第八章 描述函數(shù)法

1、非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ty(t)ty(t)tty(t)y(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt)= A0+Yn(sin nt+n)n=1n=122n nn nn nB BA AY Y 200)(21t td dt ty yA At td d t tn nt ty yA An n 20cos)(1t td d t tn nt ty yB Bn n 20sin)(1若若A0=0，且當(dāng)，且當(dāng)n1時，時，Yn均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！1111X X(t) = Asin ty(t) Y1sin(t

2、+1)非線性環(huán)節(jié)可非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)具有和線性環(huán)節(jié)相類似相類似的頻率響應(yīng)形式的頻率響應(yīng)形式為此，定義正弦信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中為此，定義正弦信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波一次諧波分量和輸入信號的分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)描述函數(shù)，用，用N(A)表示：表示：y(t) A1cos t+B1sin t Y1sin(t+1)1= arctgA1/B111 j je eA AY YA Aj jA AB B11 N(A) = N(A) ejN(A) =v 死區(qū)特性描述函數(shù))sin()(tAKxKy0, 010 AA2/1

3、1sin)sin(4ttdtAKB2/2/211)sinsin(4ttdKttdKA2/2/11sin)2cos1 (24ttdKtdtKA)cos()2sin21(242/2/11tKttKA)(cos2)2sin212(2111AKA)(1arcsin222AAAKA1sinAA arcsin121)(1cosA)(1arcsin22)(2AAAKANv 飽和特性描述函數(shù)2,0,sin11tKattKAy0, 010 AA1102/21)sinsin(4ttdKAttdKAB)(1arcsin22AaAaAaKA)(1arcsin2)(2AaAaAaKANv 間隙特性描述函數(shù)tbtAKtb

4、AKtbtAKy11),sin(2/),(2/0),sin(111)cos)sin(cos)(cos)sin(22/2/01ttdbtAKttdbAKttdbtAKA) 1(4AbKb11)sin)sin(sin)(sin)sin(22/2/01ttdbtAKttdbAKttdbtAKB )1 ()21 (2)21arcsin(2AbAbAbAbKA) 1(4 )1 ()21 (2)21arcsin(2)(AbAKbjAbAbAbAbKAN00 Av 繼電特性描述函數(shù) ttMty2211, 0,0, 0)sin(sin2cos212121MttdMA)sin(sin21AmhAh) 1(2mA

5、Mh)coscos(2sin212121 MttdMB)(1)(1222AhAmhMhAmAMhjAhAmhAMAN),1(2)(1)(12)(222非線性特性非線性特性的的描述函數(shù)描述函數(shù)一般繼電特性的描述函一般繼電特性的描述函數(shù)數(shù)： )()1(2)(1)(12)(222hAmAhMjAhAhmAMAN AMAN 4)( 理想繼電特性：理想繼電特性：死區(qū)繼電特性：死區(qū)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：0 h1 m1 m214)( AhAMAN 224j14)(AMhAhAMAN 一般而言一般而言, ,描述函數(shù)描述函數(shù) N(A)是是A的函數(shù)的函數(shù), ,與頻率與頻率 無關(guān)無關(guān)非線性環(huán)節(jié)為

6、單非線性環(huán)節(jié)為單/ /非單值函數(shù)非單值函數(shù)時時, ,N(A)是實(shí)是實(shí)/ /復(fù)數(shù)復(fù)數(shù), ,虛部為虛部為/ /不為不為0 q 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（1 1） 1 1 基本假設(shè)基本假設(shè) 結(jié)構(gòu)上：結(jié)構(gòu)上：N(A), G(j ) 串聯(lián)串聯(lián) N(A)奇對稱奇對稱, ,y1(t)幅值占優(yōu)幅值占優(yōu) G(j )低通濾波特性好低通濾波特性好2 2 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 返回返回例例1 1 理想繼電特性的負(fù)倒描述函數(shù)理想繼電特性的負(fù)倒描述函數(shù)1)()( jGAN0)()(1 jGAN)(1)(ANjG )( jG)(1AN 3 3 的繪制

7、及其特點(diǎn)的繪制及其特點(diǎn))(1AN AMAN 4)( MAAN4)(1 不包圍不包圍包圍包圍相交于相交于則系統(tǒng)則系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能自振可能自振7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（2 2）例例2 2 純滯環(huán)繼電特性的負(fù)倒描述函數(shù)純滯環(huán)繼電特性的負(fù)倒描述函數(shù) 22222414414)(AhjAhAhhMAMhjAhAMAN )(hA AhjAhhAAN 20114)(1 4142 jAhhA AhjAhhA214 3 3 的繪制及其特點(diǎn)的繪制及其特點(diǎn) 返回返回 )(1AN 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性

8、系統(tǒng)（3 3）4 4 自振分析自振分析 ( (定性定性) )穿入穿入 穿出穿出 相切于相切于 不是自振點(diǎn)不是自振點(diǎn) 的點(diǎn)的點(diǎn) 對應(yīng)半穩(wěn)定對應(yīng)半穩(wěn)定的周期運(yùn)動的周期運(yùn)動 是自振點(diǎn)是自振點(diǎn) 返回返回 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（4 4）自振分析自振分析 ( (舉例舉例) )7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（5 5） 4 4 自振分析自振分析 ( (定量定量) )自振必要條件：自振必要條件：例例1 1 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。，求自振參數(shù)。解解 作圖分析，作圖分析，系統(tǒng)一

9、定自振。系統(tǒng)一定自振。1)()( jGAN由自振條件：由自振條件：1)2)(1(104 jjjA)2(3)2)(1(4022 jjjjA2340 A122. 2640 A得：得：比較實(shí)比較實(shí)/ /虛部虛部：0)2(2 2 1)()( jGAN7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（6 6） 分析：可以調(diào)節(jié)分析：可以調(diào)節(jié)K, t t實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動。實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動。1)()( jGAN1)2)(1(4 t tjjjKeAMj)2(3422 t t jAMKej)32arctan(54242 141 AM 322. 031arctan93. 910t

10、t K解解代入代入比較模和相角得比較模和相角得例例2 2 系統(tǒng)如右，欲產(chǎn)生系統(tǒng)如右，欲產(chǎn)生 的周期信號的周期信號, , 試確定試確定K、t t的值的值。 41A 演示演示 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（7 7） 例例3 3 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示， 已知：已知：(1)(1)自振時自振時, ,調(diào)整調(diào)整K使使 。 求此時的求此時的K值和自振參數(shù)值和自振參數(shù)(A, )以及輸出振幅以及輸出振幅Ac。(2)(2)定性分析定性分析K增大后自振參數(shù)增大后自振參數(shù)(A, )的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 ) 1(818)(1, 222

11、2AAjAAANhM 135)1(2)(ssKsG jAAAN 18)(22 jAAN 18)(12 881112)1(2)(2 jjKjjKjG 解解(1)(1)(2) (2) 依圖分析：依圖分析： ,AK2 A 6 . 3283927. 081 cAK88 j 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（8 8） 例例4 4 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示， 已知：已知：(1)(1) 時，系統(tǒng)是否自振？時，系統(tǒng)是否自振？ 確定使系統(tǒng)自振的確定使系統(tǒng)自振的K值范圍；求值范圍；求K=2時的自振參數(shù)時的自振參數(shù)。(2) (2) G3(s

12、)=s 時，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。時，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 )(14)()(,) 1(1)(221hAAhAMANsKsGsssG 1)(3 sG解解 先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu)先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu) 返回返回解法解法II 特征方程法特征方程法 32111)(GGGGsG 解法解法I 等效變換法等效變換法132111)(GNGGGGs 01)(1321 GNGGGsD111321 GGGGN13211)(GGGGsG 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（9 9） 例例5 5 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，用描述函數(shù)法說明非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，用描述

13、函數(shù)法說明系統(tǒng)是否自振，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的初值系統(tǒng)是否自振，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的初值( (A)范圍。范圍。解解 將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換，求等效將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換，求等效G*(s)0)()()(1)(11 sGsGANsD)(1 )()(11sGsGAN 1)(1)()(11 sGsGAN5 . 05 . 0)1(5 . 0)(1)()(*211 ssssGsGsG7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（1010） G*(j ) :QQAA 0 3601)0(* jG5 . 05 . 0)1(5 . 0)(1)()(*211 ssssGsGsG 900)(*

14、 jG121145 . 05 . 0)1(5 . 04)()(212 jjAjjAMjGANM從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn) 不是自振點(diǎn)不是自振點(diǎn)分析可知：使系統(tǒng)穩(wěn)定的初始擾動范圍為分析可知：使系統(tǒng)穩(wěn)定的初始擾動范圍為令令 jjA 221)1(41)(4 A 1122 273. 1 QA1 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（11 11） 解解 將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為1)41)(1(5 . 2)(142 jjjAhAM例例6 6 非線性系統(tǒng)如圖所示，非線性系統(tǒng)如圖所示， 分析系統(tǒng)是否存分

15、析系統(tǒng)是否存 在自振；若存在自振，確定輸出端信號在自振；若存在自振，確定輸出端信號c(t)的振幅和頻率。的振幅和頻率。 , 2, 1 KhMa依自振條件依自振條件1)()( jGAN)541(5 . 0102222 jjAA )41(522 j比較虛實(shí)部比較虛實(shí)部5 . 0 25. 15 . 055 . 0102222 AA 7 7.3.3 .3.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（1212） 分析可知：系統(tǒng)存在自振分析可知：系統(tǒng)存在自振5 . 0 25. 15 . 055 . 0102222 AA 0621. 1486. 624 AA 2241. 62605. 02A

16、495. 25104. 021AA 495. 25 . 02AA 894. 025. 11115 . 02 cAAcx79. 2894. 0495. 2894. 0AAc 79. 25 . 0cA 描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)步驟描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)步驟 結(jié)構(gòu)圖簡化，把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)圖簡化，把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 根據(jù)定義或者查表，確定根據(jù)定義或者查表，確定描述函數(shù)描述函數(shù) 確定確定負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒描述函數(shù)。起點(diǎn)，終點(diǎn)，拐點(diǎn)，變化趨勢。起點(diǎn)，終點(diǎn)，拐點(diǎn)，變化趨勢 確定非線性系統(tǒng)的確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。類似于奈奎斯特判據(jù)。類似于奈奎斯特判據(jù)。 分析自振情況。分析自振情況。 負(fù)倒描述函數(shù)曲線和奈式曲線有交點(diǎn)，可能存在。穩(wěn)負(fù)倒描述函數(shù)曲線和奈式曲線有交點(diǎn)，可能存在。穩(wěn)定的周期運(yùn)動才是定的周期運(yùn)動才