下SSA課堂教學的實踐

1、新課標下“SSA”課堂教學的實踐去年九月份開始，浙江教育出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學（七年級下）在我市推廣使用，我有幸成為使用該教材的初一數(shù)學教師。在過去使用老的浙江版教材的時候，全等三角形教學中，常常會碰到兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應相等的條件?，F(xiàn)在的新教材中，這一內(nèi)容的學習仍被放在相當重要的地位。例如課本中P23課內(nèi)練習3：如果兩個三角形有兩邊和一個角對應相等，這樣的兩個三角形一定全等嗎？又如課本P31作業(yè)題5：（1）已知和線段a、b。用尺規(guī)作ABC，使B=，BC=a，AC=b；（2）已知兩邊及其中一邊的對角，一定能作出滿足這樣條件的三角形嗎？有幾種可能？還有在作業(yè)

2、本（1）P7和作業(yè)本（2）P6以及其它教輔材料里也有類似的題目。其實我早就關(guān)注這個問題了，因為滿足這樣條件的兩個三角形往往具備一些很重要的性質(zhì)，許多學生難以理解和掌握，他們不會利用這種幾何模型，只知道兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應相等是不能判定兩個三角形全等，甚至錯誤地認為滿足這樣條件的兩個三角形一定不全等，這個問題一直成為教學上的一個難點。我是如何在課堂教學中突破這個難點的呢？一、問題的引入在進行全等三角形“邊角邊”公理教學時，我常喜歡問學生這么一個問題：（圖1）想一想，能否把邊角邊公理說成“有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等”？（結(jié)合圖形回答）這是一個非常重要的數(shù)學知識，在這里包

3、括了兩個命題，其一就是SAS公理，它是真命題。其二就是“有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等”，這顯然是一個假命題。例如在上面的圖1中，AB=A1B1，B=B1，AC=A1C1，那么可以使ABCA1B1C1，也可以使這兩個三角形不全等（如ABC與A1B1C2）。二、定義我們把兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應相等的現(xiàn)象叫做“SSA”。三、SSA現(xiàn)象的剖析（教學的片段一）等學生們學完了前面的內(nèi)容之后，我問學生：“同學們，前面我們每個同學都畫了ABC，使AB=8cm，BC=5cm，B=30°，結(jié)果每人得到的三角形都全等?，F(xiàn)在我們將條件BC=5cm改為AC=5cm，使兩邊一夾

4、角變?yōu)閮蛇呉粚?，你再畫出ABC”。話音剛落，大家就動手畫了起來，兩分鐘后陸續(xù)有人畫好了，我布置了合作交流的任務：“請大家在四人小組里進行實驗，用重疊法來判別一下你們所畫的三角形是否全等”。片刻，實驗的結(jié)果就出來了，我請學生上臺陳述實驗結(jié)果和這個結(jié)果能說明的問題，大家爭著上臺發(fā)言。因為在巡視時我發(fā)現(xiàn)同學A所在的小組四人中，所畫的三角形都彼此全等，所以請A先上來陳述。A說：“我們四個人所畫的三角形是全等的，這說明有兩邊和其中一邊上的對角對應相等的兩個三角形全等”。我說：“同意A的人舉手”。哇！有一半以上的同學舉手了。我叫了沒舉手的B來陳述。（圖2）B說：“我們四人所畫的三角形有兩種，其中三人畫的

5、是圖甲，只有我畫的是圖乙，我所畫的三角形與他們不全等，這說明有兩邊和其中一邊上的對角對應相等的兩個三角形不全等”。從同學們的眼光中我知道第一次舉手的學生有一個共同的想法：我怎么沒想到畫圖乙呢？我說：“同意B的請舉手”。這時幾乎全班同學都舉手了。我接著又問：“難道你們就沒聽出來B說話的漏洞？哪個同學能完整的敘述一下？”C說：“有兩邊和其中一邊上的對角對應相等的兩個三角形可能全等可能不全等”。我說：“同意C的請舉手”。這時全班同學都舉手了，我肯定了同學C所說的話是非常正確的。接下去我引導學生總結(jié)出“SSA”的兩條性質(zhì)。四、SSA的基本性質(zhì)（教學的片段二）從上面的圖1我們發(fā)現(xiàn)SSA有以下兩條性質(zhì)：1

6、.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形可能全等，可能不全等。（所以不能利用“SSA”判定兩個三角形全等）2.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形如果不全等，那么它們的面積相差一個等腰三角形。教師應該啟發(fā)學生進行討論，對已作的圖形進行觀察，由學生自己得出上面兩條性質(zhì)。為了應用第二個性質(zhì)，可以舉例如下。例1 已知ABC和A/B/C/中，使AB= A/B/，BC= B/C/，A=A/, 如果它們的面積之差是8平方厘米。AC和A/C/相差2厘米，求ABC中AC上的高。師：本題的難點在于沒有圖形，同學們想到應首先做什么事情？生：畫出圖形。師：要比較兩個三角形的面積之差，再根據(jù)性質(zhì)2，你們想到

7、該怎樣畫圖了嗎？生：把這兩個三角形重疊起來。師：那好，同學們就動手畫圖吧。等學生畫完后教師點撥，由上面性質(zhì)2可知，如果將兩個三角形重疊起來，就相差一個等腰三角形BC/C（如圖3），它的面積是8平方厘米，C/C=2厘米，所以高BD=8×2÷2=8厘米。由此還可以看出，滿足SSA的兩個三角形第三邊上的高是相等的。五、SSA的三種類型（教學的片段三）SSA在不同的場合有三種基本類型：1、 滿足SSA的兩個三角形可能全等可能不全等；2、 滿足SSA的兩個三角形一定全等；3、 滿足SSA的兩個三角形雖然不全等，但可以通過割去（或補上）一個等腰三角形來構(gòu)造全等。在課堂教學中我常常通過下

8、面的例子分別來說明這三種類型。例2 如圖4，AD=BC，CAB=DBA，問ABC與DBA是否一定全等？若一定全等請給出證明；若不一定全等請舉出反例。解：ABC與DBA滿足的條件是AD=BC，CAB=DBA，AB=BA，是屬于SSA，但它們不一定全等。反例如圖5，我用幾何畫板制作好課件，在直線AC上找到一點C1，使BC1=BC，那么ABC和ABC1總有一個與DBA不全等。此例屬于SSA的第一類型。以下幾個例子要等以后學習了等腰三角形的知識后，我再向?qū)W生介紹。例3 如圖6，在ABC與ADC中，AB=AD，ABC=ADC，請問ABC與ADC是否一定全等？若一定全等請給出證明；若不一定全等請舉出反例。

9、解：在ABC與ADC中，滿足的條件是AB=AD，ABC=ADC，AC=AC，是屬于SSA，但它們一定全等。證明時只要連結(jié)BD，利用等腰三角形知識可以證得BC=DC，于是ABCADC。此例屬于SSA的第二類型。例4 如圖7，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ABC+ADC=180°，求證：DC=BC。分析：在ABC與ADC中，滿足的條件是BAC=DAC，AC=AC。另外，要求證的是DC=BC，這樣三個結(jié)論就構(gòu)成了SSA?，F(xiàn)在這兩個三角形之所以不全等是因為他們相差一個等腰三角形。利用這個性質(zhì)，可以用三種方法構(gòu)造全等三角形。方法一：在AD延長線上取一點E，使得CE=CD。（補上一個等腰三角

10、形）方法二：在AB上取一點E，使得CE=CB。（割去一個等腰三角形）方法三：作CFAB于F，CEAD于E。（既割又補，即補上、割去一個直角三角形）證明略。此例屬于SSA的第三類型。 六、關(guān)于SSA教學的反思反思1 SSA的教學是個長期的任務我認為SSA的教學要滲透在平時教學中，不能急于求成。全等三角形、等腰三角形、四邊形、圓等各個幾何內(nèi)容的學習中都要細細滲透，例如：例5 如圖11，E是梯形ABCD的腰BC中點，AE平分BAD，求證：DE平分ADC；AEDE。 錯誤證法：在AD上取AF=AB，連EF，由已知得ABEAFE，F(xiàn)E=EB=EC，AFE=B，B+C=180°,AFE+DFE=

11、180°,AFE=C，DE=DE，DFEDCE，3=4。分析：以上證明中的第二次全等，缺乏判定依據(jù)，屬于SSA。如果延長AE與DC交于G，即可利用等腰三角形“三線合一”定理來證。反思2 SSA的困惑之一有時我們數(shù)學教師自己也會碰到難以解決的問題。那是去年我教初三的時候，一天數(shù)學課的內(nèi)容的“平行四邊形復習”。我講解同步練習中的一道習題。這道題是這樣的：（圖13）例6 如圖13，在四邊形ABCD中，AB=CD，B=D，問四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？我想了好大一會兒，回答學生說：“一定！”學生感到不解。我自信地說：“我證明給你們看，不過要用到你們還沒學過的一條定理?！?證明：如圖，將

12、ABC沿AC翻折得ABC，B=D，B=D，A、C、D、B四點共圓，AB=CD，AB=CD，DAC=BCA，即DAC=ACB，ABCCDA，四邊形ABCD是平行四邊形。下課之后，我靜下心來思索，真的沒有反例了嗎？于是我就用幾何畫板做了一個課件。（圖14-1）（圖14-2）（圖14-3）（圖14-4） 如圖，在幾何畫板中先任意畫一個ABC，然后以C為圓心、AB長為半徑畫圓，在圓C上任取一點D，再作射線DE，使EDC=ABC。我們可以讓點D在圓C上移動而題設(shè)的條件不變，從而就會產(chǎn)生各種位置關(guān)系（如圖14-1至14-4），其中使射線經(jīng)過點A的位置就有兩種。這說明滿足條件的四邊形有兩個，反例找到了。所以

13、這是一個假命題，上面的證明是錯誤的。當我把幾何畫板課件演示給全班同學看的時候，他們滿意地笑了。反思3 SSA的困惑之二在數(shù)學問題中常常有這樣的情況，證明某兩個三角形全等時發(fā)現(xiàn)是SSA，這時不能茫然下結(jié)論，它的可能性有三種（請參見：五、SSA的三種類型）。而學生常常錯誤地用SSA來證明兩個三角形全等，或者一旦遇到“SSA”的問題就馬上斷定不能判定兩個三角形全等。例如下面這道題，是我在過去學習圓的基本性質(zhì)后給學生做的一道練習，學生只會瞎猜，怎樣引導學生走出“SSA”的困惑？這個問題真的很難。例7 如圖15，D在O的半徑OA上，B、C在O上，ADB=ADC，那么OBD和OCD（ ）A、一定全等 B、一定不全等 C、不一定全等 D、以上都不對錯誤的想法1：由ADB=ADC，得ODB=ODC，OB=OC，OD=OD，OBDOCD。選A