2009年高考試題——數學（全國Ⅰ）（理）

1、 0909 年全國卷年全國卷理科數學試題全析全解（一）理科數學試題全析全解（一）河北望都中學河北望都中學 湯敏軍湯敏軍20092009 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數學（必修理科數學（必修+ +選修選修） 本試卷分第本試卷分第錯誤！未找到引用源。卷（選擇題）和第卷（選擇題）和第錯誤！未找到引用源。卷（非選卷（非選擇題）兩部分第擇題）兩部分第錯誤！未找到引用源。卷卷 1 至至 2 頁，第頁，第錯誤！未找到引用源。卷卷 3 至至 4頁考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回頁考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回 第第卷卷 考生注意：考生注意： 1答題前，考生在答題

2、卡上務必用答題前，考生在答題卡上務必用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚填寫清楚 ，并貼好條形碼請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目，并貼好條形碼請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目 2每小題選出答案后，用每小題選出答案后，用 2鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效 3本卷共本卷共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分在每小題給出的四個

3、選項中，只有一項是分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的符合題目要求的 參考公式：參考公式： 如果事件互斥，那么球的表面積公式 ab， ()( )( )p abp ap b24sr如果事件相互獨立，那么其中表示球的半徑 ab，r球的體積公式 ()( )( )p a bp a p baa如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 ap343vr次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑高.考.資.一、選擇題一、選擇題nkr(1)設集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合中()uabi的元素共有（a）（a）3 個 （b）4 個 （c）5 個 （d

4、）6 個 解：，故選故選 a a。也可用摩。也可用摩3,4,5,7,8,9ab 4,7,9()3,5,8uabcab根律：根律：()()()uuucabc ac b（2）已知=2+i,則復數 z=（b ） 1iz（a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i解：解： 故選故選 b b。 (1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集為（ d ）11xx（a） x (b) 011xx x 01xx （c） (d) 10 xx 0 x x解：驗 x=-1 即可。 (4)設雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離22221xyab

5、心率等于( c )（a） （b）2 （c） （d） 356解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又00(,)p xy00|2x xyx0002yxx2001yx解得: . 2201,2,1 ( )5bbxeaa (5) 甲組有 5 名男同學，3 名女同學；乙組有 6 名男同學、2 名女同學。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有( d )（a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; 112536225ccc (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有 345 種選法.選 d

6、211562120ccc（6）設、是單位向量，且0，則的最小值為 ( d )abcab acbc（a） （b） （c） (d)222112解: 是單位向量, ,a b c 2()acbca bab cc aa故選| | | 12cos,121 |abcab c ad.bcbca111ad（7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為111abcabc1aabc的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ d ）bcab1cc（a） （b） （c） (d) 34547434解：設的中點為 d，連結d，ad，易知即為異面直線與所成的bc1a1a ab ab1cc角,由三角余弦定理，易知.故選

7、 d 113cocs4oscosad ada addaba a ab（8）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為cos 2yx343，0|（c） （a） （b） （c） (d) 6432解: 函數的圖像關于點中心對稱 cos 2yx343，0由此易得.故選 c423k 42()3kkz min|3 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為( b ) yln()xa(a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2解:設切點，則,又00(,)p xy0000ln1,()yxayx001|1x xyxa.故答案選 b 00010,12xayxa （10）已知二面角 -l- 為 ，動點

8、p、q 分別在面 、 內，p 到 的距離為，60o3q 到 的距離為，則 p、q 兩點之間距離的最小值2 3為（ c ）(a) (b)2 (c) (d)4 2 3解:如圖分別作 ,qaa aclc pbb于于于，連pdld 于,60 ,cq bdacqpbd 則，2 3,3aqbp2acpd又222122 3pqaqapap當且僅當，即重合時取最小值。故答案選 c。 0ap ap點與點（11）函數的定義域為 r，若與都是奇函數，則( d ) ( )f x(1)f x(1)f x(a) 是偶函數 (b) 是奇函數 (c) (d) 是奇函數( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f

9、x解: 與都是奇函數，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4t 函數.，即是奇函數。(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x故選 d12.已知橢圓的右焦點為,右準線為 ，點，線段交于點，22:12xcyflalafcb若,則=3fafb |af (a). (b). 2 (c). (d). 3 23解:過點 b 作于 m,并設右準線 與 x 軸的交點為 n，易知 fn=1.由題意,bmll3fafb 故.又由橢圓的第二定義,得.故選 a 2

10、|3bm 2 22|233bf |2af第第 iiii 卷卷二、填空題：二、填空題： 13. 的展開式中，的系數與的系數之和等于 。10 xy73x y37x y解: 373101010()2240ccc 14. 設等差數列的前項和為，若,則= 。 nanns972s 249aaa解: 是等差數列,由,得 na972s 599,sa58a . 2492945645()()324aaaaaaaaaa15. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,111abcabc12abacaa，則此球的表面積等于 。 120bac解:在中,可得,由正弦定理,可得外abc2abac120bac2 3bc abc接圓

11、半徑 r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，oort obo5r 故此球的表面積為. 2420r16. 若，則函數的最大值為 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxtttt 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分 10 分） （注意：在試題卷上作答無效注意：在試題卷上作答無效）在中，內角 a、b、c 的對邊長分別為、，已知，且a

12、bcabc222acb 求 b sincos3cossin,acac分析分析: :此題事實上比較簡單此題事實上比較簡單, ,但考生反應不知從何入手但考生反應不知從何入手. .對已知條件對已知條件(1)(1)左左222acb側是二次的右側是一次的側是二次的右側是一次的, ,學生總感覺用余弦定理不好處理學生總感覺用余弦定理不好處理, ,而對已知條件而對已知條件(2)(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式過多的關注兩角和與差的正弦公式, ,甚至有的學生還想用現在甚至有的學生還想用現在sincos3cossin,acac已經不再考的積化和差已經不再考的積化和差, ,導致找不到突破口而失分導致找不到突破

13、口而失分. .解法一：在解法一：在中中則由正弦定理及余弦定理有則由正弦定理及余弦定理有: :abcsincos3cossin,acac化簡并整理得：化簡并整理得：. .又由已知又由已知2222223,22abcbcaacabbcaa2222()acb. .解得解得. . 222acb24bb40(bb或舍）解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。2222cosacbbca222acb0b 所以所以2 cos2bca又又，sincos3cossinacacsincoscossin4cossinacacac，即，即sin()4cossinacacsin4cossinba

14、c由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsinbbcc4 cosbca由由，解得解得。4b 評析評析: :從從 0808 年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查. .在備考中應注意總結、提在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力. .另外提醒：兩綱中明確不另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練。再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練。18 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面

15、為矩形，底面， sabcdabcdsd abcd，點 m 在側棱上，=602ad 2dcsdscabm（i）證明：m 在側棱的中點sc（ii）求二面角的大小。samb（i）解法一：作交于 n，作交于 e，mnsdcdneabab連 me、nb，則面，,mn abcdmeab2nead設，則,mnxncebx在中，。rt meb60mbe3mex在中由rt mne222menemn2232xx解得，從而 m 為側棱的中點 m. 1x 12mnsdsc解法二:過作的平行線.mcd解法三:利用向量處理. 詳細可見 09 年高考參考答案. （ii）分析一分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂

16、線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過作交于,作交于,作mmjcdsdjshajajh交于,則,面,面hkamamkjmcdjm sad面,面即為所求二面角sadmbash ambskh的補角.分析二分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點abmbbfamam，則點為 am 的中點，取 sa 的中點 g，連 gf，易證，則即為所ffgfamgfb求二面角.分析三分析三：利用空間向量求。在兩個半平面內分別與交線 am 垂直的兩個向量的夾角即可。另外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方

17、法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。19 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假設在一局中，甲獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為 0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （i）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （ii）設表示從第 3 局開始到比賽結束所進行的局數，求得分布列及數學期望。分析分析：本題較常規(guī)，比 08 年的概率統(tǒng)計題要容易。需提醒的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導

18、致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題。另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。20 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效）在數列中，na11111,(1)2nnnnaaan （i）設，求數列的通項公式nnabn nb （ii）求數列的前項和nanns分析分析：（i）由已知有1112nnnaann112nnnbb 利用累差迭加即可求出數列的通項公式: () nb1122nnb*nn（ii）由（i）知,122nnnan=ns11(2)2nkkkk111(2 )2nnkkkkk而,又是一個典型的錯位相減法模型，1(2 )(1)nkkn n112nk

19、kk易得 =1112422nknkknns(1)n n1242nn評析評析：09 年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,考查構造新數列和利用錯位相減法求前 n 項和，一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。21（本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相2:e yx222:(4)(0)mxyrr交于、四個點。abcd （i）求得取值范圍；r （ii）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐

20、標abcdacbdp分析：分析：（i）這一問學生易下手。將拋物線與圓的2:e yx222:(4)(0)mxyrr方程聯立，消去，整理得 （）2y227160 xxr拋物線與圓相交于、四個點2:e yx222:(4)(0)mxyrrabcd的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數15(,4)2r形結合及函數和方程的思想來處理也可以（ii）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。11( ,)a xx11( ,)b xx22(,)c xx22(,)d xx則由（i）根據韋達定理有，212127,16xxx xr15(,4)2r則2112211212 |() |()2sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr令，則 下面求的最大值。216rt22(72 ) (72 )stt2s方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。221(72 ) (72 )(72