去完成，這是“問(wèn)題解決”與創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之所在。 數(shù)學(xué)教師應(yīng)創(chuàng)造更有利于問(wèn)題解決的條件，在為所有年級(jí)編制出好的問(wèn)題并傳授解決問(wèn)題的技能、技巧的同時(shí)，盡力為學(xué)生的創(chuàng)造性思維提供良好的課堂環(huán)境與機(jī)會(huì)、乃至服務(wù)。 （四）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的心理分析（四）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的心理分析1、從學(xué)習(xí)心理學(xué)看、從學(xué)習(xí)心理學(xué)看“問(wèn)題解決問(wèn)題解決” 從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度來(lái)看，問(wèn)題解決一般理解為一種認(rèn)知操作過(guò)程或心理活動(dòng)過(guò)程。 所謂所謂“問(wèn)題解決問(wèn)題解

28、決”指的是一系列有目的指向認(rèn)知指的是一系列有目的指向認(rèn)知操作過(guò)程，是以思考為內(nèi)涵、以問(wèn)題為目標(biāo)定向操作過(guò)程，是以思考為內(nèi)涵、以問(wèn)題為目標(biāo)定向的心理活動(dòng)過(guò)程。的心理活動(dòng)過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，問(wèn)題解決是指人們面臨新的問(wèn)題情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己缺少現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理問(wèn)題辦法的一種心理活動(dòng)過(guò)程。 問(wèn)題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級(jí)心理活動(dòng)，問(wèn)題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級(jí)心理活動(dòng)，其核心是思考與探索。其核心是思考與探索。 認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問(wèn)題解決有兩種基本類型：認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問(wèn)題解決有兩種基本類型： 一是需要產(chǎn)生新的程序的問(wèn)題解決，屬于創(chuàng)造一是需要產(chǎn)生新的程序的問(wèn)題解決，屬于

29、創(chuàng)造性問(wèn)題解決；性問(wèn)題解決； 一是運(yùn)用已知或現(xiàn)成程序的問(wèn)題解決，是常規(guī)一是運(yùn)用已知或現(xiàn)成程序的問(wèn)題解決，是常規(guī)性問(wèn)題解決。性問(wèn)題解決。 數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決一般屬于創(chuàng)造性問(wèn)題解決，數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決一般屬于創(chuàng)造性問(wèn)題解決，不僅需要構(gòu)建適當(dāng)?shù)某绦蜻_(dá)到問(wèn)題的目標(biāo)，而不僅需要構(gòu)建適當(dāng)?shù)某绦蜻_(dá)到問(wèn)題的目標(biāo)，而且更側(cè)重于探索達(dá)到目標(biāo)的過(guò)程。且更側(cè)重于探索達(dá)到目標(biāo)的過(guò)程。 問(wèn)題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟問(wèn)題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟式。式。試誤式試誤式是對(duì)頭腦中出現(xiàn)的解決問(wèn)題的各種途徑進(jìn)是對(duì)頭腦中出現(xiàn)的解決問(wèn)題的各種途徑進(jìn)行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的合理途徑。行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解

30、決的合理途徑。頓悟式頓悟式是在長(zhǎng)期不懈地思考而又不得其解時(shí)，受是在長(zhǎng)期不懈地思考而又不得其解時(shí)，受某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和途徑或方式。對(duì)中學(xué)生而言，這兩種探索形式都途徑或方式。對(duì)中學(xué)生而言，這兩種探索形式都是問(wèn)題解決不可缺少策略。是問(wèn)題解決不可缺少策略。 三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知分析三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知分析 現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)探究表明，問(wèn)題分為三種狀態(tài)，即初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目的狀態(tài)。問(wèn)題解決就是從問(wèn)題的初始狀態(tài)開始，尋求適當(dāng)?shù)耐緩胶头椒ㄟ_(dá)到目的狀態(tài)的過(guò)程。因此，問(wèn)題解決實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)思考探索新情境中問(wèn)題結(jié)果和達(dá)到問(wèn)題的

31、目的狀態(tài)的過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是在一定的問(wèn)題情境中開始。 （一）奧蘇貝爾的問(wèn)題解決模式（一）奧蘇貝爾的問(wèn)題解決模式 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問(wèn)題解決是一種現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問(wèn)題解決是一種以目標(biāo)為定向的搜尋問(wèn)題空間的認(rèn)知過(guò)程。以目標(biāo)為定向的搜尋問(wèn)題空間的認(rèn)知過(guò)程。奧蘇貝爾等人以幾何問(wèn)題的解決為原型，奧蘇貝爾等人以幾何問(wèn)題的解決為原型，提出了一個(gè)問(wèn)題解決模式提出了一個(gè)問(wèn)題解決模式 已知條件已知條件明確問(wèn)題目標(biāo)與已知條件明確問(wèn)題目標(biāo)與已知條件目標(biāo)目標(biāo)背景命題背景命題推理規(guī)則推理規(guī)則空隙空隙策略策略呈現(xiàn)問(wèn)題情境命題呈現(xiàn)問(wèn)題情境命題操作操作指導(dǎo)指導(dǎo)縮小縮小縮小縮小填 補(bǔ)填 補(bǔ)空 隙空 隙過(guò)程過(guò)

32、程 根據(jù)奧蘇貝爾的模式，問(wèn)題解根據(jù)奧蘇貝爾的模式，問(wèn)題解決經(jīng)歷了四個(gè)階段：決經(jīng)歷了四個(gè)階段： 1 1、呈現(xiàn)問(wèn)題情境命題、呈現(xiàn)問(wèn)題情境命題 奧蘇貝爾認(rèn)為問(wèn)題是由有意義奧蘇貝爾認(rèn)為問(wèn)題是由有意義的言語(yǔ)命題構(gòu)成的，其中包含了目的言語(yǔ)命題構(gòu)成的，其中包含了目標(biāo)和已知條件。標(biāo)和已知條件。2 2、明確問(wèn)題目標(biāo)和已知條件、明確問(wèn)題目標(biāo)和已知條件 學(xué)生將問(wèn)題情境與自己的認(rèn)知學(xué)生將問(wèn)題情境與自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，從而理解所面臨結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，從而理解所面臨問(wèn)題的性質(zhì)與條件。這樣既明確問(wèn)題的性質(zhì)與條件。這樣既明確了問(wèn)題的初始狀態(tài)，又明確了解了問(wèn)題的初始狀態(tài)，又明確了解題的目標(biāo)。題的目標(biāo)。 3 3、填補(bǔ)空隙過(guò)程、填

33、補(bǔ)空隙過(guò)程 學(xué)生在找出已知條件和目標(biāo)之學(xué)生在找出已知條件和目標(biāo)之間的空隙和差距之后，便利用背間的空隙和差距之后，便利用背景命題，根據(jù)一定的推理規(guī)則和景命題，根據(jù)一定的推理規(guī)則和解題策略填補(bǔ)問(wèn)題的固有空隙。解題策略填補(bǔ)問(wèn)題的固有空隙。 4 4、解答之后的檢驗(yàn)、解答之后的檢驗(yàn) 問(wèn)題一旦得到解決，通常便會(huì)問(wèn)題一旦得到解決，通常便會(huì)出現(xiàn)一定形式的檢驗(yàn)：查明推理出現(xiàn)一定形式的檢驗(yàn)：查明推理時(shí)有無(wú)錯(cuò)誤，空隙填補(bǔ)的途徑是時(shí)有無(wú)錯(cuò)誤，空隙填補(bǔ)的途徑是否最簡(jiǎn)，問(wèn)題是否可以進(jìn)一步推否最簡(jiǎn)，問(wèn)題是否可以進(jìn)一步推廣、拓展，等等。廣、拓展，等等。設(shè)設(shè) ，式中變量，式中變量 、y y滿足下列條，滿足下列條，求求z z的最

34、大值和最小值。的最大值和最小值。xyz x1255334xyxyx第一，明確問(wèn)題目標(biāo)和已知條件第一，明確問(wèn)題目標(biāo)和已知條件 首先學(xué)生一看到這個(gè)題就能首先學(xué)生一看到這個(gè)題就能判斷出這是一道線性規(guī)劃的題。判斷出這是一道線性規(guī)劃的題。并知道什么是已知條件，什么是并知道什么是已知條件，什么是要求的要求的第二，填補(bǔ)空隙第二，填補(bǔ)空隙 再仔細(xì)觀察此題的難點(diǎn)是目標(biāo)再仔細(xì)觀察此題的難點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)不是熟悉的形式。這道題應(yīng)該函數(shù)不是熟悉的形式。這道題應(yīng)該怎么做呢？怎么做呢？ 回憶老師講線性規(guī)劃時(shí)一直強(qiáng)回憶老師講線性規(guī)劃時(shí)一直強(qiáng)調(diào)的一定要明確目標(biāo)函數(shù)的意義。調(diào)的一定要明確目標(biāo)函數(shù)的意義。聯(lián)想以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，就發(fā)現(xiàn)目

35、標(biāo)聯(lián)想以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，就發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)跟兩點(diǎn)函數(shù)跟兩點(diǎn) （ ），（），（ ）所在）所在直線的斜率直線的斜率 很像。很像。1p11, yx2p22, yx1212xxyyk 一比較發(fā)現(xiàn)一比較發(fā)現(xiàn) 表示是點(diǎn)表示是點(diǎn)（x,yx,y）和點(diǎn)（）和點(diǎn)（0 0，0 0）所在直線）所在直線的斜率。那么點(diǎn)（的斜率。那么點(diǎn)（x,yx,y）表示的）表示的是什么呢，表示的是可行域上是什么呢，表示的是可行域上的點(diǎn)。分析到這里此題也就解的點(diǎn)。分析到這里此題也就解決了。決了。xyz xy第三，解答之后的檢驗(yàn)第三，解答之后的檢驗(yàn)“這個(gè)問(wèn)題是否可以推廣呢這個(gè)問(wèn)題是否可以推廣呢”。實(shí)。實(shí)際上，這道題的方法是可以推廣的。際上，這道題

36、的方法是可以推廣的。比如當(dāng)以后我們看到形如比如當(dāng)以后我們看到形如這樣的目標(biāo)函數(shù)時(shí)我們也知道怎么這樣的目標(biāo)函數(shù)時(shí)我們也知道怎么做了。因?yàn)檫@個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示的是做了。因?yàn)檫@個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示的是圓的半徑，圓心在原點(diǎn)圓的半徑，圓心在原點(diǎn)22yxz （二）波利亞（二）波利亞（G.PolyaG.Polya）的）的解題框架解題框架 在在怎樣解題怎樣解題這部不朽名這部不朽名著中，波利亞對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程著中，波利亞對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程進(jìn)行了深刻的剖析和探索，將進(jìn)行了深刻的剖析和探索，將問(wèn)題解決過(guò)程編制成一張問(wèn)題解決過(guò)程編制成一張“怎怎樣解題樣解題”表，其核心思想是啟表，其核心思想是啟發(fā)法發(fā)法在在“怎樣解題怎樣解題”表中，波

37、利亞將問(wèn)表中，波利亞將問(wèn)題解決過(guò)程分為四個(gè)階段：題解決過(guò)程分為四個(gè)階段： 弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題 7第一，第一，你必你必須弄須弄清問(wèn)清問(wèn)題題未知是什么未知是什么? ?已知是什么已知是什么? ?條件是什條件是什么么? ?滿足條件是否可能滿足條件是否可能? ?要確定未知，要確定未知，條件是否充分條件是否充分? ?或者它是否不充分或者它是否不充分? ?或或者是多余的者是多余的? ?或者是矛盾的或者是矛盾的? ?畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)把條件的各個(gè)部分分開你能否把條件的各個(gè)部分分開你能否把它們寫下來(lái)把它們寫下來(lái)? ?擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃 第二，找第二，找出已知數(shù)出已知數(shù)與未知數(shù)與未知數(shù)之間的

38、聯(lián)之間的聯(lián)系如果系如果找不出直找不出直接的聯(lián)系，接的聯(lián)系，你可能不你可能不得不考慮得不考慮輔助問(wèn)輔助問(wèn)題題 你應(yīng)你應(yīng)該最終得該最終得出一個(gè)求出一個(gè)求解的計(jì)劃解的計(jì)劃你以前見過(guò)它嗎你以前見過(guò)它嗎? ?你是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同你是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同? ? 你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題? ?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理你是否知道一個(gè)可能用得上的定理? ? 看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題題 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已

39、解決的問(wèn)題 你能不能利用它你能不能利用它? ?你能利用它的結(jié)果嗎你能利用它的結(jié)果嗎? ?你能利用它的方法嗎你能利用它的方法嗎? ?為了能利為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素? ? 你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題? ?你能不能用不同的方法重新敘述它你能不能用不同的方法重新敘述它? ? 回到定義去回到定義去 如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題你能如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題? ?一個(gè)更普遍的問(wèn)題一個(gè)更普遍的問(wèn)題? ?一個(gè)更特殊的問(wèn)

40、一個(gè)更特殊的問(wèn)題題? ?一個(gè)類比的問(wèn)題一個(gè)類比的問(wèn)題? ?你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分? ?僅僅保持條件的一部?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度分而舍去其余部分這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度? ?它會(huì)怎樣變化它會(huì)怎樣變化? ?你你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西? ?你能不能想出適合于確定未知數(shù)你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)的其他數(shù)據(jù)? ?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近變，以使新未知數(shù)和新數(shù)

41、據(jù)彼此更接近? ? 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)? ?你是否利用了整個(gè)條件你是否利用了整個(gè)條件? ?你是否考慮了包你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念含在問(wèn)題中的必要的概念? ?實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 第三，實(shí)第三，實(shí)行你的計(jì)行你的計(jì)劃劃 實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟步驟 你能否清楚地看出這一步驟是你能否清楚地看出這一步驟是正確的正確的? ?你能否證明這一步驟是正你能否證明這一步驟是正確的確的? ?回回顧顧 第四，第四，驗(yàn)算所驗(yàn)算所得到的得到的解解 你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證? ?你能你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?

42、 ?你能不能一下子看出它來(lái)你能不能一下子看出它來(lái)? ?你能不能把這一結(jié)果或方你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題法用于其他的問(wèn)題? ? （三）問(wèn)題解決模式（三）問(wèn)題解決模式 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決就是解題者在自己的長(zhǎng)時(shí)記憶中提取解題圖式用于新的問(wèn)題情境的過(guò)程。解題圖式包括個(gè)體已有的與新問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略和解題經(jīng)驗(yàn)。解題的認(rèn)知過(guò)程是在元認(rèn)知調(diào)控下，解題者對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別，然后將解題圖式提取、遷移，進(jìn)而達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的信息加工行為。 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題分為4個(gè)階段:理解問(wèn)題、選擇算子、理解問(wèn)題、選擇算子、應(yīng)用算子、結(jié)果評(píng)價(jià)應(yīng)用算子、結(jié)果評(píng)價(jià)。與此對(duì)應(yīng)，其認(rèn)知過(guò)程分別為:問(wèn)題表征、模式識(shí)

43、別、解題遷移、解題監(jiān)控問(wèn)題表征、模式識(shí)別、解題遷移、解題監(jiān)控。 問(wèn)題表征。問(wèn)題表征指形成問(wèn)題空間，包括明確問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)及允許的操作。問(wèn)題表征分為問(wèn)題的字面理解和問(wèn)題的深層理解兩個(gè)層面。問(wèn)題的字面理解，指解題者逐字逐句讀懂描述問(wèn)題的問(wèn)題的字面理解，指解題者逐字逐句讀懂描述問(wèn)題的每一個(gè)句子，能用自己的話重新表述問(wèn)題，把問(wèn)題中每一個(gè)句子，能用自己的話重新表述問(wèn)題，把問(wèn)題中的陳述轉(zhuǎn)換成解題者內(nèi)部的心理表征。的陳述轉(zhuǎn)換成解題者內(nèi)部的心理表征。問(wèn)題的深層理解指在問(wèn)題表層理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步問(wèn)題的深層理解指在問(wèn)題表層理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步把問(wèn)題的每一陳述綜合成條件、目標(biāo)統(tǒng)一的心理表征。把問(wèn)題的每一

44、陳述綜合成條件、目標(biāo)統(tǒng)一的心理表征。問(wèn)題的深層理解又包括兩個(gè)方面:識(shí)別問(wèn)題類型，以及區(qū)分問(wèn)題中的有關(guān)信息與無(wú)關(guān)信息。 模式識(shí)別。數(shù)學(xué)模式是指形式化地采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種基本概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種定理、法則、公式、算法、命題和方法等，都是數(shù)學(xué)模式。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，具有共同結(jié)構(gòu)的一類問(wèn)題或具有相同解法的一類問(wèn)題也稱為一種模式。所謂模式識(shí)別，指當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，能將所謂模式識(shí)別，指當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，能將該問(wèn)題歸類，使得與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式該問(wèn)題歸類，使得與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配的過(guò)程。相匹配

45、的過(guò)程。 解題遷移。解題是學(xué)習(xí)的基本方式之一。先前的解題學(xué)習(xí)對(duì)后繼的解題學(xué)習(xí)的影響即為解題遷移(problemsolvingtransfer)。解題遷移包括知識(shí)、解題記解題遷移包括知識(shí)、解題記憶、解題方法及解題技能的遷移。實(shí)現(xiàn)遷移的前提是憶、解題方法及解題技能的遷移。實(shí)現(xiàn)遷移的前提是有正確的模式識(shí)別。有正確的模式識(shí)別。 解題監(jiān)控。解題監(jiān)控指解題者為了達(dá)到解解題監(jiān)控指解題者為了達(dá)到解題目標(biāo)，在解題過(guò)程中對(duì)解題活動(dòng)作為意題目標(biāo)，在解題過(guò)程中對(duì)解題活動(dòng)作為意識(shí)對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行積極主動(dòng)地計(jì)劃、監(jiān)視、識(shí)對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行積極主動(dòng)地計(jì)劃、監(jiān)視、調(diào)節(jié)和控制的過(guò)程。調(diào)節(jié)和控制的過(guò)程。 解題監(jiān)控屬于元認(rèn)知范疇。 知識(shí)

46、基礎(chǔ)與解題策略。知識(shí)基礎(chǔ)指解題者內(nèi)化的各種數(shù)學(xué)模式。解題策略指為了有效地達(dá)到解題目標(biāo)，解題者采用的解題思路或方針。 在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的第1階段，即理解問(wèn)題階段，解題者要將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，從表層和深層去理解題意，用自己的內(nèi)部語(yǔ)言陳述問(wèn)題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，區(qū)分問(wèn)題中的有關(guān)信息和無(wú)關(guān)信息，并初步識(shí)別問(wèn)題的類型。在這一階段，需要知識(shí)基礎(chǔ)作為支持，同時(shí)受元認(rèn)知監(jiān)控的作用。 在第2階段，解題者在解題監(jiān)控作用下，擬定解題方案，將外部信息與長(zhǎng)時(shí)記憶中的模式作比較，進(jìn)行對(duì)外部模式的識(shí)別和外部與內(nèi)部模式的匹配，此時(shí)，解題者需要知識(shí)基礎(chǔ)與解題策略作為支持。 在應(yīng)用算子的第3階段，解題者需要調(diào)動(dòng)與外部信息相

47、匹配的模式，這是一個(gè)模式的遷移過(guò)程。為了解決當(dāng)前問(wèn)題，有時(shí)可能會(huì)用到多種模式，或是多種模式的組合，甚至還可能改造原來(lái)的模式以適應(yīng)解題的需要。顯然，在這一階段，認(rèn)知過(guò)程受到知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略和解題監(jiān)控的交互作用。 在問(wèn)題解決的第4階段，解題者要對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行評(píng)判和檢驗(yàn)，同時(shí)反思解題過(guò)程，對(duì)解題的思路、方法和效果進(jìn)行評(píng)判，此時(shí)主要受解題監(jiān)控的作用。 上述4個(gè)解題階段，都需要以工作記憶作為中介，即外部信息的內(nèi)化與內(nèi)部(長(zhǎng)時(shí)記憶)信息的提取，兩者都需要在工作記憶中加工。 概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)記為CPFS結(jié)構(gòu)。CPFS結(jié)構(gòu)的涵義是:個(gè)體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。各知識(shí)點(diǎn)(概念、命題

48、).在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識(shí)點(diǎn)之間具有等值抽象關(guān)系、或強(qiáng)抽象關(guān)系、或弱抽象關(guān)系、或廣義抽象關(guān)系。正是由于網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)之間具有某種抽象關(guān)系，而這些抽象關(guān)系本身就蘊(yùn)含著思維方法，因而網(wǎng)絡(luò)中各知識(shí)點(diǎn)之間的連結(jié)包含著數(shù)學(xué)方法，即“連線集”為一個(gè)“方法系統(tǒng)”。CPFS結(jié)構(gòu)的涵義 教學(xué)實(shí)踐中，往往會(huì)產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象:在概念學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一個(gè)概念之后，在具體應(yīng)用這個(gè)概念時(shí)會(huì)出現(xiàn)類型各異的錯(cuò)誤，或者是沒(méi)有把握概念的內(nèi)涵，無(wú)法辨認(rèn)概念的反例，或者是不能理解概念的變式。在命題學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一個(gè)命題，特別是學(xué)習(xí)了一組命題之后，往往不會(huì)靈活應(yīng)用這些命題。產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因是多方面的，但我們認(rèn)為，個(gè)體的

49、CPFS結(jié)構(gòu)是一個(gè)主要因素。 不能從多角度、多背景下去深入理解概念，沒(méi)有在頭腦中形成概念體系，那么一旦換一個(gè)側(cè)面去闡述同一個(gè)概念，學(xué)生就會(huì)不知所云。對(duì)于命題學(xué)習(xí)也是同樣情形，如果學(xué)生沒(méi)有形成完善的命題域和命題系，那么在解決問(wèn)題時(shí)，他們就不能及時(shí)、有效地在命題域或命題系中調(diào)用適當(dāng)?shù)哪Ｊ?，從而使欲解決的問(wèn)題難度加大，或者無(wú)法解決問(wèn)題。事實(shí)上，在一組等價(jià)命題中選出某些命題去解決不同的問(wèn)題，理論上說(shuō)是等價(jià)的，但解題的難度卻大相徑庭。 (l)個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)，它對(duì)解題效果有直接的影響。 (2)個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)存在個(gè)別差異，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必要條件，它能促進(jìn)

50、問(wèn)題的成功解決，反之，不良的CPFS結(jié)構(gòu)會(huì)阻礙問(wèn)題的成功解決。 (3)與不良的CPFS結(jié)構(gòu)相比較，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)在知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量上更豐富，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)更合理。 (4)具有高數(shù)學(xué)能力的學(xué)生必具備優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)，低數(shù)學(xué)能力的學(xué)生具有不良的CPFS結(jié)構(gòu)。 (5)促進(jìn)個(gè)體不良CPFS結(jié)構(gòu)向優(yōu)良CP陣結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的CPFS結(jié)構(gòu)理論基礎(chǔ)四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)策略四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)策略（一）問(wèn)題解決教學(xué)的策略分析（一）問(wèn)題解決教學(xué)的策略分析 “問(wèn)題解決教學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)”是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為中心，在教是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為中心，在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考和交流討論等師

51、的引導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考和交流討論等形式，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解、發(fā)展與延伸、遷形式，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解、發(fā)展與延伸、遷移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生處理信息、獲取新移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生處理信息、獲取新知、應(yīng)用新知的能力、積極探索的科學(xué)精神、知、應(yīng)用新知的能力、積極探索的科學(xué)精神、團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力。團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力。1、“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”是數(shù)學(xué)教育的核心是數(shù)學(xué)教育的核心 在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)“好”的問(wèn)題是極其重要的。在每節(jié)課中，問(wèn)題要努力做到：包含明顯的數(shù)學(xué)概念或技巧；能推廣或擴(kuò)充到數(shù)學(xué)各單元知識(shí)和各種情形；有著多種解決方法。2、怎樣進(jìn)行問(wèn)題解決教學(xué)？、怎樣進(jìn)行問(wèn)題解決教學(xué)？ 給學(xué)生提供一種輕松愉快的氣

52、氛和生動(dòng)活潑的環(huán)境； 從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出問(wèn)題，引起學(xué)生對(duì)結(jié)論的迫切追求的愿望，將學(xué)生置于一種主動(dòng)參與的位置； 大膽鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用直覺(jué)去尋求解題策略，必要時(shí)給一些提示； 討論各種成功的解決，歸納出問(wèn)題解決的核心。如果可能的話和以前的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推廣，概括出一般原理。3、“問(wèn)題解決問(wèn)題解決”的心理機(jī)制的心理機(jī)制 在從已知狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的問(wèn)題過(guò)程中，要進(jìn)行一系列心理操作，課堂教學(xué)中要努力地解決： 領(lǐng)會(huì)與同化。領(lǐng)會(huì)與同化。學(xué)生要用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換命題，并整體地將問(wèn)題吸入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去； 尋求策略與驗(yàn)證。尋求策略與驗(yàn)證。思維有躍向結(jié)論的傾向，分析解題的過(guò)程有助于學(xué)生尋求策略技能的提高，

53、各種解題策略的比較與驗(yàn)證更可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性與批判精神。4、在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，策略的產(chǎn)生和、在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，策略的產(chǎn)生和執(zhí)行，首先取決于概念是否清楚。執(zhí)行，首先取決于概念是否清楚。 理解是第一位的，沒(méi)有理解的訓(xùn)練是毫無(wú)價(jià)值和理解是第一位的，沒(méi)有理解的訓(xùn)練是毫無(wú)價(jià)值和意義的。意義的。 當(dāng)然對(duì)概念的理解也是動(dòng)態(tài)的，當(dāng)學(xué)生對(duì)二次函當(dāng)然對(duì)概念的理解也是動(dòng)態(tài)的，當(dāng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像、最值有了初步的正確的數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像、最值有了初步的正確的理解以后，在具體的應(yīng)用中，不但鞏固了原有的理解以后，在具體的應(yīng)用中，不但鞏固了原有的理解，并且還會(huì)達(dá)到新的高度，深度的理解。理解，并且還

54、會(huì)達(dá)到新的高度，深度的理解。5、能否在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，迸發(fā)出燦爛、能否在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，迸發(fā)出燦爛的思維火花，學(xué)生的智力基礎(chǔ)，認(rèn)知方式的思維火花，學(xué)生的智力基礎(chǔ)，認(rèn)知方式是及其重要的，原有數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)也很重是及其重要的，原有數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)也很重要。要。 但是教學(xué)設(shè)計(jì)也是至關(guān)重要的：精選“好的”問(wèn)題，鋪設(shè)合適的坡度，營(yíng)造良好的氛圍。 這需要教師的精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，在“好的”問(wèn)題合適的坡度和良好的氛圍創(chuàng)設(shè)過(guò)程中，把握“量”的度、“強(qiáng)”、“難”的度。 6、理解和技能如何進(jìn)行定量把握：要考察學(xué)生、理解和技能如何進(jìn)行定量把握：要考察學(xué)生的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)和認(rèn)知方式等。的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)和認(rèn)知方式等。

55、 依據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)中學(xué)的階段的依據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)中學(xué)的階段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作定量分析，是完全可行的。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作定量分析，是完全可行的。 同時(shí)對(duì)學(xué)生理解和技能的要求也有一個(gè)梯度，同時(shí)對(duì)學(xué)生理解和技能的要求也有一個(gè)梯度，不能不同的學(xué)生，卻要達(dá)到同一的標(biāo)準(zhǔn)。不能不同的學(xué)生，卻要達(dá)到同一的標(biāo)準(zhǔn)。 7、運(yùn)算能力，邏輯思維能力，空間想象、運(yùn)算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，以及學(xué)能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，以及學(xué)生的智力和認(rèn)知特點(diǎn)等構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)生的智力和認(rèn)知特點(diǎn)等構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。學(xué)素質(zhì)。 把數(shù)學(xué)的概念教學(xué)、問(wèn)題解決教學(xué)的立足點(diǎn)放把數(shù)學(xué)的概念教學(xué)、問(wèn)題解決

56、教學(xué)的立足點(diǎn)放在提高學(xué)生素質(zhì)上，這是今天數(shù)學(xué)教學(xué)的方向，在提高學(xué)生素質(zhì)上，這是今天數(shù)學(xué)教學(xué)的方向，是完全可以做到的。是完全可以做到的。 （二）問(wèn)題解決教學(xué)的一般策略 1、重視、重視通性通法教學(xué)通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法 數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問(wèn)題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思

57、想與方法，書本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自己的能力。 每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1 1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率的分類等；的分類等；（2 2）同解變形中需要分類的，如含參問(wèn)題中對(duì)）同解變形中需要分類的，如含參問(wèn)題中對(duì)參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。 又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問(wèn)題常用配方又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問(wèn)題常用配方法，含參問(wèn)題常用待定系數(shù)法等。法，含

58、參問(wèn)題常用待定系數(shù)法等。 因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一種化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一種“思想思想”或或“方方法法”的個(gè)性，即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于的個(gè)性，即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于解決什么樣的問(wèn)題有效。從而培養(yǎng)和提高學(xué)生解決什么樣的問(wèn)題有效。從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問(wèn)題的能力。問(wèn)題的能力。2、加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別、加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力能力 高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)高考是注重能力的考試，特別是學(xué)

59、生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，更是知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，更是考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。方面的能力。 數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。 由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問(wèn)題，命題由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問(wèn)題，命題者對(duì)生產(chǎn)、生活中的原始問(wèn)題的設(shè)計(jì)加工使每者對(duì)生產(chǎn)、生活中的原始問(wèn)題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型。個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型。 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)

60、中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題。實(shí)際問(wèn)題。3、適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)、適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面生的知識(shí)面 要分析和解決問(wèn)題，必先理解題意，才能進(jìn)一步要分析和解決問(wèn)題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題。 近年來(lái)，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)近年來(lái)，隨著新技術(shù)革命的