工程力學(xué)教程電子教案

1、動(dòng)力學(xué)專題動(dòng)力學(xué)專題動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理山西農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院山西農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院2工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理5-4 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 第第 17章（章（5） 動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理5-1 動(dòng)量定理動(dòng)量定理5-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理5-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理3工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 實(shí)際上的問題是實(shí)際上的問題是：(1) 聯(lián)立求解微分方程聯(lián)立求解微分方程(尤其尤其是積分問題是積分問題)非常困難。非常困難。(2) 大量的問題中，不需要大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

2、動(dòng)了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。運(yùn)動(dòng)情況。動(dòng)力學(xué)普遍定理概述動(dòng)力學(xué)普遍定理概述 對對質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題：可由前一章內(nèi)容建立運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題：可由前一章內(nèi)容建立運(yùn)動(dòng)微分方程求解。微分方程求解。 對對質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題：動(dòng)力學(xué)問題： 可以逐個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出其可以逐個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出其動(dòng)力學(xué)微分動(dòng)力學(xué)微分方程聯(lián)立求解，但求解過程很復(fù)雜。方程聯(lián)立求解，但求解過程很復(fù)雜。4工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 本章將要講述本章將要講述求求解動(dòng)力學(xué)問題解動(dòng)力學(xué)問題普遍適用普遍適用的方法的方法, 即即動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理

3、、動(dòng)量矩定理、包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)，它們，它們揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量，動(dòng)量矩或動(dòng)能的變化動(dòng)量，動(dòng)量矩或動(dòng)能的變化與與其受力其受力的主矢、主矩或功的主矢、主矩或功之間的關(guān)系，可以求解質(zhì)之間的關(guān)系，可以求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題。點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題。 由于在理論體系上是從牛頓定律出發(fā)，推導(dǎo)出由于在理論體系上是從牛頓定律出發(fā)，推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍定理。因此，所用參考系，除特別說明動(dòng)力學(xué)普遍定理。因此，所用參考系，除特別說明者外都應(yīng)是慣性系。者外都應(yīng)是慣性系。5工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力

4、學(xué)普遍定理5-1 動(dòng)量定理動(dòng)量定理1. 動(dòng)量動(dòng)量 在日常生活和工程實(shí)踐中可看出，質(zhì)點(diǎn)的速度在日常生活和工程實(shí)踐中可看出，質(zhì)點(diǎn)的速度和質(zhì)量的乘積表征了質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，和質(zhì)量的乘積表征了質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，例：槍例：槍彈：速度大，質(zhì)量小；彈：速度大，質(zhì)量??； 船：速度小，質(zhì)量大。船：速度小，質(zhì)量大。 (2) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的 矢量和。矢量和。vmv(1) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積 稱為稱為 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。 是瞬時(shí)矢量，方向與是瞬時(shí)矢量，方向與 相同。單位相同。單位 是是kg m

5、/s。 6工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 iiiiiirmttrmvmpdddd niiivmp1(17-1)式中式中n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，mi為為i 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量， 為質(zhì)點(diǎn)速度為質(zhì)點(diǎn)速度矢量。矢量。iv 如如i質(zhì)點(diǎn)的矢徑為質(zhì)點(diǎn)的矢徑為 ，其速度為，其速度為 ，代入，代入式式(17-1)，因，因mi不變，則有：不變，則有：trviidd ir7工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理令令 為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，與為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，與重心坐標(biāo)類似，定義質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量重心坐標(biāo)類似，定義質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心（質(zhì)心）中心（質(zhì)心） imm代入上式

6、，得代入上式，得)317()(dddd CCiivmrmtrmtp)217( mrmriiC上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)心速度與其全部上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)心速度與其全部質(zhì)量的乘積。質(zhì)量的乘積。8工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 剛體是由無限多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的不變質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)剛體是由無限多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的不變質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心是剛體內(nèi)某一確定的點(diǎn)。對于質(zhì)量均勻分布的規(guī)心是剛體內(nèi)某一確定的點(diǎn)。對于質(zhì)量均勻分布的規(guī)則剛體，質(zhì)心就是幾何中心，由式則剛體，質(zhì)心就是幾何中心，由式(17-3)可以方便可以方便的計(jì)算剛體或者剛體系統(tǒng)的動(dòng)量。的計(jì)算剛體或者剛體系統(tǒng)的動(dòng)量。)317()

7、(dddd CCiivmrmtrmtp9工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻以勻角速度角速度w w 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)設(shè)OA=AB=l ，曲柄，曲柄OA及及連桿連桿AB都是勻質(zhì)桿，質(zhì)都是勻質(zhì)桿，質(zhì)量各為量各為m，滑塊，滑塊B的質(zhì)量的質(zhì)量也為也為m。求當(dāng)。求當(dāng)j j = 45時(shí)，時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量。系統(tǒng)的動(dòng)量。 例題例題 5-110工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 解：曲柄解：曲柄OA： 滑塊滑塊B： 連桿連桿AB： ( p為速度瞬心，為速度瞬心， )w ww w ABlpC；252w wl

8、vmC21 , 1 w ww wllvmABC2525 ,2 w wlvmC2 ,3 11工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllm w w w ww ww w w ww wivvvmvmvmvmpCCCCCC)cossin( 321321 j j)sincos(21jvvCC j j )(2122的的單單位位矢矢量量，分分別別為為沿沿，yxjijiml w w12工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理思考題思考

9、題 5-1 質(zhì)量均為質(zhì)量均為m，長度均為，長度均為l的兩相同勻質(zhì)桿的兩相同勻質(zhì)桿AC0與與BC0以鉸鏈以鉸鏈C0相連接。兩桿上各點(diǎn)的速度分布如圖相連接。兩桿上各點(diǎn)的速度分布如圖所示，且其外端點(diǎn)所示，且其外端點(diǎn)A，B的速度矢相等，即的速度矢相等，即 。試計(jì)算該系統(tǒng)的動(dòng)量。試計(jì)算該系統(tǒng)的動(dòng)量。BAvv 13工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理討論：注意討論：注意vC0，質(zhì)心，質(zhì)心C不是鉸鏈不是鉸鏈C0（鉸鏈（鉸鏈C0速度速度為零）。質(zhì)心為零）。質(zhì)心C是空間運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，下一瞬時(shí)，將不是空間運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，下一瞬時(shí)，將不再與鉸鏈再與鉸鏈C0重合。重合。）（設(shè)（設(shè)vvvvmvmv

10、mmmmvmvmvmvBABACCiiiC 222221mvvmvmpC 222系統(tǒng)動(dòng)量：系統(tǒng)動(dòng)量：解：解：14工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理2沖量沖量 力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。示力在其作用時(shí)間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。較小的力作用較長的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。如力如力 是常矢量，則此力的沖量為：是常矢量，則此力的沖量為

11、： (17-4)FtFI 15工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理沖量的單位：沖量的單位：Ns = kg m/s2 s = kg m/s 與動(dòng)量與動(dòng)量單位相同。單位相同。 如力如力 是變矢量（包括大小和方向的變化）：是變矢量（包括大小和方向的變化）：在微小時(shí)間間隔內(nèi)，力在微小時(shí)間間隔內(nèi)，力F的沖量稱為元沖量。的沖量稱為元沖量。F元沖量為：元沖量為：tFIdd 而力而力 在時(shí)間在時(shí)間t內(nèi)的沖量為矢量積分：內(nèi)的沖量為矢量積分： (17-5) ttFI0dF16工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理3.動(dòng)量定理動(dòng)量定理(1) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定

12、理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理式式(17-6)是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式動(dòng)量定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)的，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力，或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力，或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的元沖量。動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的元沖量。)617(d)d()(dd tFvmFvmt或或)717(d00 tItFvmvm 式式(17-7)是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式動(dòng)量定理的積分形式。對上式積分，時(shí)間由對上式積分，時(shí)間由0到到t，速度由，速度由 變?yōu)樽優(yōu)?，得得0vv17工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式，表明在某一時(shí)

13、間間質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式，表明在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于質(zhì)點(diǎn)所受合力在此時(shí)間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于質(zhì)點(diǎn)所受合力在此時(shí)間間隔內(nèi)的沖量。間隔內(nèi)的沖量。量和。量和。的矢的矢的沖量等于各分力沖量的沖量等于各分力沖量即在同一時(shí)間內(nèi)，合力即在同一時(shí)間內(nèi)，合力，則，則，即，即合力為合力為，其，其，個(gè)力個(gè)力設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的若干設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的若干 inttnttttttinIIIItFtFtFtFIFFFFFF2121RRR21dddd2121212118工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(2) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的外力與內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)系的外力與內(nèi)

14、力 外力外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。內(nèi)力內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系點(diǎn)之間相互作用的力。對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的的主矢恒等于零主矢恒等于零，內(nèi)力系，內(nèi)力系對任一點(diǎn)（或軸）的主矩對任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零恒等于零。即：。即： 。或或 0)( 0)( ; 0) i () i () i (ixiOiFmFmF19工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理tFtFtFFvmiiiiiiddd)()(d) i ()e()e()

15、 i ( 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，對質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn) i， 。或或 0)( 0)( ; 0) i () i () i (ixiOiFmFmF）（其中（其中0 dd)(d1) i (1) i (1)e(1 niiniiniiniiiFtFtFvm對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有n個(gè)方程，相加得個(gè)方程，相加得因質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量增量為：因質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量增量為：pvmvmiiiid)(d)(d 20工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理上式可變?yōu)樯鲜娇勺優(yōu)?8)-(17ddd1)e(1)e( niiniiItFp9)-

16、(17 dd1)e( niiFpt式式(17-8)是是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式，表明質(zhì)點(diǎn)系，表明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和；式和；式(17-9)表明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用表明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用該質(zhì)點(diǎn)系所受全部外力的主矢。該質(zhì)點(diǎn)系所受全部外力的主矢。或或21工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理式式(17-10)為質(zhì)點(diǎn)系為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式動(dòng)量定理的積分形式，表明在某，表明在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改

17、變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的沖量矢量和。間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的沖量矢量和。對對(17-8)式積分，得式積分，得)1017(- dd1)e(010)e(0 niinitippIpptFp或或 另外，從上述定理可看出，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能另外，從上述定理可看出，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。的傳遞。22工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 )e()e(e)dd, )1117(dd ddzzyyxxFtpFtpFtp (e)0(e)0(e)0zzzyyyxxxIppIppIpp(1

18、7-12) 動(dòng)量定理是矢量式，在應(yīng)用時(shí)常采用投影式，動(dòng)量定理是矢量式，在應(yīng)用時(shí)常采用投影式，如式如式(17-9)和式和式(17-10)在直角坐標(biāo)系的投影式分別在直角坐標(biāo)系的投影式分別為：為：23工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 由式由式(17-11)和式和式(17-12)，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外力之主矢等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量將保持不變，即力之主矢等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量將保持不變，即 (3) 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律 0恒恒矢矢量量 pp恒恒量量 xxpp0以上結(jié)論稱為以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。同樣，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外

19、力之主矢在某一坐標(biāo)同樣，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外力之主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸軸上的投影等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影也保持不變。如上的投影也保持不變。如 ，則，則 0)e( ixF 注意，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影為零，并不意味注意，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影為零，并不意味著每一質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量投影都是零。著每一質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量投影都是零。24工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 質(zhì)量為質(zhì)量為m2的大三角形柱體的大三角形柱體，放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面上另放一質(zhì)量為斜面上另放一質(zhì)量為m1的小三角形柱體的小三角形柱體，求小三角求小三角形柱體滑到底時(shí)形柱體滑

20、到底時(shí)，大三角形柱體的位移。大三角形柱體的位移。例題例題 5-225工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析：受力分析： , 0)e(xF水平方向水平方向px = 常量。常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則0)()(0)(r12a12 vvmvmvmvmxx運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)大三角塊速度運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對大，小三角塊相對大三角塊速度為三角塊速度為，則小三角塊。，則小三角塊。vrvreavvv 26工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普

21、遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)( 121r121bammmsmmmsx 所以所以 112r112rmmmssmmmvvxx 所以所以0)()(0)(r12a12 vvmvmvmvmxx27工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 質(zhì)點(diǎn)系在力作用下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分質(zhì)點(diǎn)系在力作用下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布狀態(tài)有關(guān)，前面定義了質(zhì)心的位置，即布狀態(tài)有關(guān)，前面定義了質(zhì)心的位置，即4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(1) 質(zhì)量中心質(zhì)量中心 iiiCmrmr 質(zhì)心位置反映出質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一種特征，質(zhì)心位置反映出質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一種特征，在動(dòng)力學(xué)中該概念具有重要地位，計(jì)算中常用直角在

22、動(dòng)力學(xué)中該概念具有重要地位，計(jì)算中常用直角坐標(biāo)下的投影式，即坐標(biāo)下的投影式，即28工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)1317( mzmmzmzmymmymymxmmxmxiiiiiCiiiiiCiiiiiC，(2) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 由式由式(17-3)知，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)知，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心速度乘積，則動(dòng)量定理的微分形式可量與質(zhì)心速度乘積，則動(dòng)量定理的微分形式可寫成寫成 )(dd1)e( niiCFvmt29工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 對質(zhì)量不變質(zhì)點(diǎn)系，該式改寫為對質(zhì)量不變質(zhì)點(diǎn)系，該式改

23、寫為為為質(zhì)質(zhì)心心加加速速度度）（或或CniiCniiCaFamFtvm 1)e(1(e)dd(17-14)上式表明質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積等于作用于上式表明質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系外力矢量和，稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；它同質(zhì)點(diǎn)；它同質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程動(dòng)力學(xué)基本方程 相似，可以把質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)相似，可以把質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，此質(zhì)點(diǎn)集中了質(zhì)點(diǎn)系心運(yùn)動(dòng)看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，此質(zhì)點(diǎn)集中了質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，作用著質(zhì)點(diǎn)系的全部外力。的質(zhì)量，作用著質(zhì)點(diǎn)系的全部外力。 Fam為質(zhì)心坐標(biāo)。為質(zhì)心坐標(biāo)。，式中式中系上投影：系上投影：式兩邊在固定直角坐標(biāo)式兩邊在固定直

24、角坐標(biāo)將將CCCizCiyCixCzyxFzmFymFxm)e()e()e(,)1417( 30工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(3) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律常量。常量。，則，則，且，且當(dāng)當(dāng)則它將保持不動(dòng)。則它將保持不動(dòng)。，且質(zhì)心原為靜止，且質(zhì)心原為靜止，當(dāng)外力的主矢當(dāng)外力的主矢 CCxixixvFF000)e()e( 從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理知，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理知，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系外力外力主矢為零主矢為零，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始靜止，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始靜止，則質(zhì)心位置不變，稱為質(zhì)心守恒。如果作用于質(zhì)則質(zhì)心位置不變，稱為質(zhì)心守恒

25、。如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某個(gè)軸上投影的代數(shù)和恒為零，點(diǎn)系的所有外力在某個(gè)軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質(zhì)心速度在該軸上投影不變；若開始速度為零，則質(zhì)心速度在該軸上投影不變；若開始速度為零，則質(zhì)心在該軸坐標(biāo)不變。則質(zhì)心在該軸坐標(biāo)不變。該結(jié)論稱為該結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律。動(dòng)守恒定律。31工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子(包括包括外殼）重為外殼）重為P1，轉(zhuǎn)子重為，轉(zhuǎn)子重為P2，轉(zhuǎn)子的軸通過定子的轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心質(zhì)心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2

26、到到O1的的距離為距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度求轉(zhuǎn)子以角速度w w 作勻速作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的水平和鉛垂約機(jī)底座上的水平和鉛垂約束力。束力。例題例題 5-332工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 解解: 取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系研究，分析受力，系研究，分析受力， 受力圖受力圖如圖。運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心如圖。運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度加速度 a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的的加速度加速度 a2=ew w2，方向指向，方向指向O1。teateayx sin , cos2222w ww ww ww w a1=0，

27、a2=ew w2根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有xxixCixiFtemamFamR2222)e(cos , w ww w(m2=P2/g)33工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理tegPPPFtegPFyxw ww ww ww wsin ,cos2221R22R ,) e (iyCiyiFam21R222sin2PPFtegPamyy w ww wm1=P1/gxxixCixiFtegPamFamR2222)e(cos , w ww w所以所以:34工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理。)1(, )1(0,221min,

28、R221max,Rmin,R22max,RgePPFgePPFFegPFyyxxw ww ww w 可見，由于偏心引起的動(dòng)反可見，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。其最大值和最小值為（按絕對其最大值和最小值為（按絕對值）：值）：35工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 浮動(dòng)起重船浮動(dòng)起重船, 船的重量為船的重量為P1=200kN, 起重桿的重起重桿的重量為量為P2=10kN, 長長 l=8m，起吊物體的重量為，起吊物體的重量為P3=20kN 。 設(shè)開始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重設(shè)開始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿桿OA與

29、鉛直位置的夾角為與鉛直位置的夾角為 1=60, 水的阻力不計(jì)水的阻力不計(jì), 求求起重桿起重桿OA與鉛直位置成角與鉛直位置成角 2 =30時(shí)船的位移。時(shí)船的位移。例題例題 5-436工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm 解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象。究對象。受力分析如圖示，受力分析如圖示，且初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)且初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo)質(zhì)心的位置坐標(biāo)xC保持不變。保持不變。 0)e(xFm1=P1/g , m2=P

30、2/g , m3=P3/g37工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理設(shè)船的位移設(shè)船的位移 x，向右，桿的，向右，桿的質(zhì)心水平位移質(zhì)心水平位移2/)sin(sin2112lxx 重物的位移重物的位移lxx)sin(sin2113 0/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211 lxPlxPxP 所以所以 0 0iiiixPxm所所以以38工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)sin(sin)(2221321321 lPPPPPxm318. 0m)30sin60(sin8)2010200(220210 計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表

31、明船計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明船的位移水平向左。的位移水平向左。39工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 1.為什么動(dòng)量定理的微分形式可用其兩邊向任何為什么動(dòng)量定理的微分形式可用其兩邊向任何軸（直角坐標(biāo)軸與自然坐標(biāo)軸）上投影來求解動(dòng)力軸（直角坐標(biāo)軸與自然坐標(biāo)軸）上投影來求解動(dòng)力學(xué)問題？動(dòng)量定理的積分形式是否也可將其兩邊向?qū)W問題？動(dòng)量定理的積分形式是否也可將其兩邊向自然坐標(biāo)軸上投影來求解動(dòng)力學(xué)問題？自然坐標(biāo)軸上投影來求解動(dòng)力學(xué)問題？ 2. 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒時(shí)，其中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒時(shí)，其中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是否也必須保持不變？是否也必須保持不變？思考題思考題 5

32、-240工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 動(dòng)量定理動(dòng)量定理只揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化與外只揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化與外力主矢的關(guān)系；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只揭示了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與力主矢的關(guān)系；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只揭示了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與外力主矢的關(guān)系。但不是質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)的全貌。外力主矢的關(guān)系。但不是質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)的全貌。 下面介紹下面介紹動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理，動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系，從變與外力對同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系，從另一個(gè)側(cè)面

33、揭示出質(zhì)點(diǎn)系對于某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)側(cè)面揭示出質(zhì)點(diǎn)系對于某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。41工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理5-2動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理vmrvmMO )(17-15) )()(vmMvmMzzO (17-16)動(dòng)量矩的單位為：動(dòng)量矩的單位為：kgm2/s1動(dòng)量矩動(dòng)量矩(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 設(shè)質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)動(dòng)量為設(shè)質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)動(dòng)量為 ，其對，其對O點(diǎn)的位置為矢點(diǎn)的位置為矢徑徑 ，如圖所示，定義質(zhì)點(diǎn)，如圖所示，定義質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量對于的動(dòng)量對于O點(diǎn)的矩點(diǎn)的矩為質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動(dòng)量矩，是矢量；定義質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的動(dòng)量矩，是矢量；定義質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 在在Oxy平面平

34、面上上的投影（的投影（mv)xy對于點(diǎn)對于點(diǎn)O的矩，為的矩，為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對于z軸的矩，簡稱對于軸的矩，簡稱對于z軸軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。表示如下的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。表示如下vmvmr42工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對軸之矩的規(guī)定相同，對著軸正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對軸之矩的規(guī)定相同，對著軸正向看：順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。正向看：順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。 質(zhì)點(diǎn)對于質(zhì)點(diǎn)對于O點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于軸上的投影，等于對對z軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。 動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動(dòng)

35、轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。的強(qiáng)弱。 )()(mvMmvMzzO 43工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的的動(dòng)量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)動(dòng)量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O的主矩，的主矩，即即(2) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩)1717()(1 iiniOOvmML 質(zhì)點(diǎn)系對某軸質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸z動(dòng)動(dòng)量矩的代數(shù)和，即量矩的代數(shù)和，即)1817()(1 iinizzvmML利用式利用式(17-16)，得，得 )1917( zzOLL上式表明：質(zhì)點(diǎn)系

36、對某點(diǎn)上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對于該軸的動(dòng)量矩。軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對于該軸的動(dòng)量矩。 44工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 剛體移動(dòng)時(shí)，可把其質(zhì)量集中于質(zhì)剛體移動(dòng)時(shí)，可把其質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩；剛體心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩；剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其對軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其對軸z的動(dòng)量矩為的動(dòng)量矩為 niiiniiiiniiiiiinizzrmrrmrvmvmML12111)(w ww w令令 稱為剛體對稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是有軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是有zniiiJrm 12

37、)2017( w wzzJL即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對轉(zhuǎn)即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。45工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理已知，滑輪已知，滑輪A：m1，r1，r1=2r2，J1；滑滑輪輪B：m2，r2，J2 ；物體物體C：m3；運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。；運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。求系統(tǒng)對求系統(tǒng)對O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。例題例題 5-546工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理11222321w ww wrrvv 3232222221)(vrmmrJ

38、rJLO OCOBOAOLLLL 2332222211)(rvmrvmJJ w ww w解：解：47工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)(dddd)(dd)(ddvmtrvmtrvmrtvmMtO 2.動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理(1) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩求一次導(dǎo)數(shù)，對質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩求一次導(dǎo)數(shù)，得得FrvmvvmMtvtrFvmtO )(dddd,)(dd所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?8工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理得得因因?yàn)闉?(, 0FMFrvmvO )()(ddFMvmMtOO FrvmvvmMtO )(dd(17

39、-21)式式(17-21)表示質(zhì)點(diǎn)對某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)表示質(zhì)點(diǎn)對某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點(diǎn)上所受外力的合力對該點(diǎn)的矩，稱為數(shù)，等于質(zhì)點(diǎn)上所受外力的合力對該點(diǎn)的矩，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理。49工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)()(dd ),()(dd ),()(ddFMvmMtFMvmMtFMvmMtzzyyxx )()(ddFMvmMtOO 上式的投影式分別為上式的投影式分別為即質(zhì)點(diǎn)對某固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)即質(zhì)點(diǎn)對某固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力對該軸的矩。所受外力的合力對該軸的矩。50工程力學(xué)

40、教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(2) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理n個(gè)方程相加，有個(gè)方程相加，有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理有)()()(dd)e() i (iOiOiiOFMFMvmMt niiOniiOniiiOFMFMvmMt1)e(1) i (1)()()(dd由于由于0)(,dd)(dd)(dd) i (11 iOOniiiOniiiOFMLtvmMtvmMt51工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 上式表明質(zhì)點(diǎn)系對于某固定點(diǎn)上式表明質(zhì)點(diǎn)系對于某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對時(shí)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于

41、作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和（外力對點(diǎn)的矩的矢量和（外力對點(diǎn)O的主矩），稱為的主矩），稱為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理系動(dòng)量矩定理，其投影式為：，其投影式為：于是于是 niiOOFMLt1)e()(dd niizzniiyyniixxFMLtFMLtFMLt1(e)1(e)1(e)(dd, )(dd, )(dd（17-22）52工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(3) 動(dòng)量矩守恒定理動(dòng)量矩守恒定理 作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某固定點(diǎn)作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某固定點(diǎn)O的矩恒為零，則質(zhì)的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，點(diǎn)對該點(diǎn)的

42、動(dòng)量矩保持不變，即即 恒矢量恒矢量 )(vmMO 作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某定軸的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某定軸的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對該軸的動(dòng)量矩保持不變，即對該軸的動(dòng)量矩保持不變，即 。恒量恒量 )(vmMz以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律 同理，當(dāng)外力對某固定點(diǎn)（或某固定軸）的主同理，當(dāng)外力對某固定點(diǎn)（或某固定軸）的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變，這就是保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律。 另外，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。另外，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。5

43、3工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析： ，j jj j2)(mllmlvmMO OMlv , j j由動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理)()(ddFMvmMtOO 微幅擺動(dòng)時(shí)，微幅擺動(dòng)時(shí)， 并令并令 ，則，則 , sinj jj j lg 2nw w02n j jw wj j 解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。受力圖如圖示。 已知單擺已知單擺 m，l，t =0時(shí)時(shí)j j= j j0，從靜，從靜止開始釋放。止開始釋放。 求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。0sin , sin)(dd2 j jj jj jj jlg

44、mglmlt 即即例題例題 5-6j jsin)()()(TmglgmMFMFMOOO 54工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎╊}規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用： 在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。質(zhì)點(diǎn)繞某點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。解微分方程，并代入初始條件解微分方程，并代入初始條件 則運(yùn)動(dòng)方程則運(yùn)動(dòng)方程)0, 0(00 j jj jj jtglTtlg2,cos0 擺動(dòng)周期擺動(dòng)周期j jj

45、 j55工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理解：解： 系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。 ， 0)()e(FMOrvvmrvmABAA)(0 2vvA 猴猴A與猴與猴B向上的絕對速度是一向上的絕對速度是一樣的，均為樣的，均為 。2v例題例題 5-7 已知：猴子已知：猴子A重等于猴子重等于猴子B重，猴重，猴B以相對繩速度以相對繩速度 上爬，猴上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，向上爬時(shí)，猴猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）v56工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理)()(dd1i

46、nizzFMJt w w 3. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 如圖示一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，由質(zhì)點(diǎn)系對如圖示一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，由質(zhì)點(diǎn)系對z軸動(dòng)量軸動(dòng)量矩定理矩定理上式稱為上式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。)(dd1inizzFMtJ w w或或）（也也可可為為2317) FMJzz ）（或或2417)(dd122 FMtJnizzj j57工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理4.剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體對任意軸定義：剛體對任意軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為： niiizrmJ12轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單

47、位制中單位為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單位制中單位為 kgm2 。（一）（一）勻質(zhì)細(xì)直桿長為勻質(zhì)細(xì)直桿長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，其分別，其分別對對z和和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1) 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算2222121d mlxlmxJllz 202 31d mlxlmxJlz mrJmzd2若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則：若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則：58工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理（二）（二）勻質(zhì)薄圓環(huán)半徑勻質(zhì)薄圓環(huán)半徑R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，其對中心軸其對中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（三）（三）勻質(zhì)圓板半徑勻質(zhì)圓板半

48、徑R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，其對中心軸其對中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量222mRmRRmJiiz 2d2RmrrmAAiii 24302142d2mRJRrrJOARAO 或或所以所以 任取一圓環(huán)，則任取一圓環(huán)，則59工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(2) 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑即物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于該物體質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑的平即物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于該物體質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑的平方的乘積；方的乘積； 對于均質(zhì)物體，僅與幾何形狀有關(guān)，對于均質(zhì)物體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。與密度無關(guān)。2zzmJ 則則mJzz 定義：定義：(3) 平行移軸定理平行移軸定理 剛體對于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等

49、于剛體對于過質(zhì)心、剛體對于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對于過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體質(zhì)量與軸距并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體質(zhì)量與軸距平方的乘積，即平方的乘積，即2mdJJzCz 60工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 )(222iiiiizCyxmrmJ )(222iiiiizyxmrmJ )( ,22dyxmJdyyxxiiiziiii所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?iiiiiiymddmyxm2)()(222證明：設(shè)質(zhì)量為證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為的剛體，質(zhì)心為C，OzCz 2 0 , mdJJmyymmmzCzCiii所所以以因因?yàn)闉閯傮w對通

50、過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。61工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分先計(jì)算每一部分(物體物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若物體有空心部分若物體有空心部分, 要要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。(4) 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法62工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理盤盤桿桿OO

51、OJJJ 222221)(2131RlmRmlm )423(213122221lRlRmlm 解：解：已知：已知： 均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿m1, l ；均質(zhì)圓盤：；均質(zhì)圓盤：m2 , R 。 求求 JO 。例題例題 5-863工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為m=8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，字型，可繞通過可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí)處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度形桿具有角速度w w =4 rad/s 。求該瞬時(shí)軸承。求該瞬時(shí)軸承O的約的約束力。束力。例題例題 5-964工程力學(xué)

52、教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 解：選解：選T 字型桿為研究對象。字型桿為研究對象。受力分析如圖示。受力分析如圖示。P=mg5 . 025. 0 mgmgJO 2222121712131mlmlmlmlJO 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程) ( rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 08121722 65工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得得OxxCxCFmama 21mgmgFmamaOyyCyC 21N 96N) 5 . 04 25. 0

53、4( 8)( 2221 xCxCOxaamF所所以以N 3 .32N ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 OyF66工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理思考題思考題 5-3 圖圖 a、b中所示的兩個(gè)滑中所示的兩個(gè)滑輪輪O1和和O2完全相同，在圖完全相同，在圖 a所示情況中繞在滑輪上的繩所示情況中繞在滑輪上的繩的一端受拉力的一端受拉力 (F=P)作用作用，在圖，在圖 b所示情況中繩的一所示情況中繩的一端掛有重物端掛有重物A，其重量等于，其重量等于 。問兩輪的角加速度是。問兩輪的角加速度是否相同？等于多少？設(shè)繩重否相同？等于多少？設(shè)

54、繩重及軸承摩擦均可不計(jì)。及軸承摩擦均可不計(jì)。FP67工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理思考題思考題 5-4圖示均質(zhì)等截面直桿圖示均質(zhì)等截面直桿, 質(zhì)量為質(zhì)量為m, 已知已知 ，問是否問是否 。231mlJz 224843)43(mllmJJzz 68工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 5-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 各種運(yùn)動(dòng)形式存在能量轉(zhuǎn)換和功的關(guān)系，其表各種運(yùn)動(dòng)形式存在能量轉(zhuǎn)換和功的關(guān)系，其表現(xiàn)為動(dòng)能定理，與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法現(xiàn)為動(dòng)能定理，與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理從能量角度研究動(dòng)力學(xué)問題，研究不同

55、，動(dòng)能定理從能量角度研究動(dòng)力學(xué)問題，建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用力的物理動(dòng)能和作用力的物理量量功之間的聯(lián)系，有時(shí)可以方便有效地解決動(dòng)力功之間的聯(lián)系，有時(shí)可以方便有效地解決動(dòng)力學(xué)問題。學(xué)問題。 在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)，需要計(jì)算作用力在某一時(shí)在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)，需要計(jì)算作用力在某一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量；而在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，則需要計(jì)間間隔內(nèi)的沖量；而在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，則需要計(jì)算作用力在某一段路程內(nèi)的功。算作用力在某一段路程內(nèi)的功。69工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 cossFW 力的功是代數(shù)量。在國際單位制中，力的功是代數(shù)量。在國際單位制中，其

56、單位為其單位為1J=1Nm1. 力的功力的功 力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。圖示質(zhì)力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。圖示質(zhì)點(diǎn)在常力作用下，力點(diǎn)在常力作用下，力 的功定義為：的功定義為：F70工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理sFWdcos rFWd 或或 對變力的功，如圖所示，對變力的功，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)。在無限小位質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)。在無限小位移移 中力中力 視為常力，視為常力，ds視視為直線，力為直線，力F的功稱為元功，的功稱為元功，記為記為d dW。則。則Frd71工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理力在全路程上作的功

57、為元功之和，即力在全路程上作的功為元功之和，即 21ddcos0MMsrFsFW kzj yi xrkFjFiFFzyxdddd, 因?yàn)橐驗(yàn)閯t力從則力從M1到到M2過程作的功為過程作的功為 21)ddd(MMzyxzFyFxFW72工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(1) 重力的功重力的功對質(zhì)點(diǎn)系，重力功為：對質(zhì)點(diǎn)系，重力功為：)()(2121CCiiizzmgzzgmW 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。mgPFFFz

58、yx , 0重力投影：重力投影：)(d2121zzmgzmgWzz 所以所以73工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(2) 彈性力的功彈性力的功 彈簧原長彈簧原長l0，在彈性極限內(nèi)，在彈性極限內(nèi)F =kl l ，k為剛度系數(shù)，為剛度系數(shù)，表示彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。單位表示彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。單位N/m , N/cm。 2121ddl ll ll ll ll ll ll lrkFW如如圖示圖示F= k l l , (彈性力指向與彈性力指向與質(zhì)點(diǎn)位移方向相反，彈性力質(zhì)點(diǎn)位移方向相反，彈性力作的功為作的功為)(2 2221l ll l kW即即 彈性力的

59、功只與彈簧的起彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。74工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角j j與弧長與弧長s 的關(guān)系為的關(guān)系為ds=ridj jj jj jj jdd)(dddttziziiiMFMrFsFrFW 則力則力F 的元功為的元功為(3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功、力偶的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功、力偶的功 設(shè)在繞定軸設(shè)在繞定軸 z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上Mi 點(diǎn)作用有力點(diǎn)作用有力 ，則力則力 在切線上投影為在切線上投影為Fit=Ficos iFiF75工程力學(xué)

60、教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。等于力矩的功。 如果作用力偶，則力偶如果作用力偶，則力偶作的功仍可用上式計(jì)算。作的功仍可用上式計(jì)算。剛體從剛體從j j1到到j(luò) j2 轉(zhuǎn)動(dòng)過程中力轉(zhuǎn)動(dòng)過程中力F 作作的功為的功為j jj jj jd 21 zMWd dW=Mzdj j76工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 1)萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。與路徑無關(guān)。)11(120rrGmmW (4) 其它常見力作的功其它常見力作