第七章_線性離散系統(tǒng)的分析與校正(一)

1、離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念n連續(xù)控制系統(tǒng)：連續(xù)控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)n離散控制系統(tǒng)：離散控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中一處或幾處信號是是斷續(xù)的脈沖或數(shù)字信號系統(tǒng)中一處或幾處信號是是斷續(xù)的脈沖或數(shù)字信號采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)或或脈沖控制系統(tǒng)：脈沖控制系統(tǒng)：具有具有脈沖序列脈沖序列形式的離散信號形式的離散信號數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)或或計算機控制系統(tǒng)：計算機控制系統(tǒng)：具有具有數(shù)字序列數(shù)字序列形式的離散信號形式的離散信號離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念1、采樣控制系統(tǒng)、采樣控制系統(tǒng)工業(yè)爐的溫度工業(yè)爐的溫度控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)K傳感器-1s11se

2、Ts偏差信號放大器與執(zhí)行電機電機轉速閥口開度爐子爐溫給定信號燃 料供應泵工業(yè)爐的溫度控制系統(tǒng)的框圖工業(yè)爐的溫度控制系統(tǒng)的框圖離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念l 由于工業(yè)爐具有由于工業(yè)爐具有大延遲大延遲特性，本身特性，本身時間常數(shù)較大時間常數(shù)較大，爐溫變化較慢。爐溫變化較慢。l 采用采用連續(xù)控制連續(xù)控制方式不能解決控制精度與動態(tài)性能方式不能解決控制精度與動態(tài)性能之間的矛盾。之間的矛盾。K傳感器-1s11seTs偏差信號放大器與執(zhí)行電機電機轉速閥口開度爐子給定信號燃 料供應泵爐溫S離散偏差信號采用采用采樣控制采樣控制：離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念l 在偏差信號與電機之間加一個在偏差信號與電機之

3、間加一個采樣開關采樣開關S，它，它周周期性的閉合和斷開期性的閉合和斷開l 由于電機時轉時停，輸出超調現(xiàn)象受到控制，由于電機時轉時停，輸出超調現(xiàn)象受到控制，即即使采用較大的放大系數(shù)使采用較大的放大系數(shù)K仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定信號采樣信號采樣：在：在采樣開關采樣開關（采樣器采樣器）作用下將連續(xù)信）作用下將連續(xù)信號變成脈沖序列。號變成脈沖序列。 T：采樣周期；：采樣周期；：采樣持續(xù)時間；：采樣持續(xù)時間；理想采樣開關理想采樣開關S：0信號保持信號保持：把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程，由：把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程，由信號復現(xiàn)濾波器（信號復現(xiàn)濾波器（保持器保持器）實現(xiàn)。）實現(xiàn)。 離散控制系

4、統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念典型原理圖典型原理圖數(shù)字計算機數(shù)字計算機c(t)r(t)e(t)A/D數(shù)字控數(shù)字控制器制器D/A被控被控對象對象測量元件測量元件*( )e t*( )u t( )hu t是一種以是一種以數(shù)字計算機數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)n 把連續(xù)的把連續(xù)的模擬信號模擬信號轉換為離散的轉換為離散的數(shù)字信號數(shù)字信號的裝置的裝置 采樣過程采樣過程: 連續(xù)信號連續(xù)信號e(t) 采樣信號采樣信號e*(t) 量化過程量化過程(編碼過程編碼過程)

5、:如果編碼過程中如果編碼過程中的量化單位的量化單位q足夠足夠小，足夠字長，小，足夠字長，則則數(shù)字信號數(shù)字信號理想理想脈沖信號；脈沖信號；A/D轉轉換器可用理想采換器可用理想采樣開關樣開關S來表示來表示離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念A/D轉換器轉換器*( )( )etet 數(shù)數(shù)字字信信號號n 把離散的把離散的數(shù)字信號數(shù)字信號轉換為連續(xù)的轉換為連續(xù)的模擬信號模擬信號的裝置的裝置*( )( )hututD/A轉換器轉換器離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念D/A轉換器轉換器*( )( )utut保持器保持器 復現(xiàn)過程復現(xiàn)過程：離散：離散的模擬信號復現(xiàn)的模擬信號復現(xiàn)為連續(xù)的模擬信為連續(xù)的模擬信號號 解碼

6、過程解碼過程：離散：離散的數(shù)字信號轉換的數(shù)字信號轉換為離散的模擬信為離散的模擬信號號數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖c(t)r(t)e(t)Gc(z)Gh(s)Gp(s)H(s) te* tu* tuhSSA/D保持器保持器(D/A)理想脈沖信號理想脈沖信號數(shù)字信號數(shù)字信號c(t)r(t)e(t)A/D數(shù)字控制器數(shù)字控制器D/A被控被控對象對象測量元件測量元件 te* tu* tuh離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念3、離散控制系統(tǒng)的特點和研究方法、離散控制系統(tǒng)的特點和研究方法離散控制系統(tǒng)概念離散控制系統(tǒng)概念一、采樣過程一、采樣過程信號的采樣與保持

7、信號的采樣與保持te(t)Oe*(t)Te(t)0te*(t)OT 2T 3T 4T.理想采樣理想采樣*( ): (0), ( ), ( ), (),e tee T e Te nT信號的采樣與保持信號的采樣與保持采樣過程的物理意義：采樣過程的物理意義：采樣過程可以看作是理想單位脈沖序列采樣過程可以看作是理想單位脈沖序列 T(t) 被輸被輸入信號入信號e(t) 進行進行幅值調制幅值調制的過程，其中的過程，其中 T(t) 為為載波載波信號信號，e(t) 為為調制信號調制信號，采樣開關為，采樣開關為幅值調制器，幅值調制器，其輸出為理想脈沖序列其輸出為理想脈沖序列te(t)Ote*(t)O T(t)e

8、*(t)TT2T 3Tte(t)O4TT2T 3T 4T 5T.*( )( )( )Te te tt 信號的采樣與保持信號的采樣與保持0*0()()( )( )( )( )Tnnete tttnTtnTe t 0( )()TnttnT tOT2T 3T 4T 5T.*0( )()()nete nTtnT ()tnT()e nT( ): ( ), (), (),TtttTtnT 0( )00ttt ()0tnTtnTtnT 0*)()()(nnTtnTeLteLsE0*)()(nnTsenTesEnTsLtnTe信號的采樣與保持信號的采樣與保持例例 設設e(t) = 1(t)，求，求e*(t)的

9、拉氏變換的拉氏變換 解：解：*001( )()11TsnTsnTsTsTsnneEse nT eeee采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜( )Tt sjnetnnC 其中其中s2T 信號的采樣與保持信號的采樣與保持sjn2211( )edTtTnTCttTT sjn*1( )( )( )( ) etTnete tte tT *s1( )(jn)nEsE sT *s1(j)j()nEEnT sj *s1(j)j()nEEnT (a) 連續(xù)信號連續(xù)信號e(t)的頻譜的頻譜O max- max |E(j )|信號的采樣與保持信號的采樣與保持()E j h h 單一連續(xù)的有限頻譜單一連續(xù)的有限頻譜2sh O

10、 max- max |E*(j )| s- ss2 3s2 3s2 s2 1T*s1(j)j()nEEnT 信號的采樣與保持信號的采樣與保持(b) 采樣信號采樣信號e*(t)的頻譜的頻譜* ()Ej 主分量主分量(n=0)補分量補分量(n=1)補分量補分量(n=-1)h h 0理想濾理想濾波器波器12s 2s 無窮多頻譜之和無窮多頻譜之和O- max |E*(j )| max2sh *s1(j)j()nEEnT (c) 采樣信號采樣信號e*(t)的頻譜的頻譜*()Ej 信號的采樣與保持信號的采樣與保持h h 采樣定理（采樣定理（Shannon定理）：定理）：對一個具有有限頻譜對一個具有有限頻譜

11、(-h h)的連的連續(xù)信號續(xù)信號e(t) 進行采樣，則使信號進行采樣，則使信號e(t)不失不失真地從采樣信號真地從采樣信號e*(t)中恢復過來的采樣中恢復過來的采樣角頻率角頻率s或采樣周期或采樣周期T，應滿足，應滿足信號的采樣與保持信號的采樣與保持2sh hT 2sT 或或控制過程控制過程采樣周期采樣周期(s)流量流量1壓力壓力5液面液面520成分成分20溫度溫度信號的采樣與保持信號的采樣與保持對于伺服控制系統(tǒng)，對于伺服控制系統(tǒng)，采樣角頻率可選為采樣角頻率可選為 b或或 c的的10倍倍四、信號再現(xiàn)和保持器四、信號再現(xiàn)和保持器信號再現(xiàn)信號再現(xiàn)：把采樣信號轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程。：把采樣信號轉變?yōu)檫B

12、續(xù)信號的過程。信號的采樣與保持信號的采樣與保持實現(xiàn)方法實現(xiàn)方法：理想濾波器，物理上很難實現(xiàn)理想濾波器，物理上很難實現(xiàn)實際使用的方法實際使用的方法：保持器保持器是一類物理上可實現(xiàn)的是一類物理上可實現(xiàn)的濾波器，用于解決各采樣點之間的插值問題，即濾波器，用于解決各采樣點之間的插值問題，即按當前時刻或過去時刻的采樣值，推算下一時刻按當前時刻或過去時刻的采樣值，推算下一時刻到來之前這一段時間的函數(shù)值到來之前這一段時間的函數(shù)值。12s 2s 2012( )mme te nTtaa tatat 信號的采樣與保持信號的采樣與保持(1) ,0nTtnTtT OT2T3T4T5TOT2T3T4T5TOT2T3T4

13、T5Tttte*(t)eh(t)eh(t)(a)(b)(c)e(t)e(t-T/2)eh(t)零 階 保 持 器eh(t)e*(t)信號的采樣與保持信號的采樣與保持零階保持器零階保持器(zero-order holder, ZOH) , 0e kTte kTtT 零階保持器的脈沖零階保持器的脈沖過渡函數(shù)過渡函數(shù)h( )1( ) 1()g tttT 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)hh11( )(e1e)TssTGsL gtsss 信號的采樣與保持信號的采樣與保持頻率特性頻率特性jj2h1esin(/ 2)(j)ej/ 2TTTGTT ()sin22hTTGj sin(/2)()/2hTGjTT ttOO1-1

14、1-1TTgh(t)gh(t)sjshsssin(/)2(j )e/G 信號的采樣與保持信號的采樣與保持。但不是一個理想的低通濾波器，。但不是一個理想的低通濾波器，除了允許主分量通過外，還允許部分高頻分量通過。除了允許主分量通過外，還允許部分高頻分量通過。將使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低將使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低TOs2s3s|Gh(j)|O-s2s3s-2-3-4Gh(j)采樣信號的數(shù)學表達式采樣信號的數(shù)學表達式*0( )()()nete nTtnT 進行拉氏變換進行拉氏變換引入一個新的復變量引入一個新的復變量z*0( )( )()nnTsEsL ete nTe eT sz Z變換的定變換的定義義1ln sz

15、T *1ln0()nsznTEse nTz 采樣信號采樣信號e*(t)的的Z變換定義為變換定義為0( )()nnE ze nTz 記作記作*( )( ) ( )E zZ etZ e t將定義式展開將定義式展開01( )(0)()()nE zee Tzzze nT 物理意義物理意義: e(nT) 表征采樣脈沖的幅值，表征采樣脈沖的幅值，z 的冪級的冪級數(shù)表征采樣脈沖出現(xiàn)的時刻數(shù)表征采樣脈沖出現(xiàn)的時刻。Z變換的定義變換的定義Z變換變換是拉氏變換的一種變形，是采樣信號的拉是拉氏變換的一種變形，是采樣信號的拉氏變換，即氏變換，即采樣拉氏變換采樣拉氏變換(1) 級數(shù)求和法級數(shù)求和法條件：條件：|x|1Z

16、變換的方法變換的方法0( )()nnE znTze 011nnxx 對于對于單位階躍信號單位階躍信號，設，設e(t) = 1(t)，則：，則：100( )()()nnnnE ze nT zz 11,(|1)111( )zZzzzt 對于對于理想單位脈沖序列理想單位脈沖序列：設設 ，則則T0( )( )()ne tttnT tOT 2T 3T 4T 5T.*0()(nete nTtnT 123T0( )()1nnE znTzzzz Z變換的方法變換的方法注意：相同的注意：相同的Z變換變換E(z)對應相同的采樣函數(shù)對應相同的采樣函數(shù)e*(t)，但不一定對應于相同的連續(xù)函數(shù)但不一定對應于相同的連續(xù)函

17、數(shù)e(t)11,(|1)1)1(TzZzzzt 對于對于單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)：( )( )e tt 0( )()1nnE znTz 10()()01ne nTnTn ()()1,0,1,2,Te nTnTn Z變換的方法變換的方法對于對于指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)：( )ate te 1001()11tnTnnTkTnZaznzzzaaaaz 100111nanTnaTnnaTtTaaZezezezzeez 1 1aTez 1 1az (2) 部分分式法部分分式法Z變換的方法變換的方法 1( )niiiE sL eptAs iiAsp 1iTniipA zzeE z ip tiAeiip TzAze

18、 Z變換變換L-1變換變換例例: 求求 的的Z變換變換 Z變換的方法變換的方法 1aTzzeE zzz aE ss sa 11asssE 1atte te 解解: :例例: 求求 的的Z變換變換 Z變換的方法變換的方法cossincossinjjejej 221122sinjjLtssjsj 1jtjTzesjze 21122sin2 cosn1sij Tj TzzZj zej zzTztzTe 解解: :( )sine tt (3) 留數(shù)計算法留數(shù)計算法Z變換的方法變換的方法lim ()()iiisTspzRspEsze 111lim()()(1) !iqqiiqsTspdzRspEsqd

19、sze 11()R)e s(isTnniiispEzzEseRz 解解: :Z變換的方法變換的方法22( )()()ssE sssjsj 11lim()()()2sTj TsjszzRsjsjsjzeze 21lim ()()()2sTj TsjszzRsjsjsjzeze 122cos2 co)s1(z zTzzTE zRR ( )cose tt Z變換的方法變換的方法( )e tt 21( )E ss 222001( )lim(0) li(1)msTssTsdzE zRsdsszedzdszeTzz 223(1)(1()TEztztzez 若已知若已知 e1(t) 和和 e2(t) 的的Z

20、 變換分別為變換分別為E1(z)和和E2(z)，且且a1和和a2為常數(shù)。則有為常數(shù)。則有1 1221122( )( )( )( )a e ta e ta E za EzZ Z變換的基本定理變換的基本定理線性定理線性定理函數(shù)線性組合的函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)變換，等于各函數(shù)Z變換的線變換的線性組合。性組合。若若 e(t) 的的 Z 變換為變換為 E(z)，則有，則有()( )nZ e tnTzE z 10() ( )()nnkke tnTzE ze kZT z Z變換的基本定理變換的基本定理2. 實數(shù)位移定理實數(shù)位移定理zn表示時域中的表示時域中的延遲延遲環(huán)節(jié)，把采樣信號環(huán)節(jié)，把采樣信號

21、延遲延遲n個采樣周期個采樣周期。zn表示時域中的表示時域中的超前超前環(huán)節(jié)，把采樣信號環(huán)節(jié)，把采樣信號超前超前n個采樣周期個采樣周期。延遲定理延遲定理超前定理超前定理例例 試用實數(shù)位移定理，計算延遲一個采樣周期的試用實數(shù)位移定理，計算延遲一個采樣周期的指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e -(t-T) 的的Z變換。變換。解：解： 根據(jù)實數(shù)位移定理根據(jù)實數(shù)位移定理(1)eea tTatZZz eeataTzZz ()11eeea tTaTaTzZzzz Z變換的基本定理變換的基本定理例例 用實數(shù)位移定理計算用實數(shù)位移定理計算 的的Z變換變換( )TseE s ( )TseE s 又又L-1變換變換()e tT Z變

22、換變換1( )z E z 11( )( )( )TsZ eE szE zzZ E s 注意：不能直接用留數(shù)計算法注意：不能直接用留數(shù)計算法3. 復數(shù)位移定理復數(shù)位移定理若已知若已知 e(t) 的的Z變換為變換為 E(z)，則有，則有()( )eeataTZEe tz 式中式中a 為常數(shù)為常數(shù)Z變換的基本定理變換的基本定理例例 利用復數(shù)位移定理計算函數(shù)利用復數(shù)位移定理計算函數(shù)e-atsin t的的Z變換變換解：解：2sinsin2 cos1zTZtzzT 由復數(shù)位移定理，得由復數(shù)位移定理，得222sinesin()2c( e)eeos1esin2 ecoseaTaTaTataTaTaTTZtTz

23、TzzzzzT 4. Z域微分定理域微分定理若若e(t)的的Z變換為變換為 E(z)，則，則( )d(d)Z teztTE zz Z變換的基本定理變換的基本定理5. Z域尺度定理域尺度定理若已知若已知 e(t) 的的 Z 變換為變換為 E(z)則則(,)kzZEataea 為為常常數(shù)數(shù)6. 初值定理初值定理若已知若已知 e(t) 的的 Z 變換為變換為 E(z)，并且，并且 存在存在,則則lim ( )zE z *0lim( )lim( )tzetE z Z變換的基本定理變換的基本定理7. 終值定理終值定理*1lim( )lim()lim(1)( )tnzete nTzE z 設函數(shù)設函數(shù)e(

24、t)的的Z變換為變換為E(z)，e(nT)為有限值，并且為有限值，并且 lim ()ke nT8. 卷積定理卷積定理離散卷積離散卷積Z變換的基本定理變換的基本定理 0 ) ( nr nTr kTgnkgcnTTnT ( ) ()( ) ()( ) ()C zZ c nTG zZ g nTR zZ r nT ( )( ) ( )C zG z R z Z反變換反變換從從 z 域函數(shù)域函數(shù) E(z)，求時域函數(shù)，求時域函數(shù) e*(t)或或 e(nT) 記作記作1*0( )()()(keZE zettnTnT Z反變換反變換已知已知Z變換表達式變換表達式E(z) e(nT) e*(t)只能求出采樣序列

25、的表達式，而不能求出它的連只能求出采樣序列的表達式，而不能求出它的連續(xù)函數(shù)！續(xù)函數(shù)！1. 冪級數(shù)法冪級數(shù)法(綜合除法綜合除法)先將先將E(z) 化為如下形式化為如下形式用分母除分子并將商用分母除分子并將商按按 z-1 的升冪的升冪排列排列1201212012( )mmnnbb zb zb zaa zaE znma zz 120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z 按按Z變換的定義式，系數(shù)變換的定義式，系數(shù) cn(n=0,1,2,) 是是 e(t) 在在采樣時刻采樣時刻 t = nT 時刻的值時刻的值 e(nT)。Z反變換方法反變換方法0( )()nnE znTze *0()(

26、kete ntTnT 應用綜合除法應用綜合除法解解：例例 已知已知 試用綜合除法求其試用綜合除法求其 Z 反變換反變換10( )(1)(2)zE zzz 1121010( )(1)(2)132zzE zzzzz 1231123232343434512103070101030203020309060706070210140132zzzzzzzzzzzzzzzzzzz Z反變換方法反變換方法123( ) 103070E zzzz *( )010 ()30 (2)70 (3)ettTtTtT 2.部分分式法部分分式法并展并展開開成部分分式成部分分式查查Z變換表變換表兩端乘以兩端乘以z將將E(z)寫成

27、寫成Z反變換方法反變換方法1()mniiie nTA z t TnzZ aZ aza 1( )miiiA zE zzz 1( )()iiiz zAE zzz 11( )miiiAE zEzzzz ( )E zz*0( ) (ne neTttnT 例例 已知已知10( )(1)(2)zE zzz 試求其試求其 Z 反變換反變換解：首先將解：首先將 E(z)/z 展開成部分分式展開成部分分式( )101010(1)(2)12E zzzzzz ( )101012zzE zzz Z反變換方法反變換方法111,212nzzZZzz 由由()1010 2ne nT *0( )10( 12 ) ()nnet

28、tnT 3. 反演積分法反演積分法(留數(shù)法留數(shù)法)e(t) 在在t =nT時刻的脈沖值可由下式計算：時刻的脈沖值可由下式計算： Z反變換方法反變換方法11Res)(iminzzE z ze nT 11111liRem()( )(1)!s ( )iiqqniqzznzzdzzE z zE z zqdz 11lim()Res()iinizznzzzz EzE z zz 1( )nE z z 解：解：所以所以例例 已知已知 求求 e*(t)10( )(1)(2)zE zzz 110( )(1)(2)nnzE z zzz 12()( 12 ) 10ne nTRR 0*10 (21)( )nne ttn

29、T Z反變換方法反變換方法有兩個單極點有兩個單極點111110Res ( )lim(1)10(1)(2)nnzzzRE z zzzz 122210Res( )lim(2)102(1)(2)nnnzzzRE z zzzz 有一個兩重極點有一個兩重極點Z反變換方法反變換方法2( )(1)TzE zz 12( )(1)nnTzE z zz 2 1212 1211lim(1)(21)!(1)nzdTzRznTdzz 1()e nTRnT *0( )ne tnTtnT 1.離散系統(tǒng)的差分方程描述離散系統(tǒng)的差分方程描述線性定常離散系統(tǒng)：線性定常離散系統(tǒng)：線性離散系統(tǒng)：線性離散系統(tǒng)：用用Z變換法解差分方程變換法解差分方程,0,)1,(2r k k 一階一階前向差分前向差分定義為定義為一階一階后向差