2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國I卷)理科數(shù)學及答案解析

1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國 I卷）理科數(shù)學一、選擇題（本大題共 12小題，共60分）1.已知集合 M =x|4<x<2, N =x|x2x6<0,則M CN=（）A.x | -4 :二 x ：3b.x| 4 :二 x ： -2C. x| -2 ： x ： 2 d. x|2 ： x <3A. B.8.右圖是求JT31T2+22.設復數(shù)z滿足zi =1, z在復平面內(nèi)對應的點為 （x, y）,則（2222A. (x 1) y =1B. (x -1) y =1C. x2 (y -1)2 =1D.x2 (y 1)2=13.已知 a = log2 0.2 , b

2、=20.2, c = 0.2°.3,則(A. a : b : cb.a : c :二 bC. c : a : bd.b : c : a4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是三5二1 （三5二1fcl 0.61822稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 <51 .若某人滿足上述兩個黃金分割比例, 226cm ,則其身高可能是（）A. 165cm B. 175cm C. 185cm D.sin x x5.函數(shù)f（x）=2在一幾的圖像大致為（）cosx x且腿長為105cm ,

3、頭頂至脖子下端的長度為190cmC. 3的程序框圖,A. A = B.2 AD. 6圖中空白框中應填入（111A= 2 - C. A= 1 D. A= 2A9.記&為等差數(shù)列%的前n項和.已知S4=0, 25 = 5,則()21 2_A. an - 2n - 5B. an = 3n -10C.Sn = 2n - 8n D. Sn n - 2 n210.已知橢圓C的焦點為F1（1,0）,F2（1,0）,過F2的直線與C交于A , B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1 |,則C的方程為（）2A. y2 = 12C.D.11.關(guān)于函數(shù)f （x） = sin x + sin

4、x有下述四個結(jié)論:A.B.f （x）是偶函數(shù)f （x）在區(qū)間（-）單調(diào)遞增f （x）在Ln ,n 有4個零點f （x）的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是（）A. B.C. D. 12.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球 。的球面上，PA= PB= PC , AABC是邊長為2的正三角形,6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一 “重卦”由從下到上排列的 6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）E,F分別是PA, AB的中點，/ CEF = 90，則球。的體積為（）A. B.16豈C.327.已知非零向量a,b滿足

5、a21 D 1132.16=2 b ,且(ab) _Lb ,則a與b的夾角為(A. 8,6二 B. 4 . 6二C. 2 . 6二D. 16二二、填空題（本大題共 4小題，共20分）13 .曲線y = 3（x2 + x）ex在點（0,0）處的切線方程為 14 .記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a =1.a42=a6.MlS5=.315 .甲乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期的30.6 ,客場取勝的概率為1-tx =21 * t (t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的正半 4ty=1T2：cosu.，加 sini 11=0.比賽成績，甲隊的

6、主客場安排依次為“主主客客主客主”設甲隊主場取勝的概率為0.5,且各場比賽相互獨立，則甲隊以 4:1獲勝的概率是2216 .已知雙曲線C：勺與=i(aA0,b0)的左、右焦點分別為 6下2,過Fi的直線與C的 a buuu uuu uuu uuu兩條漸近線分別交于 A,B兩點.若F1A = AB,F1B，F(xiàn)2B=0,則C的離心率為 三、解答題(本大題共5小題，共60分)17 . AABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c.設(sin B sinC )2 = sin f (x)在區(qū)間(1,二)存在唯一極大值點;2 f (x)有且僅有2個零點.21.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新

7、藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗.實驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥， 另一只施以乙藥.一 A sin BsinC .(1)求 A;(2)若 J2a +b =2c，求 sin C .18 .如圖，直四棱柱 ABCD AB1clD1的底面是菱形， AA =4, AB =2,/BAD =60)E,M,N分別是BC,BB1,AD的中點.(1)證明：MN /平面 C1DE ；性tg?。築l£(2)求二面角A - MA1 - N的正弦值.小 *.ir 二:二- *c2 八3 ,19 .已知拋物線C:y2=3x的焦點為f 斜率為的直線

8、l與C的交點為A, B,與x軸的交點為P. 2(1)若 |AF |+|BF |=4,求 l 的方程；若 AP =3PB，求 1ABi.20 .已知函數(shù)f(x) =sinxln(1+x), f'(x)為f(x)的導函數(shù).證明：愈則乙藥得1分，甲藥得_1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和P , 一輪實驗中甲藥的得分記為X .(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分，pi (i = 0,1,H| ,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0 = 0, p8 = 1 , R = ap+ bPi + cpi

9、+1 (i = 1,2J|,7),其中 a=P(X = 1),b=P(X=0), c= P(X = 1) .假設 a = 0.5, P = 0.8.(i)證明：p- pj(i = 0,1,2川,7)為等比數(shù)列；(ii )求p4,并根據(jù)P4的值解釋這種實驗方案的合理性.四、選做題(2選1)(本大題共2小題，共10分)22 .在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為(1)求C和l的直角坐標方程； (2)求C上的點到l距離的最小值.23 .已知a,b,c為正數(shù)，且滿足 abc=1,證明：1112 . 22(1a b ca b c(a b)輪的治療結(jié)果得出后，

10、再安排下一輪實驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪實驗，若施以甲藥的白鼠 治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治 (b c)3 (c a)3 - 242019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）175cm更為接近，故選B.5.答案：D解答：理科數(shù)學答案1 .答案：C解答：由題意可知,N =x2<x<3，又因為 M =x*<x<2,則MnN=x2<x<2,故選C.2 .答案：C解答：復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為

11、（x, y）, . z = x yi. x + yi -i =1sin - x - x f (-x) =f （x）為奇函數(shù)，排除A,sin x x2 = f (x), cosx x1 x2 (y-1)2 =13.答案：B解答：sin 一二、 224 2二八又 f() =、2 =>0,排除 C,2 二 二 二cos22sin 二f (兀)=2 = - 2 > 0 ,排除 B,故選 D.cos;: w1 二6.答案：A解答：每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有26種，在6個位置上恰有 3個是陽爻的情況有 C63種，所以由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：a = log 2 0.2 <0 ；再有

12、指數(shù)函數(shù)的圖像可知：b = 20.2A1, 0<c = 0.20.3 <1 ,于是可得到：a ： c ： b.4.答案：B解答：方法一：設頭頂處為點 A,咽喉處為點B,脖子下端處為點 C,肚臍處為點D,腿根處為點E,足底處為F,BD=t,.5 -1二九，2ABAD 1根據(jù)題意可知 CB =九，故AB =近；又AD =AB +BD =（九+1）t , 止=九，故DF ='t ；BDDF所以身高h=AD+DF="+1）t將九=2二10.618代入可得h球4.24t.2根據(jù)腿長為105cm ,頭頂至脖子下端的長度為 26cm可彳導AB < AC , DF >

13、 EF ;15 -1即 M <26, t >105,將 Z = 1 定0.618代入可得 40<t <422所以 169.6 <h <178.08,故選 B.方法二：由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度26cm可估值為頭頂I至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是三5二1 （匹二1定0.618稱為黃22金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為42cm ；將人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為 68cm ,頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是受可計算出肚臍至2_ 3

14、 一D C6205P.266416答案：7.答案B解答：II設:與1的夾角為日，1 (a - b) . b- cos = -2n JI【二一 .38.答案：A解答：把選項代入模擬運行很容易得出結(jié)論a=T件選項A代入運算可得2+，滿足條件,2+12足底的長度約為110;將頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm ,與答案4選項B代入運算可得選項C代入運算可得A=2+ c 1,不符合條件, 2+2.1A = 2,不符合條件，1 x一/CEF = 90" EF=PB = ,CF=J32 222CE2+EF2 = CF2,即上+ 2+上=3,解得 x=l2，44選項D

15、代入運算可得A /1一,A = 1+,不符合條件.4PA = PB = PC = , 2又 AB - BC = AC = 29答案：A 解析：易知PA,PB,PC兩兩相互垂直,S4 = 4a16d = 0依題意有41a5 =a1 4d =5a1 = -3可得1d =22.an =2n_5 , Sn = n -4n.故三棱錐P-ABC的外接球的半徑為10.答案:B解答：.三棱錐PABC的外接球的體積為由橢圓C的焦點為F1(1,0),F2(1,0)可知 c=1,又 | AF2 |=2| F2B |, |AB|二|BFJ 可設 | BF21= m ,3 I2)則 | AF2 | = 2m , | B

16、Fi |=| AB |=3m ,根據(jù)橢圓的定義可知 | BFi | +1 BF2 |= m + 3m = 2a ,13.答案：y=3x解答:13 1、以| BF2 |=-a , | AF2 |=a ,可知A(0,-b),根據(jù)相似可得B(- -b)代入橢圓的標準方程22 222工+±=1,a2 b2 y1-3(2x 1)ex 3(x2 x)ex = 3(x2 3x 1)ex,結(jié)合導數(shù)的幾何意義曲線可知在點(0,0)處的切線方程的斜率為 k=3,22得a2 =3, b2=a2c2=2,二橢圓C的方程為 上+上=1.3211.答案：C解答：因為 f(-x)=sin x +sin(x) =s

17、inx + sinx = f (x),所以f (x)是偶函數(shù)，正確,一、，5二 2-5二、.2、因為 ,u (1, n),而f ()< f (),所以錯誤，6 3263畫出函數(shù)f (x)在I-n,n 上的圖像，很容易知道 f (x)有3零點，所以錯誤,.切線方程為y = 3x.-12114.答案：S5 = 3解答：1 2&=, a4 = a63設等比數(shù)列公比為q(aq3)2 = a1q5結(jié)合函數(shù)圖像，可知 f (x)的最大值為2 ,正確，故答案選C.q = 312.答案:D解答：PA2 PC2-AC 2設 PA = x,則 cos/APC =2PA PC22x x -4x2 -2

18、2x2CE2 =PE2 PC2 -2PE PC cos APC - - x2 - 2 xx2 -2x xc 121 S5 -315.答案：0.18解答：甲隊要以4:1 ,則甲隊在前4場比賽中輸一場，第5場甲獲勝，由于在前4場比賽中甲有2個主場2個客場, 于是分兩種情況：C2 0.6 0.4 0.52 0.6+0.62 C； 0.5 0.5 0.6= 0.18.16.答案：2解答：uuu uuu uuu uuuuuu uuu由F1A = AB,F1B F2B =0知A是BF的中點，F(xiàn)1BI F2B ,又。是己目的中點，所以OA為中位線且OA 1 BFi，所以OB = 0弓，因此/FiOA=/BO

19、A,又根據(jù)兩漸近線對稱，ZFQA =NFzOB ,所以又 sin(C)>0，0< C- <66 2cos' C - "1=, 62二三1 tan260' =2.解答:6 : 2sinC = sin(C +)= sin . C - Icos + cos, C- Isin =_-.6 66666418.答案:(1)見解析；區(qū)5解答：1 一八(1)連結(jié) M ,E 和 Bi,C , M ,E 分別是 BBi和 BC 的中點，ME /BQ且 ME =； B1C ,又N是A1D , ME/DN ,且ME= DN , . .四邊形MNDE是平行四邊形,(1)由(s

20、inB-sinC) =sin2 A-sin BsinC 得 sin2 B+sin2 Csin2 A = sin Bsin C MN/DE ,又 DE 匚平面 CiDE , MNS 平面 CDE ,MN /平面CiDE .結(jié)合正弦定理得b2 c2 -a2 =bccos A=b2c2TT又 Aw(0f), . a=上3 由 石a + b =2c 得 J2sin A +sin B = 2sin C，(2)以D為原點建立如圖坐標系，由題D(0,0,0) , A(2,0,0) , A(2,0,4) , M (173,2).2sin A sin A C =2sinCuuuuuuu _AA=(0,0,-4)

21、, A1M = (-1,V3-2),uurirAD=(2,0,4),設平面AA1M的法向量為(為，必，乙)，31sin( C) =2sin C , 3uu平面DA1M的法向量為n2 = (x2,y2, z2), '3 .八1 八 sin C - - cosC 2231 sin(C - -) ir由irn1 ur, n2由urn2uuu AA= 0 uuuu A1M =0 uuuA1D = 0 uuuu AM -0-4z1 = 0得-x13 y1 2z1 = 0，令 x1=T3得；=(73,1,0),一2x2 - 4z2 = 0_ _ _ 2二 二一二 二又 0 <C < .

22、 . - <C - <一366 2ur ur cos n1, n2- x2ir urn1 ur-n1 , n2 3y2 - 2z2 = 0un，令 X2 = 2 得 n2= (2,0-1),A- MA1- N的正弦值為樂.51119.答案:由(1)可知當xw (-1,0)時,1取 g(x) = cosx-,貝U g (x)= - sin x +2，1 x(1 x)在 xw (1,2)內(nèi) g'(x) =sin x+44.13-2 為單調(diào)遞減函數(shù)，且 g(0)=1, g(2)- -1 + 2(1 x)xw (0,1)內(nèi)存在一個x0,使得g'(x)=0,所以在x三(1,x

23、°)內(nèi)g'(x)>0, f'(x)為增函數(shù)；在xw(x°二) 2內(nèi)g'(x)<0,廣(x)為減函數(shù)，所以在f'(x)在區(qū)間(_1，三)存在唯一極大值點;2f'(x)單調(diào)增，且 f'(0) = 0,可得 f'(x)<0(1) 8y-12x+7 =0；則f (x)在此區(qū)間單調(diào)減;當xW (0,x0)時，f'(x)單調(diào)增，且f'(0) = 0, f'(x)>0則f(x)在此區(qū)間單調(diào)增；又f (0) = 0則在解答:xW ( 1,x°)上 f (x)有唯一零點 x=0.

24、3 一 一設直線l的方程為y =萬x+b ,設A(x1, y1), B(x2, y2),fJI當 xW (x。,一)時, 2f'(x)單調(diào)減，且f (%) 0, f (-)< 0 ,則存在唯一的幾 ，xF (x0可，使得 f (x1)”(1)聯(lián)立直線l與拋物線的方程:y2 =3x消去y化簡整理得-x2 + (3b-3)x + b24在 x壇(x0,x1)時，f'(x A0 f(x)單調(diào)增；當xW (x1,)時，2f(x)單調(diào)減，且f(2)= 1-ln(1+-)>1-lne=0,所以在2x三(x°二)上f(x)無零點;2 =(3b3)B1=?V'|y

25、1-y2?v13+1-i-34M9b2>0,，b<1, x1十 x,：4“3-3 依題意 af | + |BF|=4 可知 429.3.54 (3-3b) 5 7x1+x2 + =4,即x1十x2 = 一，故=一，得b = ，滿足A >0,故直線l的方程為2292837y=-x，即 8yT2x+7=0.28一一厘、.、.一. 一.,，、. 一，冗 當x=(,n)時，y = sirx單調(diào)減，y= - ln(1 + x)單調(diào)減，則f (x)在x=",n)上單調(diào)減,31f (冗)=0ln(1+S <0 ,所以在xw (-,)上f(x)存在一個零點當 xW (冗，y

26、)時，f (x) = sin x- ln(1 + x)< 1- ln(1 + n ) < 0 恒成立，則 f (x)在 x三(兀，")上無零點.綜上可得，f (x)有且僅有2個零點.21.答案：(1)略；(2)略解答：(1) 一輪實驗中甲藥的得分有三種情況：1、-1、0.得1分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則P(X = 1) = u(1-P)；得1分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則P(X = -1)= (1-« )P ；3.-y = 一 x b1(2)聯(lián)乂方程組2 消去 x 化間整理得 y 2y+2b = 0, =4 8b>

27、0,，b< , y1+y2 = 2,y2=3x23y1y2 =2b , AP =3PB，可知 y = -3y?，則2y2 = 2 ,得 y, = T , y1 = 3 ,故可知 b =-滿足 A > 0 ,20.答案：略解答：1,， 二、 對 f (x)進仃求導可得，f(x)=cosx-, ( -1 < x < )1 x2得0分時是都治愈或都未治愈，則P(X = 0)=sP+(1口 )(1-P).則X的分布列為:110p伙 1-&)3p)(2) (i )因為 a =0.5, P =0.8 ,2y 2/7 x-(x? i)而直線l ：將x = Pcose,y= Psin0代入即可得到2x+Cy+ii = 0則 a =P(X =1)=0.4 , b = P(X =0)=0.5, c = P(X =1) = 0.1 .(2)將曲線C化成參數(shù)方程形式為O©為參數(shù)) y =2 sin 0可得 Pi =0.4pu +0.5pi +0.1R 書，則 0.5r =0.4pi+0.1pi書，pi 1 - pi則 0.4( pi -pi) =0.1(Pf Pi ),則=4 ,Pi - pi所以pi*-pi(i =0,1,2,川,7