數(shù)學問題解決及教學（培訓）

1、專題四、數(shù)學問題解決及教學一、數(shù)學問題二、數(shù)學問題解決三、數(shù)學問題解決的認知分析四、數(shù)學問題解決的教學策略五、案例 標準中“解決問題”的總體目標是：初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數(shù)學的意識，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神。這就表明，“解決問題”的實質是培養(yǎng)學生學會“數(shù)學地思維”、具有初步的實踐能力和創(chuàng)新精神。這與“解決問題就是強調各種解題技巧的運用”是大不相同的。例1：美國情景數(shù)學七年級（相當于我國的五或六年級）統(tǒng)計系列的一個單元：統(tǒng)計與環(huán)境統(tǒng)計與環(huán)境簡介：該單元從解決一個海島的旅游開發(fā)和環(huán)境保簡介：該單元從解決一個海島的旅游開發(fā)和環(huán)境

2、保護問題開始，探討與數(shù)據分析有關的數(shù)學內容。護問題開始，探討與數(shù)據分析有關的數(shù)學內容。包括抽樣、收集數(shù)據、問卷調查以及如何表示數(shù)包括抽樣、收集數(shù)據、問卷調查以及如何表示數(shù)據和如何運用這些數(shù)據合理的做出決策，對所做據和如何運用這些數(shù)據合理的做出決策，對所做的決策的前景作出評估，對該海島的旅游開發(fā)前的決策的前景作出評估，對該海島的旅游開發(fā)前景和環(huán)境受影響的情況做出直觀和量化的說明。景和環(huán)境受影響的情況做出直觀和量化的說明。內容：內容：1.概述概述 Murre島簡介島簡介氣候氣候蝙蝠蝙蝠俯視圖、等高線俯視圖、等高線闡述如何保護與開發(fā)闡述如何保護與開發(fā)搜集信息搜集信息2.島上森林的危機島上森林的危機島

3、上森林島上森林古樹名木保護古樹名木保護3.解釋信息解釋信息用數(shù)據說話用數(shù)據說話度假活動中的數(shù)據度假活動中的數(shù)據 4.描述信息描述信息環(huán)境問題環(huán)境問題能源問題能源問題節(jié)電問題節(jié)電問題Murre島能源使用問題島能源使用問題水資源問題水資源問題Murre島的水資源問題島的水資源問題5.Murre島旅游規(guī)劃島旅游規(guī)劃野營野營徒步旅行路線徒步旅行路線游客住宿游客住宿其它娛樂項目其它娛樂項目1氣候 1另一個海島的氣候1蝙蝠外出覓食的時間與氣候的關系1有等高線的俯視圖1徒步旅行的路線1選擇哪一條作為徒步旅行線路？1關于旅游開發(fā)的信息如時間地點項目等等2林木種類面積覆蓋率保護的必要性2了解北大西洋沿岸12個國

4、家森保護區(qū)林狀況3人口分布與旅游4面臨的主要環(huán)境問題4水資源問題4家庭用水量4總體能源消耗及居民能源使用情況4家用電器的能源消耗情況4家庭垃圾4垃圾構成4總量與人均垃圾產生量4思考減少垃圾量的辦法5.制定方案：（野營營地、徒步旅行路線、游野營營地、徒步旅行路線、游客住宿、其它娛樂項目）客住宿、其它娛樂項目）以設計一處野營營地為例，方案應包括：以設計一處野營營地為例，方案應包括：以數(shù)據為依據的論證報告以數(shù)據為依據的論證報告提供給露營者的營地地圖提供給露營者的營地地圖營地管理規(guī)定營地管理規(guī)定介紹營地所在地介紹營地所在地Murre島的手冊島的手冊具體方案中要包括以下內容：具體方案中要包括以下內容：營

5、地的容量及面積的大小營地的容量及面積的大小每個單位的數(shù)量及大小每個單位的數(shù)量及大小營地的方位及營地周圍可能的觀賞景點營地的方位及營地周圍可能的觀賞景點為建營地必須砍伐的樹木數(shù)量為建營地必須砍伐的樹木數(shù)量電力、水源供應，垃圾處理方式電力、水源供應，垃圾處理方式營地的運營費用及露營者所需的費用營地的運營費用及露營者所需的費用一、數(shù)學問題一、數(shù)學問題（一）對（一）對“數(shù)學問題數(shù)學問題”的理解的理解 問題是數(shù)學的心臟。著名數(shù)學教育家波利亞在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)一書中指出，所謂“問題問題”就是意味著要去尋找適當?shù)男袆?，就是意味著要去尋找適當?shù)男袆樱赃_到一個可見而不立即可及的目標。以達到一個可見而不立即可及的目標

6、。 牛津大詞典對“問題”的解釋是： 指那些并非可以立即求解或較困難的問指那些并非可以立即求解或較困難的問題，那種需要探索、思考和討論的問題，題，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題。那種需要積極思維活動的問題。 在第六屆國際數(shù)學教育大會上，“問題解決、模型化及應用”課題組提交的課題報告中，對“問題”給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出 一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。解問題情境。 該課題組主席奈斯還進一步把“數(shù)學問題解決”中的“問題”具體分為兩類：一類是

7、非常規(guī)的數(shù)學問題；另一類是數(shù)一類是非常規(guī)的數(shù)學問題；另一類是數(shù)學應用問題。學應用問題。這種界定現(xiàn)已經逐漸為人們所接受。 我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的數(shù)學教育學里的“數(shù)學教育中的問題解決”中，對什么是問題及問題與習題的區(qū)別作了很好的探討。 綜上，對“問題”可以有以下幾個方面的理解和認識：1. 問題是一種情境狀態(tài)問題是一種情境狀態(tài) 這種狀態(tài)會與學生已有的認知結構之間產生內部矛盾沖突，在當前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則。 所謂所謂有問題的狀態(tài)，有問題的狀態(tài)，即這個人面臨著他即這個人面臨著他們不認識的東西，對于這種東西又不能們不認識的東西，對于這種東西又不能僅僅應用某種典范

8、的解法去解答，因為僅僅應用某種典范的解法去解答，因為一個問題一旦可以使使用以前的算法輕一個問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那么它就不是一個問題易地解答出來，那么它就不是一個問題了。了。 2. 問題解決中的問題解決中的“問題問題”，并不，并不包括常規(guī)數(shù)學問題，而是指非常包括常規(guī)數(shù)學問題，而是指非常規(guī)數(shù)學問題和數(shù)學的應用問題。規(guī)數(shù)學問題和數(shù)學的應用問題。 這里的常規(guī)數(shù)學問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學問題。 3. 問題是相對的問題是相對的 問題因人因時而宜，對于一個人可能是問題，而對于另一個人只不過是習題或練習，而

9、對于第三個人，卻可能是所然無味了。 隨著人們的數(shù)學知識的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經構不成問題了。 4. 問題情境狀態(tài)下，要對學生本人問題情境狀態(tài)下，要對學生本人構成問題，必須滿足三個條件構成問題，必須滿足三個條件:（1）可接受性。）可接受性。指學生能夠接受這個問題，還可表現(xiàn)出學生對該問題的興趣。（2）障礙性。）障礙性。即學生當時很難看出問題的解法、程序和答案，表現(xiàn)出對問題的反應和處理的習慣模式的失敗。（3）探索性。該問題又能促使學生深入地研究和進一步的思考，展開各種探究活動，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。 5. 問題解決中的問題解決中的“問題

10、問題”與與“習題習題”或或“練習練習”的的區(qū)別區(qū)別（1）性質不同）性質不同中學數(shù)學課本中的中學數(shù)學課本中的“習題習題”或者或者“練習練習”屬于屬于“常規(guī)問題常規(guī)問題”，教，教師在課堂中已經提供了典范解法，而學生只不過是這種典范解法師在課堂中已經提供了典范解法，而學生只不過是這種典范解法的翻版應用，一般不需要學生較高的思考。因此，實際上學生只的翻版應用，一般不需要學生較高的思考。因此，實際上學生只不過是在學習一種算法，或一種技術，一種應用于同一類不過是在學習一種算法，或一種技術，一種應用于同一類“問題問題”的技術，一種只要避免了無意識的錯誤就能保證成功的技術。的技術，一種只要避免了無意識的錯誤就

11、能保證成功的技術。（2）服務的目的不同）服務的目的不同盡管有些困難的習題對大部份學生實際上也可能是真正的問題，盡管有些困難的習題對大部份學生實際上也可能是真正的問題，但數(shù)學課本中的習題是為日常訓練技巧等設計的，而真正的問題但數(shù)學課本中的習題是為日常訓練技巧等設計的，而真正的問題則適合于學習發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進行數(shù)學原始發(fā)現(xiàn)以及則適合于學習發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進行數(shù)學原始發(fā)現(xiàn)以及學習如何思考。因此，練習技巧與解真正問題所要達到的學習目學習如何思考。因此，練習技巧與解真正問題所要達到的學習目的不大相同，也正因為它們各自服務于一種目的，所以中學教學的不大相同，也正因為它們各自服務于一種目的

12、，所以中學教學課本中的課本中的“習題習題”、“練習練習”不應該從課本中被除去，而應該被不應該從課本中被除去，而應該被保留。保留。然而，解決了這些常規(guī)問題后，并不意味著已經掌握了然而，解決了這些常規(guī)問題后，并不意味著已經掌握了“問題解問題解決決”。 練習與解決問題的特征比較練習的特征練習的特征解決問題的特征解決問題的特征著重尋找答案著重尋找解決問題的過程往往針對某個知識點或技能點,著重對某項數(shù)學技能進行練習著重思考如何將一般知識和技巧運用到新情況中,具有綜合性的特點可以對某一類習題反復演練解決問題中的“問題”具有新穎性對思考的要求相對比較低對思考的要求相對比較高（二）好問題的“數(shù)學標準” 數(shù)學教

13、育家倫伯格指出：解決非單純練習題式的問題正是數(shù)學教育改革的一個中心論題。 一般來說，一個好問題標準應體現(xiàn)在以下三個方面：1、應該具有較強的探究性、應該具有較強的探究性好問題能啟迪思維，激發(fā)和調動探究意識，展現(xiàn)思維過好問題能啟迪思維，激發(fā)和調動探究意識，展現(xiàn)思維過程。程。 如同波利亞所指出的“我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神”。 這里的“探究性（或創(chuàng)造精神）”的要求應當是與學生實際水平相適應的，既然我們的數(shù)學教育是面向大多數(shù)學生的。 因此，對于大多數(shù)學生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問題，正是數(shù)學上“普遍的高標準”，這又并非是“高不可及

14、”的，而是可通過努力得到解決的。 從這個意義上來說，我們這里說的好問題并不是指問題應有較高的難度，這一點與現(xiàn)在數(shù)學奧林匹克競賽中所選用的大部份試題是有區(qū)別的。 在競賽中，“問題解決”在很大程度上所發(fā)揮的只是一種“篩子”的作用，這是與以“問題解決”作為數(shù)學教育的中心環(huán)節(jié)和根本目標有區(qū)分的。 2、應該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間、應該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間 一個好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學原理，對于這些問題或者能啟發(fā)學生尋找應該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快地得到解決。 同時，“問題解決”還能夠促進學生對于數(shù)學基本知識和技能的掌握，有利于學生掌握有關的數(shù)學

15、知識和思想方法，這就與所謂的“偏題”、“怪題”劃清了界線。 一個好問題的可發(fā)展空間是說問題并不一定在找到解答時就會結束，所尋求的解答可能暗示著對原問題的各部份作種種變化，由此可以引出新的問題和進一步的結論。 問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴充到一般情形或其他特殊情形，它將給學生一個充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。 3、應該具有一定的、應該具有一定的“開放性開放性” 好問題的“開放性”，首先表現(xiàn)在問題來源的“開放”。問題應具有一定的現(xiàn)實意義，與現(xiàn)實社會、生活實際有著直接關系，這種對社會、生活的“開放”，能夠使學生體現(xiàn)出數(shù)學的價值和開展“問題解決”的意義。 同時，問題的“開放性”，還包括

16、問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破“每一問題都有唯一的標準解答”和“問題中所給的信息都有用”的傳統(tǒng)觀念，這對于學生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極為重要的意義。 二、數(shù)學問題解決（一）對（一）對“問題解決問題解決”的理解的理解 從國際上看，對“問題解決”長期以來有著不同的理解，因而賦予“問題解決”以多種含義，總括起來有以下六種： 1、把、把“問題解決問題解決”作為一種教學目作為一種教學目的的 例如美國的貝格教授認為：“教授數(shù)學的真正教授數(shù)學的真正理由是因為數(shù)學有著廣泛的應用，教授數(shù)學要理由是因為數(shù)學有著廣泛的應用，教授數(shù)學要有利于解決各種問題有利于解決各種問題”，“學習怎樣解決問

17、題學習怎樣解決問題是學習數(shù)學的目的是學習數(shù)學的目的”。 E.A.Silver教授也認為本世紀80年代以來，世界上幾乎所有的國家都把提高學生的問題解決的能力作為數(shù)學教學的主要目的之一。 當“問題解決”被認為是數(shù)學教學的一個目的時，它就獨立于特殊的問題，獨立于一般過程和方法以及數(shù)學的具體內容，此時，這種觀點將影響到數(shù)學課程的設計和確定，并對課堂教學實踐有重要的指導作用。2、把、把“問題解決問題解決”作為一個數(shù)學基本技能作為一個數(shù)學基本技能例如美國教育咨詢委員會認為“問題解問題解決決”是一種數(shù)學基本技能，他們對如何是一種數(shù)學基本技能，他們對如何定義和評價這項技能進行了許多探索和定義和評價這項技能進行

18、了許多探索和研究。研究。 當“問題解決”被視為一個基本技能時，它遠非一個單一的技巧，而是若干個技巧的一個整體，需要人們從具體內容、問題的形式、構造數(shù)學模型、設計求解模型的方法等等綜合考慮。 3、把、把“問題解決問題解決”作為一種教學形式作為一種教學形式 例如英國的柯可勞夫特柯可勞夫特等人認為，應當在教學形式中增加討論、研究問題解決和探索等形式，他還指出在英國，教師們還遠遠沒有把“問題解決”的活動形式作為教學的類型。 4、把、把“問題解決問題解決”作為一種過作為一種過程程 例如21世紀的數(shù)學綱要中提出“問題解決”是學生應用以前獲得的知識投入到新或不熟悉的情境中的一個過程。 美國的雷布朗斯認為：“

19、個體已經形成的有關過程的認識結構被用來處理個體所面臨的問題”？此種解釋，可以使一個人使用原先所掌握的知識、技巧以及對問題的理解來適應一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段，它著重考慮學生用以解決問題的方法、策略和猜想。 5、把、把“問題解決問題解決”作為法則作為法則 例如在國際教育辭典中指出，“問題解決”的特性是用新穎的方法組合兩個或更多的法則去解決一個問題。 6、把、把“問題解決問題解決”作為能力作為能力 例如1982年英國的Cockcroft report認為那種把數(shù)學用之于各種情況的能力，稱之為“問題解決”。 綜合以上各種觀點，雖然對“問題解決”的描述不同，形式不一，但是，它們所強調的有著共

20、同的東西，即“問題解決問題解決”不應該僅僅理解為不應該僅僅理解為一種具體教學形式或技能，它應貫一種具體教學形式或技能，它應貫穿在整個教學教育之中。穿在整個教學教育之中。 “問題解決”的教學目的是很明確的，那就是要幫助學生提高解決實際問題能力，而且“問題解決”的過程是一個創(chuàng)造性的活動，因而是數(shù)學教學中最重要的一種活動？ 以下是從文獻中對“問題解決”的六個不同的概念：（1） 解決教科書中標題文字題，有也叫做練習題； （2） 解決非常規(guī)的問題； （3） 邏輯問題和“游戲”； （4） 構造性問題； （5） 計算機模擬題； （6） “現(xiàn)實生活”情境題。（二）問題解決與課標（二）問題解決與課標1.重視問題

21、解決是世界性的趨勢重視問題解決是世界性的趨勢2.問題解決問題解決1.重視問題解決是世界性的趨勢重視問題解決是世界性的趨勢如在美國數(shù)學課程標準中被列為第一個一如在美國數(shù)學課程標準中被列為第一個一般性目標：般性目標：問題解決問題解決交流交流推理推理聯(lián)系聯(lián)系（9 9個分知識領域目標）個分知識領域目標）美國數(shù)學課程標準中問題解決指：美國數(shù)學課程標準中問題解決指：我國數(shù)學課程標準中問題解決指：我國數(shù)學課程標準中問題解決指： 解應用題是學習的終點解應用題是學習的終點 人為編造的痕跡較為明人為編造的痕跡較為明顯，封閉顯，封閉 形式：找類型，記結語，形式：找類型，記結語，套公式，形成套公式，形成“條件反條件反

22、射射” “條件條件+題型題型=問題答問題答案案”，無需反思無需反思弗蘭登塔爾的看法弗蘭登塔爾的看法：引自數(shù)學教育反思一書 先理論后實踐，先頓悟后操練看似有效，但對前者的精通先理論后實踐，先頓悟后操練看似有效，但對前者的精通并不意味著對后者也能精通。并不意味著對后者也能精通。 把文字題的范例在結構上加以修飾，概括出題型，看起來把文字題的范例在結構上加以修飾，概括出題型，看起來好像很有用，但不會成功，因為這些假的題型絲毫無助于好像很有用，但不會成功，因為這些假的題型絲毫無助于解決由文字敘述的那些實際問題。解決由文字敘述的那些實際問題。 讓學生再創(chuàng)造越早越好，一旦學生已經被灌輸了現(xiàn)成的模讓學生再創(chuàng)造

23、越早越好，一旦學生已經被灌輸了現(xiàn)成的模式和題型就太晚了。式和題型就太晚了。 應用是不能從教應用中學會的，數(shù)學在自然界和社會中的應用是不能從教應用中學會的，數(shù)學在自然界和社會中的一些應用不能只由教科書的作者或教師示范說明，而應該一些應用不能只由教科書的作者或教師示范說明，而應該留給學生去再發(fā)現(xiàn)。留給學生去再發(fā)現(xiàn)。（三）（三）1.改革方向的基本載體改革方向的基本載體有助于培養(yǎng)終生學習的愿望和能力有助于培養(yǎng)終生學習的愿望和能力有助于收獲創(chuàng)新意識與實踐能力有助于收獲創(chuàng)新意識與實踐能力2. 課程目標的基本示范課程目標的基本示范體現(xiàn)出從教育和社會的角度看作為教育內容的體現(xiàn)出從教育和社會的角度看作為教育內容

24、的數(shù)學更重要，而這是學校數(shù)學必須承載的社會數(shù)學更重要，而這是學校數(shù)學必須承載的社會責任。責任。體現(xiàn)了數(shù)學不是一個已經終結的封閉學科體系，體現(xiàn)了數(shù)學不是一個已經終結的封閉學科體系，而是一個被漸漸知曉的過程，是一個持續(xù)的人而是一個被漸漸知曉的過程，是一個持續(xù)的人類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的探索領域。類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的探索領域。明確了學校數(shù)學的面貌：明確了學校數(shù)學的面貌： 明確了學校數(shù)學的面貌：明確了學校數(shù)學的面貌： 把現(xiàn)實問題作為支撐和激勵學習的源泉把現(xiàn)實問題作為支撐和激勵學習的源泉 把數(shù)學的把數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)”作為常態(tài)目標作為常態(tài)目標 著眼于解決問題的過程，鼓勵學生運用屬著眼于解決問題的過程，鼓勵學生運用屬于

25、他們自己的經驗和策略于他們自己的經驗和策略 著眼于多樣化、多途徑的解決問題策略，著眼于多樣化、多途徑的解決問題策略，而不是強行用單一的途徑去規(guī)范。而不是強行用單一的途徑去規(guī)范。 提供在廣泛的背景之下理解、認識和發(fā)展提供在廣泛的背景之下理解、認識和發(fā)展數(shù)學抽象符號與具體方法的機會數(shù)學抽象符號與具體方法的機會3.教學形態(tài)的基本要求教學形態(tài)的基本要求從豐富的的問題情境開始，把重要數(shù)學原理預設好，從豐富的的問題情境開始，把重要數(shù)學原理預設好，用開放性的問題拓展學生的思維，鼓勵解決問題的多用開放性的問題拓展學生的思維，鼓勵解決問題的多種途徑。種途徑。安排內容豐富、前后關聯(lián)的活動，要同時涉及不同的安排內容

26、豐富、前后關聯(lián)的活動，要同時涉及不同的知識區(qū)域，在學生通過情境中設置的問題達到充分理知識區(qū)域，在學生通過情境中設置的問題達到充分理解后，再逐步形式化。解后，再逐步形式化。既要有傳統(tǒng)的內容，也要包括新的內容，強調內容之既要有傳統(tǒng)的內容，也要包括新的內容，強調內容之間的聯(lián)系。間的聯(lián)系。從把數(shù)學僅僅看成是供記憶復制的一套程序向數(shù)學思從把數(shù)學僅僅看成是供記憶復制的一套程序向數(shù)學思考轉變。考轉變。從強調機械操練到強調猜想、發(fā)現(xiàn)和解決問題。從強調機械操練到強調猜想、發(fā)現(xiàn)和解決問題。從把數(shù)學看成一個孤立的概念和程序的結合體到把數(shù)從把數(shù)學看成一個孤立的概念和程序的結合體到把數(shù)學看成一個思想和應用相互交織的整體

27、。學看成一個思想和應用相互交織的整體。 在“問題解決”中，相當一部份是實際生活中例子。從構造數(shù)學模型、設計求解模型的方法，再到檢驗與回顧等整個過程要由學生去發(fā)現(xiàn)、去設計、去創(chuàng)新、去完成，這是“問題解決”與創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之所在。 數(shù)學教師應創(chuàng)造更有利于問題解決的條件，在為所有年級編制出好的問題并傳授解決問題的技能、技巧的同時，盡力為學生的創(chuàng)造性思維提供良好的課堂環(huán)境與機會、乃至服務。 （四）數(shù)學問題解決的心理分析（四）數(shù)學問題解決的心理分析1、從學習心理學看、從學習心理學看“問題解決問題解決” 從學習心理學角度來看，問題解決一般理解為一種認知操作過程或心理活動過程。 所謂所謂“問題解決問題解

28、決”指的是一系列有目的指向認知指的是一系列有目的指向認知操作過程，是以思考為內涵、以問題為目標定向操作過程，是以思考為內涵、以問題為目標定向的心理活動過程。的心理活動過程。具體來說，問題解決是指人們面臨新的問題情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己缺少現(xiàn)成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動過程。 問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級心理活動，問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級心理活動，其核心是思考與探索。其核心是思考與探索。 認知心理學家認為，問題解決有兩種基本類型：認知心理學家認為，問題解決有兩種基本類型： 一是需要產生新的程序的問題解決，屬于創(chuàng)造一是需要產生新的程序的問題解決，屬于

29、創(chuàng)造性問題解決；性問題解決； 一是運用已知或現(xiàn)成程序的問題解決，是常規(guī)一是運用已知或現(xiàn)成程序的問題解決，是常規(guī)性問題解決。性問題解決。 數(shù)學中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決，數(shù)學中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決，不僅需要構建適當?shù)某绦蜻_到問題的目標，而不僅需要構建適當?shù)某绦蜻_到問題的目標，而且更側重于探索達到目標的過程。且更側重于探索達到目標的過程。 問題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟問題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟式。式。試誤式試誤式是對頭腦中出現(xiàn)的解決問題的各種途徑進是對頭腦中出現(xiàn)的解決問題的各種途徑進行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問題解決的合理途徑。行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問題解

30、決的合理途徑。頓悟式頓悟式是在長期不懈地思考而又不得其解時，受是在長期不懈地思考而又不得其解時，受某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和途徑或方式。對中學生而言，這兩種探索形式都途徑或方式。對中學生而言，這兩種探索形式都是問題解決不可缺少策略。是問題解決不可缺少策略。 三、數(shù)學問題解決的認知分析三、數(shù)學問題解決的認知分析 現(xiàn)代學習心理學探究表明，問題分為三種狀態(tài)，即初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目的狀態(tài)。問題解決就是從問題的初始狀態(tài)開始，尋求適當?shù)耐緩胶头椒ㄟ_到目的狀態(tài)的過程。因此，問題解決實質上是運用已有的知識經驗，通過思考探索新情境中問題結果和達到問題的

31、目的狀態(tài)的過程。一般來說，數(shù)學問題解決是在一定的問題情境中開始。 （一）奧蘇貝爾的問題解決模式（一）奧蘇貝爾的問題解決模式 現(xiàn)代認知心理學家認為，問題解決是一種現(xiàn)代認知心理學家認為，問題解決是一種以目標為定向的搜尋問題空間的認知過程。以目標為定向的搜尋問題空間的認知過程。奧蘇貝爾等人以幾何問題的解決為原型，奧蘇貝爾等人以幾何問題的解決為原型，提出了一個問題解決模式提出了一個問題解決模式 已知條件已知條件明確問題目標與已知條件明確問題目標與已知條件目標目標背景命題背景命題推理規(guī)則推理規(guī)則空隙空隙策略策略呈現(xiàn)問題情境命題呈現(xiàn)問題情境命題操作操作指導指導縮小縮小縮小縮小填 補填 補空 隙空 隙過程過

32、程 根據奧蘇貝爾的模式，問題解根據奧蘇貝爾的模式，問題解決經歷了四個階段：決經歷了四個階段： 1 1、呈現(xiàn)問題情境命題、呈現(xiàn)問題情境命題 奧蘇貝爾認為問題是由有意義奧蘇貝爾認為問題是由有意義的言語命題構成的，其中包含了目的言語命題構成的，其中包含了目標和已知條件。標和已知條件。2 2、明確問題目標和已知條件、明確問題目標和已知條件 學生將問題情境與自己的認知學生將問題情境與自己的認知結構聯(lián)系起來，從而理解所面臨結構聯(lián)系起來，從而理解所面臨問題的性質與條件。這樣既明確問題的性質與條件。這樣既明確了問題的初始狀態(tài)，又明確了解了問題的初始狀態(tài)，又明確了解題的目標。題的目標。 3 3、填補空隙過程、填

33、補空隙過程 學生在找出已知條件和目標之學生在找出已知條件和目標之間的空隙和差距之后，便利用背間的空隙和差距之后，便利用背景命題，根據一定的推理規(guī)則和景命題，根據一定的推理規(guī)則和解題策略填補問題的固有空隙。解題策略填補問題的固有空隙。 4 4、解答之后的檢驗、解答之后的檢驗 問題一旦得到解決，通常便會問題一旦得到解決，通常便會出現(xiàn)一定形式的檢驗：查明推理出現(xiàn)一定形式的檢驗：查明推理時有無錯誤，空隙填補的途徑是時有無錯誤，空隙填補的途徑是否最簡，問題是否可以進一步推否最簡，問題是否可以進一步推廣、拓展，等等。廣、拓展，等等。設設 ，式中變量，式中變量 、y y滿足下列條，滿足下列條，求求z z的最

34、大值和最小值。的最大值和最小值。xyz x1255334xyxyx第一，明確問題目標和已知條件第一，明確問題目標和已知條件 首先學生一看到這個題就能首先學生一看到這個題就能判斷出這是一道線性規(guī)劃的題。判斷出這是一道線性規(guī)劃的題。并知道什么是已知條件，什么是并知道什么是已知條件，什么是要求的要求的第二，填補空隙第二，填補空隙 再仔細觀察此題的難點是目標再仔細觀察此題的難點是目標函數(shù)不是熟悉的形式。這道題應該函數(shù)不是熟悉的形式。這道題應該怎么做呢？怎么做呢？ 回憶老師講線性規(guī)劃時一直強回憶老師講線性規(guī)劃時一直強調的一定要明確目標函數(shù)的意義。調的一定要明確目標函數(shù)的意義。聯(lián)想以前學過的知識，就發(fā)現(xiàn)目

35、標聯(lián)想以前學過的知識，就發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)跟兩點函數(shù)跟兩點 （ ），（），（ ）所在）所在直線的斜率直線的斜率 很像。很像。1p11, yx2p22, yx1212xxyyk 一比較發(fā)現(xiàn)一比較發(fā)現(xiàn) 表示是點表示是點（x,yx,y）和點（）和點（0 0，0 0）所在直線）所在直線的斜率。那么點（的斜率。那么點（x,yx,y）表示的）表示的是什么呢，表示的是可行域上是什么呢，表示的是可行域上的點。分析到這里此題也就解的點。分析到這里此題也就解決了。決了。xyz xy第三，解答之后的檢驗第三，解答之后的檢驗“這個問題是否可以推廣呢這個問題是否可以推廣呢”。實。實際上，這道題的方法是可以推廣的。際上，這道題

36、的方法是可以推廣的。比如當以后我們看到形如比如當以后我們看到形如這樣的目標函數(shù)時我們也知道怎么這樣的目標函數(shù)時我們也知道怎么做了。因為這個目標函數(shù)表示的是做了。因為這個目標函數(shù)表示的是圓的半徑，圓心在原點圓的半徑，圓心在原點22yxz （二）波利亞（二）波利亞（G.PolyaG.Polya）的）的解題框架解題框架 在在怎樣解題怎樣解題這部不朽名這部不朽名著中，波利亞對問題解決過程著中，波利亞對問題解決過程進行了深刻的剖析和探索，將進行了深刻的剖析和探索，將問題解決過程編制成一張問題解決過程編制成一張“怎怎樣解題樣解題”表，其核心思想是啟表，其核心思想是啟發(fā)法發(fā)法在在“怎樣解題怎樣解題”表中，波

37、利亞將問表中，波利亞將問題解決過程分為四個階段：題解決過程分為四個階段： 弄清問題弄清問題 7第一，第一，你必你必須弄須弄清問清問題題未知是什么未知是什么? ?已知是什么已知是什么? ?條件是什條件是什么么? ?滿足條件是否可能滿足條件是否可能? ?要確定未知，要確定未知，條件是否充分條件是否充分? ?或者它是否不充分或者它是否不充分? ?或或者是多余的者是多余的? ?或者是矛盾的或者是矛盾的? ?畫張圖，引入適當?shù)姆柈嫃垐D，引入適當?shù)姆柊褩l件的各個部分分開你能否把條件的各個部分分開你能否把它們寫下來把它們寫下來? ?擬定計劃擬定計劃 第二，找第二，找出已知數(shù)出已知數(shù)與未知數(shù)與未知數(shù)之間的

38、聯(lián)之間的聯(lián)系如果系如果找不出直找不出直接的聯(lián)系，接的聯(lián)系，你可能不你可能不得不考慮得不考慮輔助問輔助問題題 你應你應該最終得該最終得出一個求出一個求解的計劃解的計劃你以前見過它嗎你以前見過它嗎? ?你是否見過相同的問題而形式稍有不同你是否見過相同的問題而形式稍有不同? ? 你是否知道與此有關的問題你是否知道與此有關的問題? ?你是否知道一個可能用得上的定理你是否知道一個可能用得上的定理? ? 看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題題 這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已

39、解決的問題 你能不能利用它你能不能利用它? ?你能利用它的結果嗎你能利用它的結果嗎? ?你能利用它的方法嗎你能利用它的方法嗎? ?為了能利為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素用它，你是否應該引入某些輔助元素? ? 你能不能重新敘述這個問題你能不能重新敘述這個問題? ?你能不能用不同的方法重新敘述它你能不能用不同的方法重新敘述它? ? 回到定義去回到定義去 如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題你能如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題你能不能想出一個更容易著手的有關問題不能想出一個更容易著手的有關問題? ?一個更普遍的問題一個更普遍的問題? ?一個更特殊的問

40、一個更特殊的問題題? ?一個類比的問題一個類比的問題? ?你能否解決這個問題的一部分你能否解決這個問題的一部分? ?僅僅保持條件的一部僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度? ?它會怎樣變化它會怎樣變化? ?你你能不能從已知數(shù)據導出某些有用的東西能不能從已知數(shù)據導出某些有用的東西? ?你能不能想出適合于確定未知數(shù)你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據的其他數(shù)據? ?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據，或者二者都改如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據彼此更接近變，以使新未知數(shù)和新數(shù)

41、據彼此更接近? ? 你是否利用了所有的已知數(shù)據你是否利用了所有的已知數(shù)據? ?你是否利用了整個條件你是否利用了整個條件? ?你是否考慮了包你是否考慮了包含在問題中的必要的概念含在問題中的必要的概念? ?實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃 第三，實第三，實行你的計行你的計劃劃 實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟步驟 你能否清楚地看出這一步驟是你能否清楚地看出這一步驟是正確的正確的? ?你能否證明這一步驟是正你能否證明這一步驟是正確的確的? ?回回顧顧 第四，第四，驗算所驗算所得到的得到的解解 你能否檢驗這個論證你能否檢驗這個論證? ?你能你能否用別的方法導出這個結果否用別的方法導出這個結果?

42、 ?你能不能一下子看出它來你能不能一下子看出它來? ?你能不能把這一結果或方你能不能把這一結果或方法用于其他的問題法用于其他的問題? ? （三）問題解決模式（三）問題解決模式 數(shù)學問題解決就是解題者在自己的長時記憶中提取解題圖式用于新的問題情境的過程。解題圖式包括個體已有的與新問題有關的知識基礎、解題策略和解題經驗。解題的認知過程是在元認知調控下，解題者對問題進行表征，對問題進行模式識別，然后將解題圖式提取、遷移，進而達到目標狀態(tài)的信息加工行為。 解決數(shù)學問題分為4個階段:理解問題、選擇算子、理解問題、選擇算子、應用算子、結果評價應用算子、結果評價。與此對應，其認知過程分別為:問題表征、模式識

43、別、解題遷移、解題監(jiān)控問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。 問題表征。問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)及允許的操作。問題表征分為問題的字面理解和問題的深層理解兩個層面。問題的字面理解，指解題者逐字逐句讀懂描述問題的問題的字面理解，指解題者逐字逐句讀懂描述問題的每一個句子，能用自己的話重新表述問題，把問題中每一個句子，能用自己的話重新表述問題，把問題中的陳述轉換成解題者內部的心理表征。的陳述轉換成解題者內部的心理表征。問題的深層理解指在問題表層理解的基礎上，進一步問題的深層理解指在問題表層理解的基礎上，進一步把問題的每一陳述綜合成條件、目標統(tǒng)一的心理表征。把問題的每一

44、陳述綜合成條件、目標統(tǒng)一的心理表征。問題的深層理解又包括兩個方面:識別問題類型，以及區(qū)分問題中的有關信息與無關信息。 模式識別。數(shù)學模式是指形式化地采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關系的一種數(shù)學結構。數(shù)學中的各種基本概念、數(shù)學理論體系、各種定理、法則、公式、算法、命題和方法等，都是數(shù)學模式。在數(shù)學問題解決中，具有共同結構的一類問題或具有相同解法的一類問題也稱為一種模式。所謂模式識別，指當主體接觸到數(shù)學問題之后，能將所謂模式識別，指當主體接觸到數(shù)學問題之后，能將該問題歸類，使得與自己認知結構中的某種數(shù)學模式該問題歸類，使得與自己認知結構中的某種數(shù)學模式相匹配的過程。相匹配

45、的過程。 解題遷移。解題是學習的基本方式之一。先前的解題學習對后繼的解題學習的影響即為解題遷移(problemsolvingtransfer)。解題遷移包括知識、解題記解題遷移包括知識、解題記憶、解題方法及解題技能的遷移。實現(xiàn)遷移的前提是憶、解題方法及解題技能的遷移。實現(xiàn)遷移的前提是有正確的模式識別。有正確的模式識別。 解題監(jiān)控。解題監(jiān)控指解題者為了達到解解題監(jiān)控指解題者為了達到解題目標，在解題過程中對解題活動作為意題目標，在解題過程中對解題活動作為意識對象，對其進行積極主動地計劃、監(jiān)視、識對象，對其進行積極主動地計劃、監(jiān)視、調節(jié)和控制的過程。調節(jié)和控制的過程。 解題監(jiān)控屬于元認知范疇。 知識

46、基礎與解題策略。知識基礎指解題者內化的各種數(shù)學模式。解題策略指為了有效地達到解題目標，解題者采用的解題思路或方針。 在數(shù)學問題解決的第1階段，即理解問題階段，解題者要將外部信息轉化為內部信息，從表層和深層去理解題意，用自己的內部語言陳述問題的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)，區(qū)分問題中的有關信息和無關信息，并初步識別問題的類型。在這一階段，需要知識基礎作為支持，同時受元認知監(jiān)控的作用。 在第2階段，解題者在解題監(jiān)控作用下，擬定解題方案，將外部信息與長時記憶中的模式作比較，進行對外部模式的識別和外部與內部模式的匹配，此時，解題者需要知識基礎與解題策略作為支持。 在應用算子的第3階段，解題者需要調動與外部信息相

47、匹配的模式，這是一個模式的遷移過程。為了解決當前問題，有時可能會用到多種模式，或是多種模式的組合，甚至還可能改造原來的模式以適應解題的需要。顯然，在這一階段，認知過程受到知識基礎、解題策略和解題監(jiān)控的交互作用。 在問題解決的第4階段，解題者要對解題結果進行評判和檢驗，同時反思解題過程，對解題的思路、方法和效果進行評判，此時主要受解題監(jiān)控的作用。 上述4個解題階段，都需要以工作記憶作為中介，即外部信息的內化與內部(長時記憶)信息的提取，兩者都需要在工作記憶中加工。 概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構簡記為CPFS結構。CPFS結構的涵義是:個體頭腦中內化的數(shù)學知識網絡。各知識點(概念、命題

48、).在這個網絡中處于一定位置，知識點之間具有等值抽象關系、或強抽象關系、或弱抽象關系、或廣義抽象關系。正是由于網絡中知識點之間具有某種抽象關系，而這些抽象關系本身就蘊含著思維方法，因而網絡中各知識點之間的連結包含著數(shù)學方法，即“連線集”為一個“方法系統(tǒng)”。CPFS結構的涵義 教學實踐中，往往會產生這樣的現(xiàn)象:在概念學習中，當學生學習了一個概念之后，在具體應用這個概念時會出現(xiàn)類型各異的錯誤，或者是沒有把握概念的內涵，無法辨認概念的反例，或者是不能理解概念的變式。在命題學習中，當學生學習了一個命題，特別是學習了一組命題之后，往往不會靈活應用這些命題。產生這些現(xiàn)象的原因是多方面的，但我們認為，個體的

49、CPFS結構是一個主要因素。 不能從多角度、多背景下去深入理解概念，沒有在頭腦中形成概念體系，那么一旦換一個側面去闡述同一個概念，學生就會不知所云。對于命題學習也是同樣情形，如果學生沒有形成完善的命題域和命題系，那么在解決問題時，他們就不能及時、有效地在命題域或命題系中調用適當?shù)哪Ｊ?，從而使欲解決的問題難度加大，或者無法解決問題。事實上，在一組等價命題中選出某些命題去解決不同的問題，理論上說是等價的，但解題的難度卻大相徑庭。 (l)個體的CPFS結構是解決數(shù)學問題的知識基礎，它對解題效果有直接的影響。 (2)個體的CPFS結構存在個別差異，優(yōu)良的CPFS結構是完善的認知結構的必要條件，它能促進

50、問題的成功解決，反之，不良的CPFS結構會阻礙問題的成功解決。 (3)與不良的CPFS結構相比較，優(yōu)良的CPFS結構在知識點的數(shù)量上更豐富，知識網絡的結構更合理。 (4)具有高數(shù)學能力的學生必具備優(yōu)良的CPFS結構，低數(shù)學能力的學生具有不良的CPFS結構。 (5)促進個體不良CPFS結構向優(yōu)良CP陣結構的轉變，是提高數(shù)學教學質量的有效途徑。數(shù)學學習的CPFS結構理論基礎四、數(shù)學問題解決的教學策略四、數(shù)學問題解決的教學策略（一）問題解決教學的策略分析（一）問題解決教學的策略分析 “問題解決教學問題解決教學”是以數(shù)學問題為中心，在教是以數(shù)學問題為中心，在教師的引導下，通過學生獨立思考和交流討論等師

51、的引導下，通過學生獨立思考和交流討論等形式，對數(shù)學問題進行求解、發(fā)展與延伸、遷形式，對數(shù)學問題進行求解、發(fā)展與延伸、遷移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生處理信息、獲取新移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生處理信息、獲取新知、應用新知的能力、積極探索的科學精神、知、應用新知的能力、積極探索的科學精神、團結協(xié)作的能力。團結協(xié)作的能力。1、“問題解決問題解決”是數(shù)學教育的核心是數(shù)學教育的核心 在課堂教學中設計“好”的問題是極其重要的。在每節(jié)課中，問題要努力做到：包含明顯的數(shù)學概念或技巧；能推廣或擴充到數(shù)學各單元知識和各種情形；有著多種解決方法。2、怎樣進行問題解決教學？、怎樣進行問題解決教學？ 給學生提供一種輕松愉快的氣

52、氛和生動活潑的環(huán)境； 從學生的已有經驗出發(fā)提出問題，引起學生對結論的迫切追求的愿望，將學生置于一種主動參與的位置； 大膽鼓勵學生運用直覺去尋求解題策略，必要時給一些提示； 討論各種成功的解決，歸納出問題解決的核心。如果可能的話和以前的問題聯(lián)系起來，對問題進行推廣，概括出一般原理。3、“問題解決問題解決”的心理機制的心理機制 在從已知狀態(tài)到目標狀態(tài)的問題過程中，要進行一系列心理操作，課堂教學中要努力地解決： 領會與同化。領會與同化。學生要用自己的語言轉換命題，并整體地將問題吸入已有的認知結構中去； 尋求策略與驗證。尋求策略與驗證。思維有躍向結論的傾向，分析解題的過程有助于學生尋求策略技能的提高，

53、各種解題策略的比較與驗證更可以增強學生的創(chuàng)造性與批判精神。4、在數(shù)學問題解決過程中，策略的產生和、在數(shù)學問題解決過程中，策略的產生和執(zhí)行，首先取決于概念是否清楚。執(zhí)行，首先取決于概念是否清楚。 理解是第一位的，沒有理解的訓練是毫無價值和理解是第一位的，沒有理解的訓練是毫無價值和意義的。意義的。 當然對概念的理解也是動態(tài)的，當學生對二次函當然對概念的理解也是動態(tài)的，當學生對二次函數(shù)的定義、性質、圖像、最值有了初步的正確的數(shù)的定義、性質、圖像、最值有了初步的正確的理解以后，在具體的應用中，不但鞏固了原有的理解以后，在具體的應用中，不但鞏固了原有的理解，并且還會達到新的高度，深度的理解。理解，并且還

54、會達到新的高度，深度的理解。5、能否在數(shù)學知識的應用中，迸發(fā)出燦爛、能否在數(shù)學知識的應用中，迸發(fā)出燦爛的思維火花，學生的智力基礎，認知方式的思維火花，學生的智力基礎，認知方式是及其重要的，原有數(shù)學知識基礎也很重是及其重要的，原有數(shù)學知識基礎也很重要。要。 但是教學設計也是至關重要的：精選“好的”問題，鋪設合適的坡度，營造良好的氛圍。 這需要教師的精心的教學設計，在“好的”問題合適的坡度和良好的氛圍創(chuàng)設過程中，把握“量”的度、“強”、“難”的度。 6、理解和技能如何進行定量把握：要考察學生、理解和技能如何進行定量把握：要考察學生的智力基礎，能力基礎和認知方式等。的智力基礎，能力基礎和認知方式等。

55、 依據學生的基礎和認知特點，對中學的階段的依據學生的基礎和認知特點，對中學的階段的數(shù)學知識點作定量分析，是完全可行的。數(shù)學知識點作定量分析，是完全可行的。 同時對學生理解和技能的要求也有一個梯度，同時對學生理解和技能的要求也有一個梯度，不能不同的學生，卻要達到同一的標準。不能不同的學生，卻要達到同一的標準。 7、運算能力，邏輯思維能力，空間想象、運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，分析問題解決問題能力，以及學能力，分析問題解決問題能力，以及學生的智力和認知特點等構成了學生的數(shù)生的智力和認知特點等構成了學生的數(shù)學素質。學素質。 把數(shù)學的概念教學、問題解決教學的立足點放把數(shù)學的概念教學、問題解決

56、教學的立足點放在提高學生素質上，這是今天數(shù)學教學的方向，在提高學生素質上，這是今天數(shù)學教學的方向，是完全可以做到的。是完全可以做到的。 （二）問題解決教學的一般策略 1、重視、重視通性通法教學通性通法教學，引導學生概括、，引導學生概括、領悟常見的數(shù)學思想與方法領悟常見的數(shù)學思想與方法 數(shù)學思想較之數(shù)學基礎知識，有更高的層次和地位。它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，它是一種數(shù)學意識，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決。數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對數(shù)學思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時得心應手；只有領悟了數(shù)學思

57、想與方法，書本的、別人的知識技巧才會變成自己的能力。 每一種數(shù)學思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1 1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；的分類等；（2 2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。 又如數(shù)學方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方又如數(shù)學方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。法，含

58、參問題常用待定系數(shù)法等。 因此，在數(shù)學課堂教學中應重視通性通法，淡因此，在數(shù)學課堂教學中應重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種化特殊技巧，使學生認識一種“思想思想”或或“方方法法”的個性，即認識一種數(shù)學思想或方法對于的個性，即認識一種數(shù)學思想或方法對于解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學生解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應用數(shù)學思想與方法分析和解決合理、正確地應用數(shù)學思想與方法分析和解決問題的能力。問題的能力。2、加強應用題的教學，提高學生的模式識別、加強應用題的教學，提高學生的模式識別能力能力 高考是注重能力的考試，特別是學生運用數(shù)學高考是注重能力的考試，特別是學

59、生運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點，而高考中的應用題就著重考查這考查的重點，而高考中的應用題就著重考查這方面的能力。方面的能力。 數(shù)學是充滿模式的，就解應用題而言，對其數(shù)數(shù)學是充滿模式的，就解應用題而言，對其數(shù)學模式的識別是解決它的前提。學模式的識別是解決它的前提。 由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產、生活中的原始問題的設計加工使每者對生產、生活中的原始問題的設計加工使每個應用題都有其數(shù)學模型。個應用題都有其數(shù)學模型。 在高中數(shù)學教學中，不但要重視應用題的教學，在高中數(shù)學教學

60、中，不但要重視應用題的教學，同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結、同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結、歸納各種應用題的數(shù)學模型，這樣學生才能有歸納各種應用題的數(shù)學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數(shù)學思想和方法分析和解決的放矢，合理運用數(shù)學思想和方法分析和解決實際問題。實際問題。3、適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學、適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面生的知識面 要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步運用數(shù)學思想和方法解決問題。運用數(shù)學思想和方法解決問題。 近年來，隨著新技術革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學近年來，隨著新技術革命的