11華北電力大學(xué)第十一章氣體的一維高速流動

1、第十一章氣體的一維高速主要內(nèi)容聲速和馬赫數(shù)氣體的一維定常等熵一維定常變截面管流一維流中的激波空間流場中微弱擾動波的超聲速氣流的小角折轉(zhuǎn)膨脹波斜激波拉伐爾噴管的非設(shè)計工況分析§11-1聲速和馬赫數(shù)一、流體的可壓縮性與微弱擾動的在可壓縮性介質(zhì)中，壓強擾動以波的形式的大小與介質(zhì)的壓縮性有關(guān)。，其速度例如，聲音即為一微弱的壓強性不同，可壓縮性小的速度高，可壓縮性大的速度低。由此可見，聲速值反映了流體可壓縮性的大小。微弱擾動波的過程管中充滿可壓縮流體，左端裝有一活塞，處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)活塞突然以速度dV向右運動時，活塞附近的流體首先被壓縮，其壓強、密度產(chǎn)生一微小增量dp、dr；同時，這一層流體質(zhì)

2、點也以速度dV向前 運動。這一層被壓縮了的流體隨之又壓縮其前方鄰近的一層流體，使其也產(chǎn)生一個微小增量dp、dr和dV。這樣一層一層向前，形成了一個已受擾動和未受擾動區(qū)域的分界面，這個分界面以速度a向前運動。未受擾動區(qū)，氣體的各物理參數(shù)分別為V=0、p、r和T；受擾動區(qū)域，氣體的各物理參數(shù)分別為dV、p+dp、r+dr和T+dT。擾動分界面即相當(dāng)于一道擾動波，并以a的速度向前 擾動的氣體質(zhì)點以速度dV運動。，而波后受體圖11-1 微弱擾動的p+dp+ddV T+dTpa 靜止氣T二、微弱擾動的速度聲速氣體氣體通道固定不動相對坐標(biāo)系（波面固定不動）擾動過程為非定常過程。為得到定常，可設(shè)想觀察者隨波

3、面以聲速a向右運動，氣體相對觀察者定常地由右向左。經(jīng)過波面參數(shù)變化為：a® a dV、 p® p+dp 、 r® r+dr 、 T ® T+dTp+dp+da-dV T+dTpa 靜止Tp+dp+ddV T+dTpa 靜止T取包含波面在內(nèi)的控制體，質(zhì)量守恒定理raA=(r d+ ra )(動量定理- Vd )= adrAdVr+r dr a - ( - V d )- (- a)= (p)-dpra+pdaApdAV= dp r + dra2dpdrdrra =微弱擾動的通常稱為聲速速度r + drr» 1由于是微弱擾動 pdrd 液體，可用液體

4、的彈性模量關(guān)系式= Ea=E=drp/rdr三、氣體中的聲速對于氣體，dp/dr比值取決于微弱擾動所引起的熱力學(xué)過程。最早進(jìn)行研究的是牛頓，他認(rèn)為微弱擾動引起的溫度變化很dpdr小，可以忽略不計，按等溫過程處理。因而得a=出= RT的結(jié)論。按該式計算的0°C情況下空氣中聲音速度為280m/s，但當(dāng)時實際測量速度為330m/s。兩者相差超過17%。牛頓解釋為空氣中的灰塵和水份阻礙了聲音的。拉斯糾正了這一理論錯誤，認(rèn)為聲波的過程是絕熱的，又因為是微弱擾動，可視為等熵過程。由等熵方程：p=dp = k pC=常數(shù)r krdr pa = kRTkdpdrra =用該式計算的聲速值與實測值基本

5、一致。聲速值反映了流體的可壓縮性，聲速值的大小與流體種類和所處狀態(tài)有關(guān)。對于某種氣體來說，它僅是溫度的函數(shù)，因此，聲速值也是氣體的狀態(tài)參數(shù)之一。在同一流場中，由于各點的溫度隨氣體的速度而變化，故各點的聲速值也不同，所以有當(dāng)?shù)芈曀僦Q。四、馬赫數(shù)氣體動力學(xué)中，馬赫(Mach)數(shù)為氣體流速與當(dāng)?shù)芈曀僦? VaMM<1為亞聲速M=1為聲速M>1為超聲速；。§11-2氣體的一維定常等熵一、一維定常的基本方程drdVAdrVA = 常數(shù) +0=1、連續(xù)性方程rp = 0VA1V dV+d2、歐拉運動微分方程r2V+V d=Vh+=常數(shù)dh03、絕熱的能量方程2p = RT4、完全

6、氣體的狀態(tài)方程rk -1r2r1T2æ p2örpr kkp= ç÷øk -1=(= 常數(shù))=(k 2 2 )5、等熵過程方程rT1è p1p11二、等熵的三個參考狀態(tài)及計算1 滯止?fàn)顟B(tài)將氣流速度按等熵過程滯止為0，氣體的動能完全轉(zhuǎn)化為焓，這個狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)。分別以h0，p0，0，T0和a0表示滯止焓、滯止壓強、滯止密度、滯止溫度和滯止聲速。2V+= h0常= 數(shù)h滯止焓代表質(zhì)量氣體的總能量滯止焓22V+= h0T常= 數(shù)h2p = RTa2kkpk -1 r= ch=T=RT =焓 hc pprk1-k -1cpRk =-c=ca

7、2pkkpV=T =RT= 0 0k - 1滯止焓hccp00k -1r0k - 1Vpa = kRTkr能量方程的其他形式22VkVkcpT += cpT0k - 1 RT +=RTk - 102222pkpVka 22aV+= 0 += 0k - 1k - 1 rk - 1 r02k - 12以馬赫數(shù)表示的任意狀態(tài)下的參數(shù)和滯止參數(shù)間的關(guān)系k -112 ) 2Tk - 1a= 1 += (1 + 0 Tr 0r2M 0 aM221= (1 + k - 1 M 2 ) k -1 k M 2 ) k -1k - 1p 0 = (1 +p22在已知滯止參數(shù)的情況下，可利用上述各式由氣流的M數(shù)求出

8、相應(yīng)的各物理參數(shù)，也可用于由已知參數(shù)求滯止參數(shù)。2臨界狀態(tài)過程中，當(dāng)?shù)芈曀賏隨著氣流速由能量方程可知，氣體在絕熱截面，氣體流速V恰好等于當(dāng)?shù)芈曀賏，這度的增大而減小，在某個個狀態(tài)就是由亞聲速向超聲速轉(zhuǎn)變的臨界狀態(tài)，一般稱為臨界狀態(tài)。相應(yīng)的物理參數(shù)成為臨界參數(shù)，以h*，p*，*，s*，T*和a*。將M=1代入任意狀態(tài)下的參數(shù)和滯止參數(shù)間的關(guān)系式kp*21) 2a2= (k -1k+ 1)= ( * pk+ 12a00 1 ) k -1T*r2= * = (k+ 1r 08333k + 1T0rT*0 * .=6339=0.對于k=1.4的空氣r5283T0a*00.=p91290 * .=a0p

9、03.極限狀態(tài)氣體在絕熱，將中，它的總能量是一個常數(shù)。如果氣體充分膨無規(guī)則運動的動能全部轉(zhuǎn)換為宏觀運動的動能，脹，則氣流的靜壓p和靜溫T將降為0，氣體的速度將達(dá)到最大值Vmax，這時的狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。最大速度是氣流膨脹到真空時的極限速度。2Vmax2V利用能量方程+h=h=0222k2a0=2h =RT=Vmax00k -1k -1最大速度是理論上的極限值，實際上不可能達(dá)到。三、速度系數(shù)VM=以氣流速度和臨界聲速之比表示氣體的，稱為速度系數(shù)*a*22a 2a 2a 2a 2VV2=*= M * 0 a 22* 0 a 2M與M 的關(guān)系為：M*a 2a 2a 2a 2*0022a 2a 2a

10、2a 2VVk + 12=* 0 = M *2* 0 M2Ma 2a 2a 2 a 2a 2a 2=2*002*Mk - 11 +2M12 ) 2k - 1a220= (1 +Ma22M*1) 2= k + 1a*22M= (1 - k -1 Mk+ 1a2*0k + 1速度系數(shù)也是劃分氣體類型的標(biāo)準(zhǔn)M=0時，M*=0，不可壓流； M<1時，M*<1，亞聲速流； M=1時，M*=1，聲速流； M>1時，M*>1，超聲速流。k + 1當(dāng)M®¥時，速度系數(shù)M卻趨于一有限值=M*maxk - 1這是由于聲速值隨氣流速度的增大而減小，當(dāng)VVmax時，a0，故

11、M®¥；而臨界聲速a*不隨V而變，故當(dāng)VVmax時，M*為一有限值。除此，因a*為常數(shù)，若已知各點M而求V時，只需用M*乘以a* 便可得到，而不必求出每一點的a值，比M數(shù)似乎要方便一些。用速度系數(shù)M*表示的氣體動力學(xué)函數(shù)式= 1 - k - 1 MT2*k + 1k - 1T01* ) 2a2= (1 -Mk + 1a0pkkk - 12-1= (1 -M* )k + 1k - 1p0rkk2-1= (1 -M * )rk + 10四、氣流按不可壓縮處理的限度根據(jù)氣體動力學(xué)函數(shù)式，可分析不考慮壓縮性所帶來的誤差。下面用皮托管測流速問題來說明。皮托管所測的是氣流總壓和靜壓之差

12、。對于不可壓流體，p0 - p = 1p= p + 1 rV2( p0 - p)r2V =1 rV0222對于可壓縮流體 k M 2 ) k -1k -1p= (1+ 0 p2當(dāng)M數(shù)較小時，上式可用二項式展開2(2 - k)M4p0k2M» 1 +M 1 +2+ "p424rV222kk VkV=2 a 2=2 kp / r2M2其中2 prV22(2 - k )M4M= p +1 + "代入上式，得p02424因而得到p - pM 2(2 - k )M 4+" = e > 1= 1+ 01 rV 24242求得速度表達(dá)式為 2 ( p0 - p)

13、V =er對于空氣來說，k=1.4。當(dāng)M=0.2時，若按V=e > 1 不可壓不可壓流處理，皮托管測速誤差約為0.6%。在常溫下，這時的空氣流速約為68m/s。若M=0.3，則測速誤差約為1.1%，常溫下相應(yīng)的空氣流速約為102m/s。V可壓流§11-3一維定常變截面管流一、管流截面積與流速關(guān)系設(shè)為一維定常等熵，不計粘性的一維動量方程為dp drdp +V dV = 0r+V dV = 0dra 2rd= rdV-Vd V= M -2dpdrra 2V=drdVAd代入一維連續(xù)方程 +0=rVAd A=dV-12 ( VM)A¾，M<1，則dA/A與dV/V的符

14、號相反。亞聲速截面減小時，速度增大；截面增大時，速度減小。這是由于在超聲速時，氣體膨脹加大，密度變化較快。根據(jù)連續(xù)方程rVA=常數(shù)，要使單¾，M>1，則dA/A與dV/V的符號相同。超聲速截面減小時，速度減??；截面增大時，速度增大。 位時間內(nèi)通過各截面的質(zhì)量相同，以維持定常。故當(dāng)速度增大 時，通道截面必須擴 大；否則，由于氣體的迅速膨脹而通道面積不夠就會使通過質(zhì)量減少。¾聲速流，M=1，則dA=0。在截面管道中，聲速只能發(fā)生在dA=0的截面上。從數(shù)學(xué)上看，dA=0的截面可能是最小截面，也可能是最大截面。但由前面的分析可知，氣流速度達(dá)到聲速，只能發(fā)生在最小截面上。達(dá)到聲

15、速的截面稱為臨界截面。區(qū)分管道最小截面和臨界截面最小截面是對管道幾何而言的，在最小截面上，氣流速度不一定能達(dá)到聲速。氣流速度不是聲速的最小截面則不叫臨界截面。要使氣流在最小截面上達(dá)到聲速，需要達(dá)到一定的比值。的壓強從以上分析看出，單純收縮管道不可能得到超聲速氣流。為了得到超聲速氣流，必須使管道先收縮，然后再擴張。亞聲速氣流在收縮段入擴張段進(jìn)一步，并在最小截面上達(dá)到聲速，然后進(jìn)而得到所需要的超聲速氣流。這種收縮一擴張形管道是十九世紀(jì)瑞典工程師拉伐爾(Laval)發(fā)明的，故稱為拉伐爾噴管。二、截面面積比關(guān)系式推導(dǎo)任意兩個截面的面積與相應(yīng)截面上的馬赫數(shù)的關(guān)系根據(jù)連續(xù)方程r1V1 A1 = r 2V2

16、 A2k +1æ 1 + k - 1 Mö 2(k -1)r 2V2A121ç÷÷=A1M 22r VçA=21 1ç 1 + k - 1 M÷A2M 1 1 22ç÷r 2æ T2ö k -1èø2根據(jù)等熵關(guān)系= ç÷Tr1è1 ø1ö 2M 2 æ T2V2M 2 a2ç÷T=VM aM1 è1 ø1111 + k - 1 M21T2= T2T0k -

17、1T2k - 1=2 0 T= 1 +MTTT21 +22M1012如果M2=1，即A2=A*。為臨界截面時，則可得到任一截面的面積與臨界截面之比與該截面上的馬赫數(shù)的關(guān)系式k +1(1 + k - 1 MA1é22 )ù 2(k -1)=A*M êë k + 1úû2工程上常將A/A*隨M數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系編列成表A(1)對于同一面積比A/A*，A*有兩個馬赫數(shù)與之對應(yīng)，一個M<1，另一個M>1。5.04.03.02.0(2)在M<1時，面積收縮(即1.0A/A*的值減小)，M數(shù)增大；在M>1時，恰好相反。3.0

18、1.02.0M圖11-3 A/A*與M數(shù)關(guān)系曲線(k=1.4)三、收縮噴管p2,V2p1,V1噴管是使氣流的一種裝置。截面逐漸縮小的收縮噴管可(a)使亞聲速氣流，其最大極限pp0可到聲速。設(shè)氣體由一個容器中經(jīng)收縮噴p* p00管向外流出，由于容器較大，可近似地把容器中的氣體看作是靜止的，則可將容器中的氣體參數(shù)視為滯止參數(shù)，分別為p0，0， T0，噴管出口截面上氣流參數(shù)設(shè)為p1，1，T1。噴管口以外的氣體壓強為pb，稱為背壓。x(b)Mx(c)忽略摩擦，設(shè)為等熵。圖11-4 收縮噴管V0=0p0, 0,T0列出大容器和噴管出口截面上的能量方程2pkkpV出口流速=+ 0 k - 1 r0 1 1

19、 2k - 1 r1ék -1 ùæö2kp0êp1úúúûkê1 - ç p÷V1 =1æö kk - 1 rpè0 ør1= r 0 ç1 ÷根據(jù)等熵條件êë0è p0 øék -1 ù1ö kæ p1æ p1ö2kêkúúúûçè÷&

20、#248;ç÷Qm = r1V1 A1 = Ap r1 -質(zhì)量流量為êêë1-00pk1pè0 ø0可以看出，在給定滯止參數(shù)和出口面積A1的情況下，噴管的質(zhì)量流量Qm的大小取決于壓強比p1/p0。 流量隨壓比的變化 (1) 當(dāng)pb=p0 時，由于噴管兩端無壓差，氣體不p1=pb，這時p1/p0=1，Qm=0。(2) 當(dāng)p*<pb<p0時，氣體將沿收口縮噴管逐漸。出口壓強向外，在出得到低于聲速的氣流，即V1<a，出口氣流壓強p1=pb。ék -1 ùæö2kp0p1&#

21、234;úúúûk出口流速ê1 - ç p÷V1 =k - 1 rè0 øêë0Qmbcéêk -1 ù1æ p1ö kæ p1 ö2kkúúúûAç1÷çr1-÷=流量Qk -1 p0êm0ppè0 øè0 øQm*êëpbaop*p0圖11-5 收縮噴管流量與壓強比

22、的關(guān)系(3) 當(dāng)pb=p*時，氣體在出口達(dá)到聲速，出口壓強p1=pb= p*。故可得kö k -1p1=p*=æ2ç÷k+ 1 øp0pè0k +1æ2ö ( k + 1 ×)2kp0 r=ç÷QA代入流量公式，得臨界流量為m*0k + 1èø(4) 當(dāng)pb<p*時，由于在出口已達(dá)到聲速，低于臨界壓強p*的壓強擾動不能向噴管內(nèi)，影響管內(nèi)的，故噴管流量仍為臨界流量。管口流仍為聲速，管口壓強仍等于臨界壓強。氣流在流出管口后，再繼續(xù)膨脹，使其壓強與外界環(huán)境壓強相等。

23、可見臨界流量Qm*即為噴管的最大流量。再降低壓比塞狀態(tài)。增加流量，故這種狀態(tài)稱為噴管的壅A*四、縮放噴管p0噴管的收縮部分的作用和收縮噴管完全相同，氣流到最小截面達(dá)到臨界聲速，而后，在擴張部p1/ 0p.0分繼續(xù)，在管口達(dá)到設(shè)計要求a的超聲速流。噴管按設(shè)計工況p e2/p0d時，管內(nèi)的速度和壓強沿噴管軸向的變化如圖中的abc曲線所示。出口截面上的氣流速度仍可按收縮噴管中的公式計算，只需將出口截面上的壓強pel代入即可。最小截面上達(dá)到聲速，流量達(dá)到最大值。0.528bp/pe10cxM1 . 0x116 縮放噴管內(nèi)的將噴管做成先收縮后擴張的拉伐爾噴管，只是形成超聲的必要條件。要想獲得所需的超聲速

24、氣流，還必須保證噴管的和出口之間的應(yīng)有的壓強差。當(dāng)pb=pel時，氣體才可能像圖中所示的設(shè)計工況。當(dāng)背壓pb= pe2時，雖在最小截面上達(dá)到聲速，但由于pe2高于臨界壓強p*，在噴管的擴張部分，氣體也只能像圖中曲線abd那樣，按亞聲速規(guī)律。當(dāng)背壓pb> pe2時，則在最小截面上也達(dá)不到聲速，整個管道完全是亞聲速。當(dāng)pel<pb< pe2時，會出現(xiàn)等熵。當(dāng)pb<pel，和收縮噴管一樣，氣流只能在流出管口以后膨脹，影響管內(nèi)，噴管流量仍為臨界流量，也就是最大流量。這時的狀態(tài)也稱為縮放噴管的壅塞狀態(tài)。§11-4一維流中的激波在氣體中施以微弱的壓強擾動，將會形成微弱擾動

25、波，以聲速向前。擾動波會引起氣體參數(shù)的微小變化，其過程為等熵過程。如果氣體受到強壓縮優(yōu)動，就會形成強的壓縮擾動波，以比聲速大得多的速度Vs向前。它所引起的氣體參數(shù)變化不再是微量，而是有限量的突躍性變化。即擾動波在其極薄的面上引起氣體壓強、密度、溫度及氣體質(zhì)點速度發(fā)生明顯的變化。其變化過程為不可逆的絕熱過程。 這樣的強壓縮擾動波稱為激波。在空氣中形成的沖擊波就是激波。在空氣中以超聲速飛行的物體或超聲速氣流遇到物時也會形成激波。激波也叫沖波。一、激波的形成管內(nèi)氣體原處于靜止?fàn)顟B(tài)，V1=0，其它參數(shù)為p1、1和T1?，F(xiàn)推動活塞向右作運動。把活塞連續(xù)的過程分解為逐步的過程?；钊阅骋晃⑿∷俣菵V開始運

26、動，產(chǎn)生了第一個弱壓縮擾動波，以當(dāng)?shù)芈曀賏1向右，波后氣體的壓強、密度和溫度分別提高了一個小增量Dp、Dr和DT，波后氣體的速度由零提高到DV。若使活塞再有一個小，便產(chǎn)生第二道微弱壓縮擾動波，這道波將以波后溫度已提高為T1+DT的當(dāng)?shù)芈曀賏2相對于氣體質(zhì)點而，由于氣體質(zhì)點已獲得了DV的速度，所以，第二道波的實際速度是a2+DV。波后的壓強、密度和溫度也相應(yīng)又有一小的增量Dp、Dr和DT。若使活塞進(jìn)一步，可以類推，越是后面的壓縮波，運動速度越快。波間距離會越來越小，最終會疊加在一起，形成一道突躍壓縮波，即激波，以比當(dāng)?shù)芈曀俅蟮枚嗟乃俣认蜻\動。激波經(jīng)過未受擾動的氣體 時，氣體參數(shù)由p1、1和T1突

27、變?yōu)閜2、2和T2。波后氣體的速度也由零突變?yōu)閂f，稱為伴隨速度。上面所討論的激波面與激波的運動方向垂直，故稱為正激波。pp2p1通常把激波當(dāng)成沒有厚度的突躍面來處理。實際上激波是有厚度的 一個區(qū)域，在這個區(qū)域 內(nèi)氣流參數(shù)發(fā)生急劇變化。但這個厚度很薄，xpp2與氣體同數(shù)量級。平均自由程p1圖11-8 激波的形成p1, 1, T1p2, 2, T2二、正激波的速度采用相對坐標(biāo)系，即相當(dāng)于對整個系統(tǒng)加一個與激波運動速度大小相等，方向相反的速度，讓激波固定不動，氣體穿過激波V1=Vs，V2=VsVf，如圖11-9所示。對所示控制體應(yīng)用連續(xù)方程，1rV= rV122動量方程= r1V (1p-2V-2

28、p) 1V1p1 r2-=p圖11-9 激波坐標(biāo)變換2V21rr-r211V2=Vs-VfV1=Vs因V1的大小與激波運動速度Vs相等，方向相反，故可求出激波的運動速度Vsp2 - p1 r 2V=sr- rr211將V1=Vs，V2=VsVf代入連續(xù)方程= r2 - r1 Vr V= r (V - V )V1s2sffrs2( p2 - p1 )(r2 - r1 )V=r rf12-1p)r(r2-p-p1 r 2=(p2)V=21Vsrr-rr rf21112速度Vs以及伴隨速度Vf與激波強度有關(guān)。激波的激波越強，也就是壓強和密度的變化越大，則激波的快，伴隨速度也越大，反之亦然。速度越dp

29、當(dāng)激波強度為無限弱時，r2» rV =a1，則速度將sdr，伴隨速度Vf=0。也就是說，激波已變成微弱擾動波。為激波相對其前方未受擾動的氣體質(zhì)點的速度一定大于當(dāng)聲速。將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過來，若激波不動，氣流穿過激波面而運動，則可以說波前氣流速度V1一定是超聲速的。因此，對于氣體作定常的問題中，只有超聲速氣流中才能出現(xiàn)激波。對于物體在氣體中運動的問題，如果有激波出現(xiàn)在物體前部，與物體一起向前運動，則物體的運 動速度一定是超聲速的。三、正激波前后氣流參數(shù)的關(guān)系為分析方便，我們?nèi)圆捎们笆龅淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換，設(shè)激波固定不動，激波前的氣流參數(shù)分別為V1、p1、1和T1，經(jīng)激波后突變?yōu)閂2、p2、2和T2。r1

30、V1 = r 2V2p2 - p1 = r1V1 (V1 -V2 )連續(xù)方程動量方程V 2V 2Ppkk 1+2p1 1 = 2 + 2 穿過激波的過程是絕熱過程k - 1 r1k - 1 r 22P2r 2T2=激波前后的狀態(tài)滿足狀態(tài)方程r1T1k -1krTpp1) kr 2r1= ( p2 2 T1= ( 2 )p1 2 = (2 ) k等熵壓縮r1p1p1M = V= kp / ra 2a= 1M *1 M *2V1V2 = a 2或*(k - 1)M+ 22M 2 =2 12kM 2 - (k - 1)12kp2= 1 +(M-1)21k + 1p1r2r1(k +1)M2= V1V

31、2= 1(k -1)M21+ 22(k -1)(kM+1)2T= 1+-1)2 2 1(M1(k +1)2 M 2T11= T01T02k1(k + 1)M= éù k -1 ék + 1ù k -1p02 = r0221êëúûêëúûp01r01(k - 1)M+ 222kM- (k - 1)211ìïé (k - 1)M+ 2 ù k é 2kM- (k - 1) ùüï22S- S= C

32、1ê1úýlníêú21V(k + 1)Mk + 12ïîë1û ëûïþ> 1,< 1(1)波前氣流是超聲速的，波后氣流速度是亞聲速的，即 M *1M *2或 M1 > 1,。M 2 < 1(2) 波后與波前氣流參數(shù)的比值而增大。r2p2T2 隨波前氣流的M 數(shù)的增大p 、r 和 T1111= T01(3) 由于過程是絕熱的，總能量不變，故總溫不變 T02。(4) 穿過激波過程雖是絕熱的，但不可逆。因為當(dāng)氣體穿過激波時，部分機械能

33、消耗于摩擦、碰撞、擠壓而不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能。故反映總機械能的總壓p0 將會減小，因總溫T0 不變，根據(jù)狀態(tài)方程的關(guān)系， p0=r0RT0 ，故總密度也隨之減小。(5) 穿過激波熵值增加，為不等熵過程，熵增隨波前馬赫數(shù)M1的增大 而增大；反之變?nèi)?。?dāng)M1=1時，熵增為零，上述各比值也都為1，即波前后的參數(shù)變化趨于零，激波變成了微弱擾動波。四、激波突躍壓縮與等熵壓縮的比較k + 1 r2k + 1 p2- 1æ p2ö 2 k + 1 p2+ 1+ ç÷øk - 1 r1p2rk - 1 p=k - 1 p1p1T2 T=è 2 1rk

34、+ 1=pk + 1 +r1p2-2 k + 1 p21 + 1k - 1r1k - 1pk - 1 p111稱為蘭金一雨貢紐(Rankine-Hugoniot)公式。它描述了氣流經(jīng)過激波的密度突躍、溫度突躍與壓強突躍之間的關(guān)系。對于等熵壓縮，它們應(yīng)遵循k -1krTpp1) kr 2r1= ( p2 2 T1= ( 2 )p1 2 = (2 ) kr1p1p1在同一壓縮比下，突躍壓縮的溫度比要比等熵壓縮的溫度比高，而密度比較小。r 2®p2®¥¥r1當(dāng)時，等熵壓縮；p1r 2突躍壓縮® k + 1，是一個有限度值。不管激波多r1超過k - 1

35、r2r1k + 1么強，密度比這個極限。k - 1對于空氣k=1.4，超過6。這是由于氣流在通過激波時，有部分機械能不可逆地轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，溫度升高較大。而溫度的增高會使氣體膨脹，密度減小。這樣，使激波壓縮所導(dǎo)致的密度的增高受 到了限制。§11-5空間流場中微弱擾動波的通過對不同速度的流場中微弱擾動波的情況說明超聲速和亞聲速的差別。一、靜止流場在靜止流場中，空間某點存在一微弱擾動源，它所產(chǎn)生的擾動波以聲4a3a2aV =0a速a向四周，形成以擾動源所在位O置O為中心的同心球面波，。如果不考慮擾動波的過程中的損失，隨著時間的延長，擾動必將傳遍整個流場。靜止流場二、均勻亞聲速流場在均勻亞聲速

36、流場中，處于某一固定點上有一小擾動源，它4a3a2a所產(chǎn)生的擾動波。由于V <aaO流體本身以速度V運動，故擾動波的絕對速度應(yīng)是兩個速度的矢量和。由于V<a，故擾動波面是由一串不同心的球面所組成。顯然，隨著時間的延長，擾動也可以傳遍整個流場。V2V3V4V均勻亞聲速流場三、均勻聲速流場A馬赫錐4a3a在均勻速流場中，處于某一固定點的一個小擾動源所產(chǎn)生的擾動2aV=aa。由于V=a，故擾動波波O是與擾動源相切的一系列球面。可以看出，任何擾動只能在擾動源所V在的垂直平面的下游半空間，2V3V永遠(yuǎn)不可能到上游半空間。4VB均勻聲速流場四、均勻超聲速流場A馬赫錐情況如圖12-1d擾動波的所

37、示，由于V>a，擾動波面由自擾4a3a動源點出發(fā)的錐面的一系列內(nèi)切球面所組成。通常稱此錐為馬赫錐。顯然，擾動只能在馬赫錐內(nèi)V >a2aaO，永遠(yuǎn)到馬赫錐以V外的空間。馬赫錐的半頂角稱為馬赫角，用表示。它與馬赫數(shù)的關(guān)系為：2V3V4VBa=1sin m=12-1(d)均勻超聲速流場VM馬赫錐通常也稱馬赫波。馬赫波就是超聲速氣流受到微弱擾動時，所形成的已受擾動影響和未受擾動影響的分界面。三維流場形成錐形波面；二維流場則形成相交的平面波，故稱馬赫波比馬赫錐具有更廣泛的意義。穿過馬赫波，氣流狀態(tài)參數(shù)發(fā)生微變化，其變化過程為等熵過程。§11-6超聲速氣流的小角折轉(zhuǎn)，在O點折轉(zhuǎn)一小角

38、度dq，均勻超聲速氣流沿平壁，由于壁面存在折角，必然對氣生擾動，折角即為一擾動源。特征，擾動將在由折轉(zhuǎn)點O所發(fā)生的馬根據(jù)超聲速氣流中擾動赫波的下游區(qū)域內(nèi)，馬赫波上游的區(qū)域不受擾動的影響。經(jīng)馬赫波，氣流的速度由V變?yōu)閂+ d V，氣流的方向也由水平方向折轉(zhuǎn)一個小角度dq，沿平行于折轉(zhuǎn)后的壁面的方向V。V+dVmdqO超聲速氣流的小角折轉(zhuǎn)為求出折角dq與速度變化量dV之間的關(guān)系，我們建立沿馬赫波方向的動量方程Qm (V + dm =)cVos(m + dq ) - Vcos0= r Vn = rsiVn m ，為穿過馬赫波每式Q中面積上的質(zhì)量流量。m展開上式，考慮到dq ® dqdq &

39、#174;1dsqin®q ，并d略去高階小量，得，cos故,cosmdqd=Vsin mV-1 dVVdq=2M1cos msin m =M =2-1Msin m，M>1，根號下的值永遠(yuǎn)為正，因為超聲速當(dāng)dq>0時，則dV>0，即繞凸鈍角動，對應(yīng)的馬赫波為膨脹性馬赫波。當(dāng)dq<0時，則dV<0，即繞凹鈍角動，對應(yīng)的馬赫波為壓縮性馬赫波。為，或膨脹性流為，或壓縮性流利用能量方程、馬赫數(shù)的表達(dá)式等，可消去上式中的V和dV，得到dq與dM的關(guān)系式M-12dMq =dk -1M1 +2M2此式即為超聲速氣流小角折轉(zhuǎn)計算式，它描述了折角與馬赫數(shù)變化之間的關(guān)系。式

40、中折角dq 以弧度計，膨脹性折轉(zhuǎn)(外折)dq 的符號為正；壓縮性折轉(zhuǎn)(內(nèi)折)dq 為負(fù)。膨脹波超聲速氣流沿平壁時，遇到微小折角會產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)過馬赫波，氣流速度的大小和方向均發(fā)生微小變化，如果壁面發(fā)生一系列折角，則在每個折角處產(chǎn)生一道馬赫波。因為是膨脹折轉(zhuǎn)，dq為正，經(jīng)波后氣流馬赫數(shù)增大，即dM為正，故馬赫波與水平方向的夾角越來越小。這來自兩個原因：一是馬赫角減小，一是氣流也在偏轉(zhuǎn)。若壁面連續(xù)地折轉(zhuǎn)，相當(dāng)于流過平滑曲線壁面，續(xù)變化的擾動區(qū)。，則會形成M1M1dqdqdqM2dqM2(a)(b)M1當(dāng)壁面的彎曲部分收縮為一點，即在一點集中產(chǎn)生一個有限大M2的折角時，則擾動區(qū)中q的所有馬赫波均

41、由此點出發(fā)，形成一個扇形擾動區(qū)，氣流通過擾動區(qū)連續(xù)變化，直到通過最后一道馬赫波達(dá)到與壁面平行為止。(c)圖12-3在此應(yīng)注意，壁面是集中一次折轉(zhuǎn)了q角，但所引起的氣流的膨脹卻是在擾動區(qū)內(nèi)連續(xù)發(fā)生，而不是“突躍”變化，也就是說，這些馬赫波雖自一點發(fā)生，但并疊加在一起，而是呈發(fā)散狀，形成一個扇形的變化區(qū)，其原因正如上面所述，即m在逐步減小，氣流也在不斷偏轉(zhuǎn)。M-12dM，可得馬赫數(shù)與折角q 的關(guān)系式：dq =將式k -1M1 +2M2q = éùúûk +1tg-1k -1M 12- t-g1-M 2()1êë22k -1k +1- &#

42、233;ùúûk +1tg-1k -1- t-g1M 12- )M 2-(1êë11k -1k +1式中M1為折轉(zhuǎn)前氣流的馬赫數(shù)，M2為折轉(zhuǎn)后的馬赫數(shù)。這里必須指出，折轉(zhuǎn)角q只要是使超聲速氣流發(fā)生膨脹性折轉(zhuǎn)即可應(yīng)用此式求之，而不必考慮它是左旋還是右旋。若起始馬赫數(shù)M1=1，上式可寫成：k + 1k -1q (M ) =-1-1(M- 1) - tgM-122tgk -1k + 1它表示起始馬赫數(shù)M1=1的氣流沿壁面折轉(zhuǎn)膨脹時，折轉(zhuǎn)角q與折轉(zhuǎn)后馬 赫數(shù)的關(guān)系。q是M數(shù)的函數(shù)，故寫成q =q(M)。該函數(shù)稱為普朗特一麥耶(Prandtl-Mayer

43、)函數(shù)。實用中將此函數(shù)的計算結(jié)果列成表格以備查用。由上式還可以求出由M1=1膨脹到M=¥時的最大折轉(zhuǎn)角qmax，即k + 1pp2q=×-maxk - 12qmax=130°27對于空氣，k=1.4斜激波一、斜激波的形成超聲速氣流遇到壓縮性小角折轉(zhuǎn)時，將產(chǎn)生壓縮性馬赫波。超聲速氣流在A點遇到一微小折角dq 的擾動，則由A點起產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)馬赫波后，氣流的方向?qū)⑵D(zhuǎn)一微小角度dq，氣流的速度及壓強、密度等均發(fā)生一微小變化，由于是壓縮性折轉(zhuǎn)，波后氣流馬赫數(shù)小于波前馬赫數(shù)。如果氣流再發(fā)生dq 角的折轉(zhuǎn)，則又會產(chǎn)生壓縮性馬赫波，馬赫波的斜率將大于前一馬赫波的斜率。這是

44、由于M數(shù)的減小使馬赫角增大，再加上氣流也向內(nèi)折轉(zhuǎn)了dq 之故，若壁面繼續(xù)折轉(zhuǎn)，則后面所形成的波的斜率就會越來越大，致使這些波會相遇而疊加起來形成一道強壓縮擾動波，即為激波。如果由A到D的逐次折轉(zhuǎn)中，使D無限接近A點， 則這些波將在A點疊加成一道與氣流夾角為的斜激波,氣流在A點一次折轉(zhuǎn)角。因激波面與來流方向呈傾斜狀態(tài)，故稱斜激波。頭部呈尖角形的物體的氣體中以超聲速運動時，也會出現(xiàn)斜激波。斜激波和正激波一樣，都是突躍壓縮波，具有相同的基本特性。一、斜激波的形成M2M2M1M1dqDCABA斜激波的形成斜激波的形成M2M1>1M1q斜激波的形成物體頭部的斜激波二、斜激波前后氣流參數(shù)的關(guān)系平面超

45、聲速氣流中存在一固定斜激波。激波前氣流參數(shù)分別為V1、p1、r1和T1，激波后為V2、p2、r2和T2。將激波前后的速度分解為與波面垂直的分速度V1n和V2n，以及與波面平行的分速度V1t和V2t。bV2V1tV2tV1V2nV1nq斜激波前后的速度由于通過激波波面的流量與沿波面的切向分速度V1t和V2t無關(guān)， 故連續(xù)方程為r1V1n= r2V2n= V1t= VtV2t切向動量方程為r2V2nV2t- r1V1nV1t = 0該式表明，斜激波前后的切向速度相同。這樣，當(dāng)氣流穿過激波時，只有法向速度發(fā)生突變。因此，可以將斜激波看成是法向速度的正激波。波前速度= V1 sin b= V2 sin(b -q )V1nV2n波后速度以M1sin代替正激波關(guān)系式，便可得斜激波前后氣流參數(shù)間的關(guān)系p22k(Msin 2 b - 1)= 1 +21k + 1p1(k + 1)Msin 2 br2V= 2 1n 1r(k - 1)Msin 2 b + 22V12n1+ 2(k - 1)(kMsin 2 b + 1)2T2b + 1)= 1122(M1sin(k + 1) 2 Msin 2 b2T11= T01T02k1ù k -1úû= é(k + 1)Msin 2b ù k -1 ép02 = r022k +