第十二章工程力學之組合變形

1、121 組合變形與疊加原理組合變形與疊加原理工程力學基礎組合變形122 組合變形的應力分析組合變形的應力分析12-1 12-1 組合變形與疊加原理組合變形與疊加原理一、組合變形的概念一、組合變形的概念桿的軸向拉伸和壓縮、扭轉、彎曲稱為桿的基本變形，而工程桿的軸向拉伸和壓縮、扭轉、彎曲稱為桿的基本變形，而工程實際中的桿件，在外力作用下，往往同時產生幾種基本變形。實際中的桿件，在外力作用下，往往同時產生幾種基本變形。如圖如圖12-1所示傳動軸，視皮帶輪為所示傳動軸，視皮帶輪為剛體，將皮帶中的拉力向軸的形心剛體，將皮帶中的拉力向軸的形心處平移，得到一個集中力和一個力處平移，得到一個集中力和一個力偶，

2、力偶使軸產生扭轉，而集中力偶，力偶使軸產生扭轉，而集中力使軸產生彎曲變形，所以軸產生扭使軸產生彎曲變形，所以軸產生扭轉和彎曲兩種基本變形；轉和彎曲兩種基本變形；圖圖12-2所示塔器，在水平方向的風載荷作用下所示塔器，在水平方向的風載荷作用下產生彎曲變形，而自重使軸產生軸向壓縮，所產生彎曲變形，而自重使軸產生軸向壓縮，所以塔器發(fā)生的是軸向壓縮和彎曲兩種基本變形。以塔器發(fā)生的是軸向壓縮和彎曲兩種基本變形。桿件同時產生兩種或兩種以上基本變形的情況桿件同時產生兩種或兩種以上基本變形的情況稱為稱為組合變形組合變形。桿在組合變形情況下，如果只有一種基本變形桿在組合變形情況下，如果只有一種基本變形形式是主要

3、的，我們可以略去次要的因素，按形式是主要的，我們可以略去次要的因素，按基本變形進行分析。如果各基本變形都比較重基本變形進行分析。如果各基本變形都比較重要，那么就必須按組合變形問題來考慮。要，那么就必須按組合變形問題來考慮。二、疊加原理二、疊加原理桿在組合變形下的應力和變形分析，一般可利用疊加原理。桿在組合變形下的應力和變形分析，一般可利用疊加原理。疊加原理：疊加原理： 實踐證明，在小變形和材料服從虎克定律的前提下，實踐證明，在小變形和材料服從虎克定律的前提下，桿在幾個載荷共同作用下所產生的應力和變形，等于每個載荷桿在幾個載荷共同作用下所產生的應力和變形，等于每個載荷單獨作用下所產生的應力和變形

4、的總和。單獨作用下所產生的應力和變形的總和。當桿在外力作用下發(fā)生幾種基本變形時，只要將載荷簡化為一當桿在外力作用下發(fā)生幾種基本變形時，只要將載荷簡化為一系列發(fā)生基本變形的相當載荷，分別計算桿在各個基本變形下系列發(fā)生基本變形的相當載荷，分別計算桿在各個基本變形下所產生的應力和變形，然后進行疊加，就得到桿在組合變形下所產生的應力和變形，然后進行疊加，就得到桿在組合變形下的應力和變形。的應力和變形。另外，在組合變形情況下，一般另外，在組合變形情況下，一般不考慮彎曲剪應力不考慮彎曲剪應力。12-2 12-2 組合變形的應力分析組合變形的應力分析桿的組合變形形式多種多樣，工程中最常遇到的是彎曲與軸向桿的

5、組合變形形式多種多樣，工程中最常遇到的是彎曲與軸向拉伸或壓縮的組合變形、彎曲與扭轉的組合變形，無論是哪種拉伸或壓縮的組合變形、彎曲與扭轉的組合變形，無論是哪種組合變形，解決問題的方法和過程都是完全一樣的。組合變形，解決問題的方法和過程都是完全一樣的。通過實例，介紹用疊加原理求解組合變形問題的方法和思路。通過實例，介紹用疊加原理求解組合變形問題的方法和思路。例例12-1：如圖如圖12-312-3所示起重架的最大起吊重量（包括行走小車等）所示起重架的最大起吊重量（包括行走小車等）為為P P=40kN=40kN，橫梁，橫梁ACAC由兩根由兩根NoNo1818槽鋼組成，材料為槽鋼組成，材料為A A3

6、3鋼，許用應鋼，許用應力力=120=120MPaMPa。試校核橫梁的強度。試校核橫梁的強度。（1）取）取AC為研究對象，受力分析，判斷變形形式。為研究對象，受力分析，判斷變形形式。解：解：對對AC列平衡方程：列平衡方程：AC受力如圖受力如圖12-4（a）所示，為平面一般力系。所示，為平面一般力系。 0Cm30sin5 . 325 . 3TP解得：解得：T=P 將將T分解為沿分解為沿AC桿軸線的分量桿軸線的分量Tx和垂直于軸線的分量和垂直于軸線的分量TyKNTTx6 .34234030cosKNTTy20214030sin可見，可見， Tx和和Fcx使使AC產生軸向壓縮，而產生軸向壓縮，而Ty、

7、P和和Fcy產生彎曲變產生彎曲變形，所以形，所以AC桿實際發(fā)生的是軸向壓縮與彎曲的組合變形。桿實際發(fā)生的是軸向壓縮與彎曲的組合變形。（2）作內力圖，找出危險截面）作內力圖，找出危險截面AC梁的軸力圖和彎矩圖如圖梁的軸力圖和彎矩圖如圖12-4（b）所示。）所示。從圖中可以看出，在梁的中間截面上有最大彎矩，而軸力在各從圖中可以看出，在梁的中間截面上有最大彎矩，而軸力在各個截面上是相同的，所以，梁的中間截面是危險截面。個截面上是相同的，所以，梁的中間截面是危險截面。（3）基本變形下的應力分析）基本變形下的應力分析軸向壓縮：軸向壓縮： 軸力軸力 FN=Tx=34.6kN通過查表得每根槽鋼的截面面積為通

8、過查表得每根槽鋼的截面面積為 A=29.3cm2則橫截面上的應力則橫截面上的應力MPaAFNN9 . 5109 . 5103 .2926 .3464截面應力分布如圖截面應力分布如圖12-4（c）所示。）所示。彎曲應力分析：彎曲應力分析： 危險截面的彎矩為危險截面的彎矩為 Mmax=Ty3.52=203.52=35kNm通過查表得每根槽鋼有通過查表得每根槽鋼有 Iz=1370cm4，Wz=152cm3危險截面上的最大彎曲正應力為危險截面上的最大彎曲正應力為MPaWMyM115101151015221035663max截面上的彎曲正應力分布如圖截面上的彎曲正應力分布如圖12-4（c）所示。）所示。

9、（4） 組合變形下的最大正應力組合變形下的最大正應力組合變形下的最大正應力為壓應力，在上表面上，最大組合變形下的最大正應力為壓應力，在上表面上，最大值為值為最大應力幾乎等于許用應力，故可安全工作。最大應力幾乎等于許用應力，故可安全工作。MPaMN9 .1201159 . 5max例例12-2：圖圖12-5（a）所示為一鉆床，在零件上鉆孔時，鉆床的）所示為一鉆床，在零件上鉆孔時，鉆床的立柱受到的壓力為立柱受到的壓力為P=15kN。已知鉆床的立柱由鑄鐵制成，許用。已知鉆床的立柱由鑄鐵制成，許用拉應力，拉應力，拉拉=35MPa，e=400mm試計算立柱所需的直徑試計算立柱所需的直徑d。（1）內力分析

10、，判斷變形）內力分析，判斷變形形式形式解：解：用截面法求立柱橫截面上用截面法求立柱橫截面上的內力，如圖的內力，如圖12-5（b）所）所示，橫截面上的內力有兩示，橫截面上的內力有兩個，軸力個，軸力FN和彎矩和彎矩M，且，且有有kNPFN15mkNePM64 . 015所以立柱發(fā)生的是軸向拉伸和彎曲的組合變形。稱為所以立柱發(fā)生的是軸向拉伸和彎曲的組合變形。稱為偏心拉伸偏心拉伸。（2）應力分析）應力分析兩種基本變形下橫截面上的應力分布分別見圖兩種基本變形下橫截面上的應力分布分別見圖12-5（c）所）所示。由此可見，立柱橫截面上的最大拉應力為示。由此可見，立柱橫截面上的最大拉應力為根據根據強度條件強度

11、條件332332max1063210154324dddMdFWMAFNNtmaxt有有6332310351063210154dd由上式可求得立柱的直徑由上式可求得立柱的直徑 d122mm例例12-3：如圖如圖12-6（a）所示，電動機的功率為）所示，電動機的功率為9kW，轉速為，轉速為715r/m，皮帶輪直徑，皮帶輪直徑D=250mm，電動機主軸外伸部分長度為，電動機主軸外伸部分長度為l=120mm，直徑，直徑d=40mm。求外伸部分根部截面。求外伸部分根部截面A、B兩點的應力。兩點的應力。（1）分析受力，判斷變形）分析受力，判斷變形形式形式解：解：電動機主軸外伸部分可簡電動機主軸外伸部分可簡

12、化為圖化為圖12-6（b）所示的懸）所示的懸臂梁，其中臂梁，其中FP32222FDDFDFm根據軸傳遞的功率和轉速可求出軸所受的外力偶矩為根據軸傳遞的功率和轉速可求出軸所受的外力偶矩為根據軸的平衡，有根據軸的平衡，有則有則有mNnNmk1207159954995490mNmm12001202FD得得F=950N 在在P和和m作用下，軸產生彎曲與扭轉的組合變形。作用下，軸產生彎曲與扭轉的組合變形。（2）根部截面的內力分析）根部截面的內力分析作軸的扭矩圖和彎矩圖如圖作軸的扭矩圖和彎矩圖如圖12-6（c）所示。）所示。根部截面上的扭矩根部截面上的扭矩彎矩彎矩mNmT120mNFlPlM34612. 096033（3）應力分析）應力分析根部截面在彎曲、扭轉基本變形下的應力分布如圖根部截面在彎