第二章第7講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1、第7講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教材回顧夯實(shí)基礎(chǔ)%課本溫故追報(bào)求源知站饑?yán)?. 對(duì)數(shù)概念如果ax=N（a0,1）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)性質(zhì)底數(shù)的限制：a0,且a豐1對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax=N?logaN=x負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)-1的對(duì)數(shù)是零：lOga1=0底數(shù)的對(duì)數(shù)是1:logaa=1對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N運(yùn)算性質(zhì)loga(MN)=logaM+logaNa0,且am1,M0,N0M.lOgaTT=logaMlogaNN-logaMn=nlogaM(nR)換底公式公式：logab=log：a(a,且a*1;c0,且cm1;b0)推廣:log

2、amb=mlogab;logab=logba2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)0x1時(shí)，y0當(dāng)0x0在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)3反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax（a0且a豐1）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a0且1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.做一做1. 計(jì)算:2log5l0+log50.25=()A.0B.1C.2D.4答案：C2. （2014高考天津卷改編）函數(shù)f（x）=log1x2的單調(diào)遞增區(qū)間為（2C.(2,+8)D.(g,2)解析：選B.因?yàn)閥=logit在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函2數(shù)t=X2的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合

3、函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(一g,0).3. f(x)=71一lg(x2)的定義域?yàn)?解析：/1lg(x2)0,/-lg(x2)1,/.0x210,/-2x12,/.f(x)=1lg(x2)的定義域?yàn)?2,12.答案：(2,12要點(diǎn)整合1. 辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1) 在運(yùn)算性質(zhì)中，要特別注意條件，底數(shù)和真數(shù)均大于0,底數(shù)不等于1；(2) 對(duì)公式要熟記，防止混用；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、最值與底數(shù)a有關(guān)，解題時(shí)要按0a1分類討論，否則易出錯(cuò).2. 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的兩個(gè)基本點(diǎn)(1) 當(dāng)a1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0a0，且a*1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),且過(guò)點(diǎn)(a,1),*，一1，函數(shù)圖象只在第一、四

4、象限.做一做4. 函數(shù)y=loga(3x2)(a0,a豐1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A,貝UA點(diǎn)坐標(biāo)是()Al0IB惶)A. 0，3B.3，0C.(1,0)D.(0,1)答案：C5. 函數(shù)y=logi(3xa)的定義域是|,+m，貝Va=.答案：2,學(xué)生用書P30P31)考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值典例剖析考點(diǎn)突破名師導(dǎo)悟以例說(shuō)法a計(jì)算下列各式：lg25+lg2lg50+(lg2)log64(1log63)Iog66Iog63log62=12log62log62Iog62(2)/Ioga2=m,Ioga3=n,am=2,an=3,；3lg7+lg70-lg3-(lg3)2-lg9+1；(3) (log32+

5、Iogg2)(log43+log83).22解(1)原式=(lg2)+(1+lg5)lg2+lg5=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.3x70(2)原式=lg(lg3)2-2lg3+1=lg10:(lg31)2=1|lg31|=lg3.原式二器+髓)幣+髓)=Iig_2+也2、佃3+山3、lg3十2lg32lg2十3lg2_3lg25lg3_5=2lg36lg2=4.規(guī)律方法對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：(1) 首先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2) 將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)

6、對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、幕的運(yùn)算.注意在運(yùn)算中要注意對(duì)數(shù)化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.1. (1)計(jì)算:2(1log63)+log62Iog618loge4已知loga2=m,loga3=n,求a2mn.解：(1)原式2612log63+(log63)+Iog6log6(6X3)log64212log63+(log63)+(1log63)(1+log63)log642212log63+(Iog63)+1(Iog63).孑m+n=汕2=2要使x(1,2)時(shí)f1(x)=(x-1)的圖象在f2(x)=logax的圖象下方，只需f1(2)f2(2),2即

7、(21)1,1a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2.答案(1)D(2)(1,2羊觀耐若本例變?yōu)椋阂阎坏仁絰2-logax0),g(x)=logax的圖象可能是()2若不等式(x-1)1,0a1時(shí)，y=xa與y=logax均為增函數(shù)，但y=xa遞增較快，排除C;當(dāng)0a1時(shí)，y=xa為增函數(shù)，y=logax為減函數(shù)，排除A，由于y=xa遞增較慢，所以選D.法二：幕函數(shù)f(x)=xa的圖象不過(guò)(0,1)點(diǎn)，排除A；B項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)=logax的圖象知0a1，而此時(shí)幕函數(shù)f(x)=xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來(lái)越快的變化趨勢(shì)，故C錯(cuò).22(2)設(shè)f1(x)=(x-1),f2(x)=logax,要使當(dāng)x

8、(1,2)時(shí)，不等式(x-1)logax恒成立，只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)=logax圖象的下方即可.當(dāng)0a1時(shí)，如圖所示，2冊(cè)冋x由X2logax0,得X2logaX.設(shè)f(x)=x2,g(x)=logax.由題意知，當(dāng)x0,1I0a1,，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方,如圖，可知g!2)0a1,即；：i2i1嘰,i解得16三a1或Ovav1的兩種不同情況.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，禾U用數(shù)形結(jié)合法求解.2. (1)(2014高考福建卷)若函數(shù)y=logax(a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是

9、(a的取值范圍為不等式logaX(X1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，則解析：(1)由題意y=logax(a0,且a工1)的圖象過(guò)(3,1)點(diǎn)，可解得a=3.選項(xiàng)A中，y=3x=3,顯然圖象錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，y=X3,由幕函數(shù)圖象可知正確；選項(xiàng)C中，y=(33x)=x,顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y=log3(x)的圖象與y=log3X的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然不符.故選B.不等式logax(x1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，畫出示意圖可知a1，其整數(shù)解集為2,3,loga4(41),4，則應(yīng)滿足2loga5cbD.cbaA.abcC.cab已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)loga(1x),a0且a*1. 求f(

10、x)的定義域； 判斷f(x)的奇偶性并予以證明； 當(dāng)a1時(shí)，求使f(x)0的x的取值范圍.1c=log1_log23解析(1)0a=2320=1,b=logog21=0,即0a1,b1，所以cab.答案C解：f(x)=loga(x+1)loga(1x),x+10,則解得1VXV1.1x0,故所求定義域?yàn)閤|1Vxv1.f(x)為奇函數(shù).證明如下：由知f(x)的定義域?yàn)閤|1vxv1，且f(x)=loga(x+1)loga(1+x)=loga(x+1)loga(1x)=f(x).故f(x)為奇函數(shù).由f(x)0,得loga(x+1)loga(1x)0,-loga(x+1)loga(1x),又a1

11、,x+101x0，解得0Vxv1.x+11x所以使f(x)0的x的取值范圍是x|0vxv1.規(guī)律方法利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題時(shí)，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.3. (1)(2015遼寧省五校第一協(xié)作體高三聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=loga|x|在0)上單調(diào)遞增，則f(a+1)與f(2)的大小關(guān)系是()A.f(a+1)f(2)B.f(a+1)f(2)C.f(a+1)=f(2)D.不能確定(2) 已知函數(shù)f(x)=ax再令g(x)=ln(x+1)，貝

12、ygx)=0,a豐1)在1,2上的最大值與最小值之和為Ioga2+6,則a的值為()11A.2B.4C.2D.4a(3) 已知函數(shù)f(x)=ln(1歹的定義域是(1,+)，則實(shí)數(shù)a的值為.解析：(1)由已知得0a1，所以1a+1f(2).顯然函數(shù)尸ax與y=logax在1,2上的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)=ax+logax在1,222上的最大值與最小值之和為f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a+loga2)=a+a+loga2=loga2+6,故a+a=6,解得a=2或a=3(舍去).故選C.aa(3) 由題意得，不等式1戸0的解集是(1,+)，由1戸0,可得2xa，故xlog2a,

13、由log2a=1，得a=2.答案：(1)A(2)C(3)2名師講壇素養(yǎng)提升),學(xué)生用書P31P32)2x+2x,xax,!n(x+1),x0.方法思想求解不等關(guān)系中的參數(shù)問題(一題多解)(2013高考課標(biāo)全國(guó)卷I)已知函數(shù)f(x)=則a的取值范圍是()A.(汽0B.(8,1C.2,1D.2,0解析法一：(推理計(jì)算法)若x0,|f(x)|=|x2+2x|=x22x,x=0時(shí)，不等式恒成立，xx2,而x22;若x0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1),ln(x+1)xxln(x+1)In(x+1)x+1令h(x)=x，貝廿h，x)=x2由ln(x+1)ax,可得a3恒成立，故g(x)

14、在(0,+s)上單調(diào)遞減，所以g(x)g(O)=0,xIn(x+1)x+1可得hx)=x20,aw0，綜上可知，20時(shí)，y=ax只有aw0時(shí)，才能滿足|f(x)|ax,可排除B,C. 當(dāng)xw0,y=|f(x)|=|x2+2x|=x22x.故由|f(x)|ax,得x22xax.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為00成立.當(dāng)x0時(shí)，不等式等價(jià)于x2wa.x22.綜上可知：a2,0.法三：(分離參數(shù)法)x22x,xw0,|f(x)|=In(x+1),x0,由|f(x)|ax分兩種情況：xw0, i2恒成立，可得ax2恒成立，則a(x2)max,即a2,排除選項(xiàng)A,|x2xaxB；x0, 由恒成立，根據(jù)函數(shù)圖象可知

15、aw0.Jn(x+1)ax綜合得2waw0，故選D.法四：(特值法)作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象(如法二中圖)，取a的特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，如取a=1不滿足不等式，可排除選項(xiàng)B、C,取a=5,不滿足不等式，可排除選項(xiàng)A，故選D.答案D名師點(diǎn)評(píng)本題給出四種解法，方法二、三、四都利用了數(shù)形結(jié)合思想，而方法一是推理計(jì)算，在方法三中又利用了分離參數(shù)，所以當(dāng)xw0時(shí)，把x22xax化為x(x2)a0,得到(x2)aw0，就達(dá)到了參變分離的效果；當(dāng)x0時(shí)，采取畫圖，數(shù)形結(jié)合就可以看出a的范圍.高考試題大多數(shù)具有多種解決方法，選擇不同的方法可能出現(xiàn)簡(jiǎn)與繁的較大差異，在高考復(fù)習(xí)中要注意試題(特別是選擇題)的一些特

16、殊解法.ig.3A.abc已知a=5log23.4b=5log43.6,c=g3，則(B. bacC.acb解析：選C.c=D.cab1log30.35=5-log30.3=5log103.在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=Iog2x,y=logax,y=Iog4x的圖象，如圖所示.由圖象知:10Iog23.4logaylog43.6.法二：log罟g3=1，且罟5log335log43.6,3/acb.10.Jog3loga3.4log23.4.,10-log43.61,10og43.6log3亍log43.6.10由于y=5X為增函數(shù)，5log23.45log37.5log43.63旳、bg3

17、0.3即5log23.4135log43.6,故acb.4知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)J說(shuō)練促常強(qiáng)技提能基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.A.C.In(x+3x)的定義域是()V12(3,0(a,3)U(3,0)|x+30i，要使函數(shù)f(x)有意義，需使，即3x0若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a0且a*1)的反函數(shù)，且f(2)=1，則f(x)=()B*x2D.2(2014洛陽(yáng)市高三年級(jí)統(tǒng)一考試-FZ.)函數(shù)(-3,0)(a,3)U(0,+s)解析：選A.f(x)=ln(X+3)2.log2XC.log込2解析：選A.f(x)=logax,Tf(2)=1,.loga2=1./a=2.f(x)=log2X.3.(2014高考山

18、東卷)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù)，其中a0,a*1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是()A.a1，c1C. 0a1解析：選D.由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知0a1,0cacA.abcC.acbD.cba解析:選C.因?yàn)閚2，所以a=log2n1.因?yàn)閚1，所以b=log1n1，所以022冗一1，即0ccb.exe_x5. 已知函數(shù)f(x)=ln，則f(x)是()A非奇非偶函數(shù)，且在(0,+R)上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增C.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+)上單調(diào)遞減D偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減解析：選A.要使函數(shù)有意義，則exex,解得x0,即函數(shù)的定義域是(

19、0,+)，故xxee函數(shù)是非奇非偶函數(shù)又y=2在(0，+m)上遞增，所以f(x)在(0,+)上遞增，故選A.6. 函數(shù)y=log3(x22x)的單調(diào)減區(qū)間是.解析：令u=x22x,貝Vy=log3u.y=log3u是增函數(shù)，u=x22x(u0)的減區(qū)間是(一,0),y=log3(x22x)的減區(qū)間是(一a,0).答案：(a,0)7. (2014高考重慶卷)函數(shù)f(x)=log/xlog邁(2x)的最小值為.1解析：f(x)=log?.xlog一2(2x)=qog2X2log2(2x)=log2x(1+log2x).設(shè)t=Iog2x(tR),則原函數(shù)可以化為y=t(t+1)=t+1R)，故該函數(shù)

20、的最小值為4故f(x)的最小值為14.1答案：一14&計(jì)算下列各題:如32一|lg8+lg245；log4271312log54log210(3,3)37log72解:(1)2lg494lg8+lg2451431=2X(5lg22lg7)3X2lg2+2(lg5+2lg7)51=2lg2lg72lg2+lg5+lg71111=2lg2+為5=【g(2x5)=233432. 已知函數(shù)f(x)=loga(2xa)在區(qū)間1A.1,123原式=log3lg52log210(3)7log723=log33log33log5(1032)3“1=41log55=4.9.已知f(x)=loga(ax1)(a0

21、且aM1).(1) 求f(x)的定義域；(2) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：(1)由ax10,得ax1，當(dāng)a1時(shí)，x0；當(dāng)0a1時(shí)，x1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0,+);當(dāng)0a1時(shí)，設(shè)0X1x2，則1ax1ax2,故0ax11ax21,.xx-Joga(a11)loga(a21).f(X1)1時(shí)，f(x)在(0,+a)上是增函數(shù).類似地，當(dāng)0a1,貝U0vbv1,此時(shí)f(x)=ax是增函數(shù)，g(x)=logbx是增函數(shù)，結(jié)合圖象知選B.B.恒有f(x)0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()CI-,11D.-,10丿3丿1解析：選A.當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間-141_1a1，解得3a3，故3a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間2是減函數(shù)，所以loga122，34a0,即是增函數(shù)，所以loga(11，1.m,n滿足m0，