第5章誤差基本知識ppt課件

1、第五章第五章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 5-1 測量誤差概述 先作兩個前提假設(shè)： 觀測條件相同. 對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律。 先看兩個實例：先看兩個實例：例例1：用名義長度為：用名義長度為30米而實際長度為米而實際長度為30.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表丈量結(jié)果見下表5-1： 表表5-1 可以看出：可以看出： 從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任 何規(guī)律性。何規(guī)律性。 多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。

2、引進如下概念：引進如下概念： (二二) 測量誤差的處理原則測量誤差的處理原則 在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。正、抵消或削弱。 對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。次觀測，消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測

3、值加以改正，消除其影響。求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。 消除或削弱偶然誤差的有效方法：消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級。適當(dāng)提高儀器等級。 進行多余觀測，求最或是值。進行多余觀測，求最或是值。 假設(shè)假設(shè)i= Li X i= Li X （i=1,2,3,358i=1,2,3,358） 負 誤 差 正 誤 差 合 計 誤差區(qū)間 d（） 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 個數(shù)k 頻率k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 9

4、1 12 2 1 12 21 15 5 1 15 51 18 8 1 18 82 21 1 2 21 12 24 4 2 24 4 4 45 5 4 40 0 3 33 3 2 23 3 1 17 7 1 13 3 6 6 4 4 0 0 0 0. .1 12 26 6 0 0. .1 11 12 2 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 06 64 4 0 0. .0 04 47 7 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 17 7 0 0. .0 01 11 1 0 0 4 46 6 4 41 1 3 33 3 2 21 1 1 16 6 1 13 3 5 5 2

5、2 0 0 0 0. .1 12 28 8 0 0. .1 11 15 5 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 05 59 9 0 0. .0 04 45 5 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 14 4 0 0. .0 00 06 6 0 0 9 91 1 8 81 1 6 66 6 4 44 4 3 33 3 2 26 6 1 11 1 6 6 0 0 0 0. .2 24 45 5 0 0. .2 22 27 7 0 0. .1 18 84 4 0 0. .1 12 23 3 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 07 72 2 0 0. .0 0

6、3 31 1 0 0. .0 01 17 7 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1 1. .0 00 00 0 5-2 5-2 偶然誤差的特性偶然誤差的特性從表從表5-25-2中可以歸納出偶然誤差的特性中可以歸納出偶然誤差的特性 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??； 絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率；絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率； 當(dāng)

7、觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。 用公式表示為：用公式表示為： 實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大 時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。 0limlim21 nnnnn 為了直觀地表示偶然誤差的正負和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(圖5-1)。-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖dnk /)(/頻率nk 若

8、誤差的個數(shù)無限增大若誤差的個數(shù)無限增大(n)，同時又無限縮小誤，同時又無限縮小誤差的區(qū)間差的區(qū)間d，則圖，則圖6-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。 即當(dāng)即當(dāng)n時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。出現(xiàn)的概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 為標準差，標準差的平方為為標準差，標準差

9、的平方為 方差。方差。 方差為偶然誤差平方的理論平均值：方差為偶然誤差平方的理論平均值： nnnnn 2222212limlimefy221)(22 nnnnlimlim22) 45 ( ) 55 ( 從從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即: 1.f()是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得的是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得的f()相等，所以曲線對相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。 2.愈小，愈小，f()愈大。當(dāng)愈大。當(dāng)=0時，時，f()有最大值有最大值; 反之，反之

10、，愈大，愈大，f()愈小。當(dāng)愈小。當(dāng)n時，時，f() 0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。這就是偶然誤差的第一和第二特性。 3.如果求如果求f()二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標：二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標： 拐拐= 如果求如果求f()在區(qū)間在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值 ，所以當(dāng)所以當(dāng) 愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng)愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng) 愈大時，曲線將愈平愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù) 的值表

11、征了誤差擴散的特征。的值表征了誤差擴散的特征。efy221)(22f()+-11121-+f()2+-221221v 觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；v 觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ；v 具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降；v 具有較大 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。最大縱坐標點：21efy221)(225-3 5-3 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準一一. .中誤差中誤差 誤差誤差的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： 標準差標準差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在測量工作中，

12、觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：誤差公式： 標準差標準差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測個數(shù)的不同在于觀測個數(shù) n n 上；上； 標準差表征了一組同精度觀測在標準差表征了一組同精度觀測在(n)(n)時誤差分布的擴散特時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標；征，即理論上的觀測指標； 而中誤差則是一組同精度觀測在為而中誤差則是一組同精度觀測在為 n n 有限個數(shù)時求得的觀測精有限個數(shù)時求得的觀測精度指標；度指標； 所以中誤差是標準差的近似值估值；所以中誤差是標準差的近似值估值； 隨著隨著 n n 的增大，的增

13、大，m m 將趨近于將趨近于。 nm二、容許誤差極限誤差）二、容許誤差極限誤差） 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d d中的概率：中的概率： p(p()=f()=f() d) d 設(shè)以設(shè)以k k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.42m)=0.955=95.4 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可見

14、：偶然誤差的絕對值大于由此可見：偶然誤差的絕對值大于2 2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的倍中誤差的約占誤差總數(shù)的4.64.6，而大于，而大于3 3倍的誤倍的誤差僅占誤差總數(shù)的差僅占誤差總數(shù)的0.30.3。 由于一般情況下測量次數(shù)有限，由于一般情況下測量次數(shù)有限，3 3倍中誤差很少遇到，倍中誤差很少遇到， 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為極限，稱為“容許誤差容許誤差”，或，或 稱為稱為“限差即限差即容容=2m=2mkmkmdfkmP)()( 在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。還不

15、能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如例如: 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200米和米和40米兩段距離，量距的中誤差都米兩段距離，量距的中誤差都是是2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。差與其長度有關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即的分式，即 。 上例為上例為 K1= m1/L1=1/10000, K

16、2= m2/L2=1/2000 可見可見: 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。誤差。N15-4 5-4 誤差傳播定律誤差傳播定律 假設(shè)假設(shè) Z=Fx1,x2,x3,，xn） 式中式中xi(i=1,2,3,，n)為獨立觀測值，其中誤差為為獨立觀測值，其中誤差為mi (i=1,2,3,，n),求觀測值函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)的中誤差mz。當(dāng)觀測值。當(dāng)觀測值xi分別具分別具有真誤差有真誤差xi時，則函數(shù)時，則函數(shù)z也隨之產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差也隨之產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差z 。 由數(shù)學(xué)分析可知，變

17、量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用函由數(shù)學(xué)分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用函數(shù)的全微分表達，即數(shù)的全微分表達，即222222122)()()(21nxFxFxFzmmmmnnniiinnxxFxxFxxFzdzdxzxzxdxxFdxxFdxxFdz 22112211,即：、代替上式中的、均很小，所以可用、由于 一般函數(shù)：一般函數(shù)： 倍數(shù)函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)： 和差函數(shù)：和差函數(shù)： 線性函數(shù)：線性函數(shù)： 2222221221)()()(),(21nxfxfxfznmmmmxxxfznxzkmmkxz2222121nznmmmmxxxz22222221212211nnznnmkmkmkmxk

18、xkxkz),(21nxxxfznnnnxxFxxFxxFzdxxFdxxFdxxFdz 22112211即：222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmnsin szcmmcmsmmszmszzsz4 . 4)(4 .196 . 08 .18)()496. 01011.150()5()868. 0()()cos(sincos;sin22062656 .20222222222即：sin sz例：有函數(shù)式如下，若例：有函數(shù)式如下，若x x的中誤差的中誤差mxmx為已知，求為已知，求mzmz。22 3 122121xyxyyyzxzyyzxyxymmmmmyyzmmxymmxy5 4

19、122223321212222121xzmmxzxxzxyxyyyz757 1)22(23223122121方法一方法一: :方法二方法二: :LmmSmSLhAB站站菲列羅公式故測角中誤差：三角形內(nèi)角和的中誤差nffmmmmnffm333 由三角形閉和差求測角中誤差由三角形閉和差求測角中誤差 LXnlimlim () limnnnLXnXn lim0nn即，即，n 趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值 設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為次，觀測值為L1, L2, L3 , Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確

20、定出該未知量的個觀測值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為最或然值。設(shè)未知量的真值為X ，以，以L表示上式觀測值的算術(shù)表示上式觀測值的算術(shù)平均值，則有平均值，則有 式中：式中：i = LiX取極限：取極限： nXnnXnLLLLXLnii21現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式?，F(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。12111nLLLLnnn 式中，式中，1 / n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為誤差均為m?，F(xiàn)以。現(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則算術(shù)平均值表示算術(shù)平均值的中誤差，則算術(shù)平均值的中誤差為的中誤差為nmmnnmnmnmnm

21、x22222222221111mnmmx 觀測量的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，觀測量的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用用v表示。當(dāng)觀測次數(shù)為表示。當(dāng)觀測次數(shù)為n時，有時，有 nnlLvlLvlLv2211 lnLv nlL 0v將 代入上式，得代入上式，得 觀測值改正數(shù)的重要特性: 即對于一組等精度觀測，其觀測值改正數(shù)的總和為零。 由真誤差與觀測值改正數(shù)的定義可知：由真誤差與觀測值改正數(shù)的定義可知： XlnXlXln2211 nnvXLvXLvXL2211兩邊同時平方并相加，得兩邊同時平方并相加，得 vXLvvXLn22 0vXL2nvv 由于由于 ，令，令 ，代入上

22、式，得，代入上式，得 XL nlL nnXlXnlXL由于由于 所以所以 )(22221132212213221222212222nnnnnnnnn 013221lim nnnnnnn122 nnnvvn1nm2由于由于 nmnvvm22所以所以整理后，得整理后，得1nvvm這就是用觀測值改正數(shù)求觀測值中誤差的計算公式。這就是用觀測值改正數(shù)求觀測值中誤差的計算公式。 例例1：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如下表所示，求算術(shù)平：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如下表所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差?！纠纠? 2】 ：用：用J

23、6J6型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測角度型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測角度，其，其1 1測回方向中誤測回方向中誤差為差為66，對該角度觀測，對該角度觀測3 3個測回。求個測回。求(1)(1)觀測觀測1 1測回角度中測回角度中誤差誤差mm；(2) 3(2) 3測回角度平均值的中誤差測回角度平均值的中誤差 m m均；均；(3)(3)欲使角度欲使角度中誤差為中誤差為33需要觀測幾個測回。需要觀測幾個測回。解：解： (1)觀測觀測1測回角度中誤差測回角度中誤差m =b-a (2) 3測回角度平均值的中誤差 m均 (3)根據(jù)題意有：根據(jù)題意有：9 . 4326 nmm均262方mm83)26(326m32222 mnnmm均 設(shè)對

24、某未知量分兩組進行觀測，第一組測4次，觀測值為L1、L 2、L 3、L 4，第二組測2次，觀測值為L 1、L 2，它們都是等精度觀測，那么6214321LLLLLLx2 421243211LLxLLLLx6242421432121LLLLLLxxx表示各觀測值可靠程度的數(shù)值表示各觀測值可靠程度的數(shù)值p p）。）。v 權(quán)的定義權(quán)的定義v 權(quán)的確定權(quán)的確定設(shè)不等精度觀測值的中誤差分別為設(shè)不等精度觀測值的中誤差分別為m1，m2，mn)0( 2222211，nnmpmpmp22222112222121 nnnnmpmpmpmmmppp或：【例】設(shè)以不等精度觀測某角度，各觀測結(jié)果的中誤差分別為：【例】設(shè)

25、以不等精度觀測某角度，各觀測結(jié)果的中誤差分別為：m1=1，m2=2，m3=3，則它們的權(quán)各為，則它們的權(quán)各為91411 12332222112mpmpmp，時，4936362332222112mpmpmp，時，941442332222112mpmpmp，時，v 單位權(quán)與單位權(quán)中誤差單位權(quán)與單位權(quán)中誤差) 2 1(220nimmpii， iipmm10 等于1的權(quán)稱為單位權(quán)，與這個單位權(quán)相對應(yīng)的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，一般用m0表示。對于中誤差為mi的觀測值，其權(quán)pi為 設(shè)對某未知量進行了一組不等精度觀測，觀測值分別為L1，L 2，Ln，其對應(yīng)的權(quán)為p1，p2，pn，則加權(quán)平均值即為不等精度觀測

26、值的最或然值。計算公式為：nnnpppLpLpLpppLx212211nnLppLppLppx221122222222212212nnmppmppmppM20202202220212pmmppmppmppMn 0pmM npm0nppM 10npvvm)1(nppvvMmpppHpHpHpH340.163213322110mmnpvvm320 .1810mmnppvvpmM86. 2) 1(0測段高程觀測值Hi（m）路線長度Li（km）權(quán)pi=1/Li改正數(shù)v（mm）pv（mm）pvv（mm2）AOBOCO16.34016.34516.3365.02.52.00.20.40.50-540-2.

27、02.0010.08.0 x=16.340p=1.1pv=0pvv=18.0 【例】水準測量中從已知高程點A、B、C出發(fā)得O點的三個 高程觀測值Hi及各水準路線的長度Li，求O點高程的最或然值Ho及其中誤差M 誤差的處理原則誤差的處理原則系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時間的多次消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時間的多次觀測。觀測。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：檢校儀器： 求改正數(shù)求改正數(shù) 采用合理的觀測方法。采用合理的觀測方法。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級適當(dāng)提高儀器等級 進行多余觀測，求最或是值。進行多余觀測，求最或是值。 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；的絕對值不會超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對值相等的正、負誤