單擺運(yùn)動(dòng)的描述

1、單擺運(yùn)動(dòng)的描述(1)無(wú)阻尼單擺(小角度)2.+-0*sin(u)=0上式中令sln(H)=日602=1得到如下方程:上述方程即為相圖的方程,可由此方程畫(huà)出無(wú)阻尼單擺在小角度下的相圖:無(wú)阻尼小角度單擺運(yùn)動(dòng)相圖-40角度代碼如下：%w0=2%E=2時(shí)symsxy;%x表小角度,y表示角速度ezplot('x.A2+4*y.A2-4'),holdon%E=3時(shí)symsxy;ezplot(乂人2+4*丫A2-6'),holdon%E=4時(shí)symsxy;ezplot(乂人2+4*丫A2-8'),holdon%E=0.5時(shí)symsxyezplot(乂人2+4*丫A2-1&#

2、39;),holdonxlabel(ylabel(title(角度)角速度)無(wú)阻尼小角度單擺運(yùn)動(dòng)相圖')上圖中不同的同心橢圓表示在不同的能量下單擺的運(yùn)動(dòng)相圖，在畫(huà)上圖時(shí)，令劍=2,改變能量E得到一簇同心橢圓。改變®0會(huì)改變橢圓的形狀，當(dāng)m0'時(shí),橢圓變成圓。下面時(shí)無(wú)阻尼小角度單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡分析：此時(shí)只要求解上述的微分方程，然后改變其中的初始條件(露,。0)即可，其中求%w0=1時(shí)%®始角度為pi/4dsolve('D2y+y=0'%®始角度為pi/3時(shí),'y(0)=pi/4,Dy(0)=0'時(shí))%用y表示角度,Dy表

3、示角速度dsolve('D2y1+y1=0'%初始角度為pi/2時(shí)dsolve('D2y2+y2=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%t匕時(shí)令y1,'t')%t匕時(shí)用y3為角度表示角度畫(huà)圖的代碼如下:%®始角度為pi/4t=0:pi/50:4*pi;y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold%®始角度為pi/3y=(pi*cos(t)/3;on時(shí)plot(t,y,'r'),hold

4、%初始角度為pi/2時(shí)y=(pi*cos(t)/2;onplot(t,y,xlabel(ylabel(title(legend('g'),hold'時(shí)間)角度)on無(wú)阻尼小角度單擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡'初始角度為pi/4的圖，初始角度為pi/3')的圖，初始角度為pi/2的圖)解微分方程的代碼如下:出的圖如下:無(wú)阻尼小角度單擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)間當(dāng)初始角度固定不變，改變初始角速度時(shí)，也會(huì)畫(huà)出圖，此時(shí)將初始角度固定為pi/4,畫(huà)這些圖首先需要求解運(yùn)動(dòng)方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代碼如下：%研究初始角度相同，初始角速度不同的時(shí)候單

5、擺的運(yùn)動(dòng)軌跡%lt匕時(shí)都令初始的角度為pi/4%初始角速度為0時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表tk角速度%初始角速度為1時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度為2時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度為3時(shí)

6、dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度卜面是畫(huà)圖的代碼:t=0:pi/50:4*pi;%w0=0y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),holdon%w0=1y=sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'r'),holdon%w0=2ony=2*sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'g'),hold%w0=3y=3*sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'c'

7、;),holdonxlabel('時(shí)間')ylabel('角度)title('相同初始角度，不同初始角速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('初始角速度為0的圖，初始角速度為1的圖，初始角速度為2的圖，初始角速度為3的圖)畫(huà)出的圖如下：時(shí)間(2)倒立擺分析倒立擺的方程為0-*二0,和小角度擺相同的是，同樣通過(guò)求解方程得出運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)上式直接畫(huà)出相圖。畫(huà)圖的代碼如下：%倒立擺的運(yùn)動(dòng)相圖繪制%w0=1symsyx;%E=0時(shí)h=ezplot('yA2-xA2'),holdonset(h,'color','c

8、9;)%E=1時(shí)ezplot('yA2-xA2-2'),holdon%E=2時(shí)h=ezplot('yA2-xA2-4'),holdset(h,'color',"r')%E=3時(shí)h=ezplot("yA2-xA2-6"),holdset(h,"color","b")%E=4時(shí)h=ezplot("yA2-xA2-8"),holdset(h,"color","k")xlabel("角度")ylab

9、el("角速度")title("倒立擺的相圖")legend("E=0的圖"，"E=1的圖畫(huà)出的圖如下：ononon"E=2的圖","E=3的圖","E=4的圖")倒立擺的相圖6420-4-Q-6*4-20246角度其中E=0的圖表示漸近線(xiàn)。下面分析倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌跡：<1>固定初始角速度為0,改變初始角度求解微分方程代碼如下：%倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌跡求解%初始角速度為0,改變初始角度%®始角度為pi/4dsolve("D2y-y=0&quo

10、t;,"y(0)=pi/4,Dy(0)=0","t")%®始角度為pi/3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/3,Dy(0)=0','t')%®始角度為pi/6dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/6,Dy(0)=0','t')畫(huà)圖的代碼如下：%初始角速度為0%®始角度為pi/4t=0:0.01:2;y=(pi*exp(t)/8+(pi*exp(-t)/8;plot(t,y),holdon%®

11、;始角度為pi/3y=(pi*exp(t)/6+(pi*exp(-t)/6;plot(t,y,'r'),holdon%®始角度為pi/6y=(pi*exp(t)/12+(pi*exp(-t)/12;plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度)title('倒立擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('初始角度為pi/4的圖，初始角度為pi/3的圖，初始角度為pi/6的圖)畫(huà)出的圖如下：倒立擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)間<2>固定初始角度為pi/4,改變初始角

12、速度求解微分方程代碼如下：%初始角度為pi/4,改變初始角速度%角速度為1dsolve('D2y-y=0'%角速度為2dsolve('D2y-y=0'%角速度為3dsolve('D2y-y=0'畫(huà)圖的代碼如下:%®始角度為pi/4,'y(0)=pi/4,Dy(0)=1','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','y(0)=pi/4,Dy(0)=3'改變初始角速度't')'t')'t')%w0=1t=0:0.01:2;y=exp(t)*(pi/

13、8+1/2)+exp(-t)*(pi/8-1/2);plot(t,y),holdon%w0=2y=exp(t)*(pi/8+1)+exp(-t)*(pi/8-1);plot(t,y,'r'),holdon%w0=3y=exp(t)*(pi/8+3/2)+exp(-t)*(pi/8-3/2);plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度)title('倒立擺在不同初始角速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡)legend('角速度為1','角速度為2','角速度為3')畫(huà)出的圖如下

14、：創(chuàng)立擺在不同初始角速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)間(3)有阻尼單擺有阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)方程為：”2*一:*口+1=0其中0是阻尼系數(shù)。有阻尼單擺分為三種情況，若阻尼，臨界阻尼和過(guò)阻尼，下面畫(huà)圖來(lái)顯示這三種情況的軌跡：畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡就是求解上述微分方程的問(wèn)題，代碼如下：%阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡繪制%若阻尼下，阻尼系數(shù)為0.1dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')t=0:0.01:60;y=(pi*exp(-t/10).*cos(3*11A(1/2)*t)/10)/4+(11A(1/2)*pi*exp(-t/10).*sin(3*11A(1/

15、2)*t)/10)/132plot(t,y),holdon%阻尼系數(shù)逐漸增大，到臨界阻尼狀態(tài)，阻尼系數(shù)為1dsolve('D2y+2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=(pi*exp(-t)/4+(pi*t.*exp(-t)/4;plot(t,y,'r')%阻尼系數(shù)逐漸增大，到過(guò)阻尼狀態(tài)，阻尼系數(shù)為2dsolve('D2y+4*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=exp(t*(3A(1/2)-2)*(pi/8+(pi*3A(1/2)/12)+(3A(1/2)*pi*exp(

16、-t*(3A(1/2)+2)*(3(1/2)-2)/24;plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度)title('有阻尼單擺在不同阻尼系數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('弱阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡，臨界阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡，過(guò)阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡')畫(huà)出的圖如下：時(shí)間下面是相圖繪制，相圖就是繪制0的一階導(dǎo)和0的關(guān)系式。以初始角度為pi/4,初始角速度為0的單擺運(yùn)動(dòng)為例，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡后再畫(huà)出相圖，其中畫(huà)相圖的代碼如下：symsty1y;y=dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y1=diff(y,t,1);