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文檔簡介

1、第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【考綱下載】1 .理解命題的概念.2 .了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的 相互關(guān)系.3 .理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.回扣'主干知識扣教材掃除認知盲點練考點鞏固必備抑識ZHLJGANZHISHI旅員卷合7川勿勿勿勿修勿勿"切勿外力"加1 .命題的概念用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫 做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.2 .四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩

2、個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.3 .充分條件與必要條件(1)若p=q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.(2)若p臺q,則p與q互為充要條件.(3)若p0/ q,且q0/p,則p是q的既不充分也不必要條件.?憫題思考1 .一個命題的否命題與這個命題的否定是同一個命題嗎?提示:不是,一個命題的否命題是既否定該命題的條件,又否定該命題的結(jié)論,而這個 命題的否定僅是否定它的結(jié)論.2 .“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的說法相同 嗎?提示:兩者說法不相同.“p的一個充分不必要條件是q”等價于“q是p的充分不必 要條件”,顯然這與“p是q的充分不必

3、要條件”是截然不同的.件力士武)"第川初小孝第*門用“打加打小打用打"川1 . (2013.福建高考)已知集合A = 1, a, B =1,2,3,則 “a = 3” 是“A&B”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析:選A 當(dāng)a = 3時,A = 1,3, A之B;反之,當(dāng)A之B時,a = 2或3,所以“a = 3”是“AUB”的充分而不必要條件.2 .命題“若2>y2,則>y”的逆否命題是()A. “若 x<y,則 x2<y2"B. “若 x>y,則 x2>y2”C

4、. “若 xWy,則 x2Wy2"D. “若 x三y,則 x2三y2”解析:選C 根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2 > y2,則x > y” 的逆否命題是“若xWy,則x2Wy2”.3 .(教材習(xí)題改編)命題“如果b24ac>0,則方程ax2+bx+c=0(aW0)有兩個不相等 的實根”的否命題、逆命題和逆否命題中,真命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析:選D 原命題為真,則它的逆否命題為真,逆命題為“若方程ax2 + bx + c = 0(aW0) 有兩個不相等的實根,則b2-4ac>0”,為真命題,則它的否命題也為真.4

5、.命題“若f(x )是奇函數(shù),則f( x )是奇函數(shù)”的否命題是()A.若f(x )是偶函數(shù),則f( x )是偶函數(shù)B.若f(x)不是奇函數(shù),則f( x)不是奇函數(shù)C.若f( x )是奇函數(shù),則f(x )是奇函數(shù)D.若f(x)不是奇函數(shù),則f(x)不是奇函數(shù)解析:選B 原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論,故“若f(x)是奇函數(shù),則f(- x)是奇函數(shù)”的否命題是B選項.5.下面四個條件中,使a>b成立的充分而不必要的條件是()A. a>b +1 B. a>b 1 C. a2>b2 D. a3>b3解析:選A 由a > b + 1,且b + 1> b,

6、得a > b;反之不成立.突破熱點題型研考向認知層層遞進析典題能力步步提高WTU POREDI ANTI XINC考點一四種命題的關(guān)系例1 (1)命題“若x>1,則x>0”的否命題是()A.若 x>1,則 xW0B.若 xW1,則 x>0C.若 xW1,則 xW0D.若 <1,則 <0(2)命題“若, y都是偶數(shù),則+y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A.若+y是偶數(shù),則l與y不都是偶數(shù)B.若+y是偶數(shù),則l與y都不是偶數(shù)C.若+y不是偶數(shù),則l與y不都是偶數(shù)D.若+y不是偶數(shù),則l與y都不是偶數(shù)自主解答(1)因為“l(fā)>1”的否定為“W1”,“l(fā)>

7、;0”的否定為“W0”,所以命 題“若%>1,則>0”的否命題為:“若W1,則W0”.(2)由于“%, y都是偶數(shù)”的否定表達是“%, y不都是偶數(shù)”," + y是偶數(shù)”的否定 表達是“% + y不是偶數(shù)”,故原命題的逆否命題為“若% + y不是偶數(shù),則%與y不都是偶 數(shù)”.答案(1)C (2)C【互動探究】試寫出本例(2)中命題的逆命題和否命題,并判斷其真假性.解:逆命題:若% + y是偶數(shù),則%, y都是偶數(shù).是假命題.否命題:若%, y不都是偶數(shù),則% + y不是偶數(shù).是假命題.【方法規(guī)律】判斷四種命題間關(guān)系的方法(1)由原命題寫出其他三種命題,關(guān)鍵要分清原命題的條

8、件和結(jié)論,將條件與結(jié)論互換 即得逆命題,將條件與結(jié)論同時否定即得否命題,將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆 否命題.(2)原命題和逆否命題、逆命題和否命題有相同的真假性,解題時注意靈活應(yīng)用.口變式訓(xùn)練1 .命題p: “若a三b,則a+b>2 012且a> b”的逆否命題是()A.若 a+bW2 012 且 aW b,則 a<bB.若 a+bW2 012 且 aW b,則 a>bC.若 a+bW2 012 或 aW b,則 a<bD.若 a+bW2 012 或 aW b,則 aWb解析:選C“且”的否定是“或""艮據(jù)逆否命題的定義知,逆否命題為

9、“若a + bW2012 或 a W - b,則 a < b ”.2 .下列命題中為真命題的是()A.命題“若%>y,則%>1 yI”的逆命題B.命題“若%>1,則%2>1”的否命題C.命題“若 =1,則2+%2=0”的否命題D.命題“若2>0,則l>1”的逆否命題解析:選A A中逆命題為“若% >1 yI,貝 >y”是真命題;B中否命題為“若W1,則2W1”是假命題;C中否命題為“若W1,則2 + %-2W0”是假命題;D中原命題是假命題,從而其逆否命題也為假命題.考點二命題的真假判斷例2 (1)下列命題是真命題的是()A.若%=y,則

10、=yB.若 2=1,則 =1C.若 =y,則':%='$D.若 <y,則 2<y2(2)(2014.濟南模擬)在空間中,給出下列四個命題:過一點有且只有一個平面與已知直線垂直;若平面外兩點到平面的距離相等,則過這兩點的直線必平行于該平面;兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影必為相交直線;兩個相互垂直的平面,一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中正確的是()A.B. C. D.自主解答(1)取 =-1排除8;取 = y =- 1排除0取 =- 2, y =- 1排除D, 故選A.(2)對于,由線面垂直的判定可知正確;對于,若點在平面的兩側(cè),則過這兩點

11、的直線可能與該平面相交,故錯誤;對于,兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影可以為一 條直線,故錯誤;對于,兩個相互垂直的平面,一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另 一個平面內(nèi)的無數(shù)條與交線垂直的直線,故正確.綜上可知,選D.答案(1)A (2)D【方法規(guī)律】命題的真假判斷方法(1)給出一個命題,要判斷它是真命題,需經(jīng)過嚴格的推理證明;而要說明它是假命題, 只需舉一反例即可.(2)由于原命題與其逆否命題為等價命題,有時可以利用這種等價性間接地證明命題的真假.。變式訓(xùn)練給出下列命題:函數(shù)y=sin(x+kn)(k £R)不可能是偶函數(shù);已知數(shù)列U與的前n項和Sn=an-1(a£R, a

12、W0),則數(shù)列Uan一定是等比數(shù)列;若函數(shù)f(x)的定義域是R,且滿足f(x)+f(x+2) = 3,則f(x)是以4為周期的周期函數(shù); 過兩條異面直線外一點能作且只能作出一條直線和這兩條異面直線同時相交.其中所有正確的命題有(填正確命題的序號).解析:當(dāng)k = 2時,y = sin(x +也)就是偶函數(shù),故錯;當(dāng)a = 1時,5n = 0,則an 的各項都為零,不是等比數(shù)列,故錯;由f(x)+ f(x + 2) = 3,則f(x + 2)+ f(x + 4) = 3,相 減得f(x)-f(x + 4) = 0,即f(x )= f(x + 4),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),正確;過 兩

13、條異面直線外一點,有時沒有一條直線能與兩條異面直線都相交,故錯.綜上所述,正 確的命題只有.答案:高頻考點考點三充要條件劣通關(guān)指南1 .充分條件、必要條件是每年高考的必考內(nèi)容,多以選擇題的形式出現(xiàn),難度不大, 屬于容易題.2.高考對充要條件的考查主要有以下三個命題角度:(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系;(2)探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件;(3)與命題的真假性相交匯命題.例引(1)(2013北京高考)“(p=n”是“曲線y=sin(2x+(p)過坐標原點”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2012.四川高

14、考)設(shè)a、b都是非零向量,下列四個條件中,使菊=成成立的充分條件 是()A. a = bB. abC. a=2bD. ab 且ai=b(3)給出下列命題:“數(shù)歹U與為等比數(shù)列”是“數(shù)列aan+1為等比數(shù)列”的充分不必要條件;“。=2”是“函數(shù)f(x ) = 1 xal在區(qū)間2,+8)上為增函數(shù)”的充要條件;“m = 3”是“直線(m+3)x+my2=0與直線mx6y+5 = 0互相垂直”的充要條件;設(shè)a, b, c分別是 ABC三個內(nèi)角A, B, C所對的邊,若a =1, b =,區(qū)則“A = 30°”是“ B = 60°”的必要不充分條件.其中真命題的序號是.自主解答(1

15、)當(dāng)Q = n時,y = sin(2x + n) =-sin 2x,則曲線y =- sin 2x過坐標原點, 所以 “(p = n”=“曲線 y = sin(2x + (p)過坐標原點”;當(dāng) q = 2n 時,y = sin(2x + 2n) = sin 2x, 則曲線y = sin 2x過坐標原點,所以“p = n”仁/“曲線y = sin(2x + p)過坐標原點”,所以“p =n”是“曲線y = sin(2x + p)過坐標原點”的充分而不必要條件.菊,bi分別是與a b同方向的單位向量,由菊= |b|,得a與b的方向相同.而a II b 時,a與b的方向還可能相反.故選C.(3)對于,

16、當(dāng)數(shù)列an為等比數(shù)列時,易知數(shù)列anan + 1是等比數(shù)列,但當(dāng)數(shù)列anan + 1為等 比數(shù)列時,數(shù)列an未必是等比數(shù)列,如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列,而相應(yīng)的數(shù) 列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列,因此正確;對于,當(dāng)aW2時,函數(shù)f(x) = lx-al在區(qū)間 2,+8)上是增函數(shù),因此不正確;對于,當(dāng)m = 3時,相應(yīng)的兩條直線互相垂直,反 b 之,這兩條直線垂直時,不一定有m = 3,也可能m = 0.因此不正確;對于,由題意得一 asin B1=43,若B = 60°,則sin A =不注思到b > a,故A = 30°,反之,

17、當(dāng)A = 30°時,有sin A H2為sin B =%,由于b > a,所以B = 60°或B = 120°,因此正確.綜上所述,真命題的序號是 .答案(1)A (2)Ca遁關(guān)錦囊充要條件問題的常見類型及解題策略(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系.解決此類問題應(yīng)分三步:確定條件是什么,結(jié) 論是什么;嘗試從條件推結(jié)論,從結(jié)論推條件;確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系.(2)探究某結(jié)論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目,可先從結(jié)論出發(fā),求出 使結(jié)論成立的必要條件,然后再驗證得到的必要條件是否滿足充分性.(3)充要條件與命題真假性的交匯問題.依據(jù)命題所述的充分必要性

18、,判斷是否成立即可.,盤遁關(guān)集訓(xùn)1 . (2014.西安模擬)如果對于任意實數(shù)%, %表示不超過的最大整數(shù),那么" % = j" 是“I %y K1成立”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:選 A 若% = y,則I% - yI < 1;反之,若I% - yI < 1,如取% = 1.1, y = 0.9,則% Wy, 即“% = y ”是“I % - y I<1成立”的充分不必要條件.2 .已知必 <1,q: %2+3 1)%a>0,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的 %1取值范圍是()A.

19、(2,1B. 2,1C. 3,1 D. 2,+8)1 1%-2解析:選A 不等式<<1等價于-1<0,即7>0,解得%>2或%<1,所以p為(-%-1%-1%-18, 1) U (2,+8).不等式 %2 + (a - 1)% - a>0 可以化為( - 1)(% + a)>0,當(dāng)-aW1 時,解得 %>1 或%< - a,即 q為(-8,- a) U (1,+8),此時 a =- 1;當(dāng)-a>1時,不等式(% -1)(%+ a )>0的解集是(-8, 1)U(- a ,+8),此時-a <2,即-2< a &

20、lt;-1.綜上可知a的取值范圍 為(-2,-1.3.設(shè)n£N*, 一元二次方程%24%+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.4±,;16 - 4n 一, _ ,解析:一兀二次方程%2-4% + n = 0的根為% =2= 2±4 - n,因為%是整數(shù),即2土14 - n為整數(shù),所以、;4 - n為整數(shù),且nW4,又因為n £N*,W n = 1,2,3,4,驗證可知 n = 3,4符合題意,所以n = 3,4時可以推出一元二次方程%2 - 4% + n = 0有整數(shù)根.答案:3或4課堂歸納通法領(lǐng)悟1個區(qū)別 “A是B的充分不必要條件”與“A的充分不 必要條件

21、是B”的區(qū)別 “A是B的充分不必要條件”中,A是條件,B是結(jié)論;“A的充分不必要條件是B” 中,B是條件,A是結(jié)論.在進行充分、必要條件的判斷中,要注意這兩種說法的區(qū)別.2條規(guī)律四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題;互為逆否命題的兩個命題同真假.(2)當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時,可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假.同時要 關(guān)注“特例法”的應(yīng)用.3種方法判斷充分條件和必要條件的方法(1)定義法;(2)集合法;(3)等價轉(zhuǎn)化法.提升,學(xué)科素0多角度打造學(xué)科特色全方位鞏固數(shù)學(xué)核心TI3HEMGXUEKESUYAWG方法博覽(一)三法破解充要條件問題1.定義法定義法就是將充要條件的

22、判斷轉(zhuǎn)化為兩個命題一“若p,則q”與“若q,則p”的判 斷,根據(jù)兩個命題是否正確,來確定p與q之間的充要關(guān)系.n典例 1 設(shè) 0<%<2,則U xsin2x<1 是 xsin %<1 的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件n解題指導(dǎo)由0 V x <2可知0 < sin x <1,分別判斷命題 若xsin2x <1,則xsin x < 1 與“若xsinx < 1,則xsin2x<1 ”的真假即可.n解析因為0<x<2,所以0<sinx<1,不等式xsinx<

23、;1兩邊同乘sinx,可得xsin2x<sinx, 所以有 xsin2x<sin x<1.即 xsin x<1 0xsin2x<1;不等式xsin2x<1兩邊同除以sinx,可得xsinx< J ,而由0<sinx<1,知->1,故xsin sin xsin xx<1 不一定成立,即 xsin2x<1 0/xsinx<1.綜上,可知,Hx <1”是“x sin x <1"的必要不充分條件.答案C點評判斷p、q之間的關(guān)系,只需判斷兩個命題A: “若p,則q ”和B: “若q, 則p ”的真假.(1

24、)若p=q,則p是q的充分條件;(2)若q=p,則p是q的必要條件;(3)若p今q且q今p,則p是q的充要條件;(4)若p今q且q0/p,則p是q的充分不必要條件;(5)若p0/ q且q今p,則p是q的必要不充分條件;(6)若p0/ q且q0/p,則p是q的既不充分也不必要條件.2.集合法集合法就是利用滿足兩個條件的參數(shù)取值所構(gòu)成的集合之間的關(guān)系來判斷充要關(guān)系的 方法.主要解決兩個相似的條件難以進行區(qū)分或判斷的問題.典例2若A: log2a<1, B: x的二次方程x2+(q +1)x+a-2=0的一個根大于零,另 一根小于零,則A是B的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條

25、件D.既不充分也不必要條件解題指導(dǎo)分別求出使A、B成立的參數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合M和N,然后通過集合M與N之間的關(guān)系來判斷.解析由log2a<1,解得0<a<2,所以滿足條件A的參數(shù)a的取值集合為M = aI0<a<2; 而方程2 + (a + 1)% + a -2 = 0的一根大于零,另一根小于零的充要條件是f(0)<0,即a - 2<0, 解得a <2,即滿足條件B的參數(shù)a的取值集合為N = a I a <2,顯然M N,所以A是B的充 分不必要條件.答案B點評利用集合間的關(guān)系判斷充要條件的方法記法條件p、q對應(yīng)的集合分別為A、B關(guān)系A(chǔ)

26、 U BB U AA u BB u AA=Ba a b且 b a a結(jié)論p是q的充 分條件p是q的必 要條件p是q的充 分不必要條 件p是q的必 要不充分條 件p是q的充 要條件p是q的既 不充分也不 必要條件3.等價轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“否”的有關(guān)條件之間的充要關(guān)系時,根據(jù)原命 題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷.典例引 已知條件p: NyW 1,條件q: %2一%<a2a,且q的一個充分不必要條% 一 1件是p,則a的取值范圍是.解題指導(dǎo)”q的一個充分不必要條件是p ”等價于“ p是q的一個必要不充分條 件”.4解析 由W-1,得

27、-3W%<1油 %2 - %<a2 - a,得(% - a)% + (a - 1)<0,%-1當(dāng)a>1 - a,即a>2時,不等式的解為1 - a<%<a;當(dāng)a = 1 - a,即a = 2時,不等式的解為。;當(dāng)a<1 - a,即a<2時,不等式的解為a<%<1 - a.-3W1- a,11*,解得1<a ;由q的一個充分不必要條件是p,可知p是q的充分不必要條件,即p為q的一個 必要不充分條件,即條件q對應(yīng)的%取值集合是條件p對應(yīng)的%取值集合的真子集.1 ,一 ,一當(dāng) a>2時,由%|1 - a<%<a

28、 %| - 3W%<1,得<- 3Wa1三1一,解得0Wa<2.乙當(dāng)a =:時,因為空集是任意一個非空集合的真子集,所以滿足條件;1當(dāng) a <2 時,由 % I a < x <1 - a x I - 3W x <1,得<綜上,a的取值范圍是0,1.答案0,1點評條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題,常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷真假p、q之間的關(guān)系p和q之間的關(guān)系p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的必要不充分條件p是q的充分不必要條件p是q的充要條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件p是q的既不充分也不必要條件演練 > 知能用

29、也強”題型全面吼固需記知識 題量充裕確保訓(xùn)蛛到位IHrTTHTIAN ZHINENGJIANICE全盤鞏固1.“若b24ac<0,則ax2+bx+c=0沒有實根”,其否命題是 ()A.若 b24ac>0,則 ax2+bx+c=0 沒有實根B.若 b24ac>0,則 ax2+bx+c=0 有實根C.若 b24ac三0,則 ax2+bx+c=0 有實根D.若b24ac三0,則ax2+bx+c=0沒有實根解析:選C由原命題與否命題的關(guān)系可知,“若b 2-4 ac <0,則ax 2 + bx + c = 0沒有實根”的否命題是“若b 2-4 ac三0,則ax 2 + bx +

30、c = 0有實根”.2. f(x), g(x)是定義在R上的函數(shù),用(x)=f(x)+g(x),則“f(x), g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析:選B 因為f(x), g(x)均為偶函數(shù),可推出h(x)為偶函數(shù),反之,則不成立.3. (2014黃岡模擬)與命題“若a, b, c成等比數(shù)列,則b2=ac”等價的命題是()A.若a, b, c成等比數(shù)列,則b2WacB.若a, b, c不成等比數(shù)列,則b2WacC.若b2=ac,則a, b, c成等比數(shù)列D.若b2Wac,則a, b, c不成等比數(shù)列解析:選

31、D 因為原命題與其逆否命題是等價的,所以與命題“若a,b, c成等比數(shù)列, 則b2 = ac”等價的命題是“若b2Wac,則a, b, c不成等比數(shù)列”.4 .設(shè)a>0且aW1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x) = (2a)x3在R 上是增函數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析:選A "函數(shù)f(x ) = ax在R上是減函數(shù)”的充要條件是p: 0< a <1.因為g (x) = 3(2-a)x2,而x2三0,所以“函數(shù)g(x) = (2-a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是2-a>0,

32、 即a <2.又因為a >0且a W1,所以“函數(shù)g (x) = (2 - a)x 3在R上是增函數(shù)”的充要條件是q: 0 <a <2且aW1.顯然p今q,但q0/ p,所以p是q的充分不必要條件,即“函數(shù)f(x) = ax 在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x) = (2 - a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件.5 . (2014南昌模擬)下列選項中正確的是()A.若 x>0 且 xW1,則 ln x+J-三2ln xB .在數(shù)歹1 aj中,"I an+1I> an”是“數(shù)列U an為遞增數(shù)列”的必要不充分條件C.命題”所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定為

33、“所有素數(shù)都是偶數(shù)”D.若命題p為真命題,則其否命題為假命題解析:選 B 當(dāng) 0< x < 1 時,ln x < 0,此時 ln x + J-W - 2, A 錯;當(dāng) I a I > a 時,a ln xn +1 nn不一定是遞增數(shù)列,但若an是遞增數(shù)列,則必有an < an +1WIan +1I, B對;全稱命題的否定 為特稱命題,C錯;若命題p為真命題,其否命題可能為真命題,也可能為假命題,D錯.的取值范圍是(A0, |6 .已知p: ;2x 1W1, q: (xa)(xa 1)W0.若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a)B.(0, 1) C. (8, 0)U

34、2,+8) D. (8, 0)U(2,+8>,令 B = xI(x - a)(x - a - 1)W0,a W1,120 0W a W,、a + 1 三1解析:選 A 令 A = xI'2x-1W1,得 A =得B = x I a W x W a + 1,若p是q的充分不必要條件,則A 5,需V7 .在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中,真命題的個數(shù)記為 f(p),已知命題p: “若兩條直線 11: a 1 x+b 1y+c 1=0, 12: a2x+b2y+c2=0 平行,則 a 1 b2 a 2 b 1 = 0”.那么 f(p )=.解析:原命題p顯然是真

35、命題,故其逆否命題也是真命題,而其逆命題是:若a 1 b2- a2b 1 =0,則兩條直線11: a 1 x + b 1y + c 1 = 0與12: a2x + b2y + c2 = 0平行,這是假命題,因為當(dāng)a 1 b2- a2b 1 = 0時,還有可能/ 1與12重合,逆命題是假命題,從而否命題也為假命題,故f(p)= 2.答案:28 .下列四個命題:“若+尸0,則, y互為相反數(shù)”的逆命題;“若12+%6三0,則l>2”的否命題;在 ABC中,“A>30°”是“sinA>2”的充分不必要條件;“函數(shù)f% )=tan(%+° )為奇函數(shù)”的充要條件是

36、,=k n( k £Z)”.其中真命題的序號是(把真命題的序號都填上).解析:原命題的逆命題為:“若1, y互為相反數(shù),則 + y = 0",是真命題;“若 %2 + %-6三0,則1 >2”的否命題是“若12 + %-6<0,則 W2”,也是真命題;在AABC 中,“A >30°”是“sin A >2”的必要不充分條件,是假命題;“函數(shù)f(%) = tan(% + °)為 奇函數(shù)”的充要條件是“° = #(k £Z)”,是假命題.答案:9 .已知a:%三a,B:1 % 11<1.若a是萬的必要不充分條件

37、,則實數(shù)a的取值范圍為解析:a: %三a ,可看作集合A = % I %三a ,由1 %-11<1,得0V % <2,. B可看作集合B =%I0<%<2.又a是B的必要不充分條件,.B A,.aW0.答案:(一8, 010 .已知函數(shù)f(%)是(一8,+8)上的增函數(shù),a, b£R,對命題“若a+b三0,則f(a) +fb )金(a )+f(b)”.(1)寫出否命題,判斷其真假,并證明你的結(jié)論;(2)寫出逆否命題,判斷其真假,并證明你的結(jié)論.解:(1)否命題:已知函數(shù)f(% )在(-8, +8)上是增函數(shù),a, b £R,若a + b <0,

38、則f( a) +fb) <f( - a) + f( - b).該命題是真命題,證明如下:. a + b <0,. a <- b, b <- a 又; f(% )在(-8,+8)上是增函數(shù).猶 a )< f( - b), f( b) <f - a),. f(a) +f(b)<f( - a)+f( - b),否命題為真命題.(2)逆否命題:已知函數(shù)f(% )在(-8,+8)上是增函數(shù),a, b £R,若f( a)+ f( b )< f( - a) +f( - b),則U a + b < 0.真命題,可證明原命題為真來證明它.,a +

39、b三0,.a三-b, b三-a, f(X)在(-8,+8)上是增函數(shù),:(a0(-b), f(bf - a),/fa) +f(bf - a)+f( - b),故原命題為真命題,所以逆否命題為真命題.11 .已知集合 A=卜 y=% 22x +1, x G 4 2 J1, B = x I x+m 2 三 1.若“ x £ A ”是“ xeB”的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.7),.m、y、2,3 一(3、7 一角牛:y = x2 2x +1 = p - 4J2 + 16,, x 6由 x + m2 三 1,得 x 三1 - m 2,. B = x I x 三1 - m 2.,"

40、; x £ A ”是“ x £ B ”的充分條件,一 73、一 3.AUB,. 1 - m2W ,解得 m三了或 mW-彳,1644故實數(shù)m的取值范圍是(-8,一3 u 3,+8).12 .已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx24x+4=0和x24mx+4m24m5 = 0,求 兩方程的根都是整數(shù)的充要條件.解:,mx2-4x + 4 = 0 是一元二次方程,.mW0.又另一方程為x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0,且兩方程都要有實根,解得m £ -4, 14 = 16(1 - m)三0,A2 = 16m2 - 4(4m2 - 4m - 5)三0,兩方程的根都是整數(shù),故其根的和與積也為整數(shù),.m為4的約數(shù).又“m £-414m£Z,4 £Z, m4m2 - 4m - 5 £ Z.當(dāng)m =- 1時,第一個方程x2 + 4x -4 = 0的根為非整數(shù);而當(dāng)m = 1時,兩方程的根均為整數(shù),.兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m = 1.沖擊名校1.對于函數(shù)y =f(x), xGRA.充分不必要條件C.充分必要條件“y=fx)1的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y = fx)是奇函數(shù)”的()B

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