第1講隨機抽樣(一輪復習,教案)

1、第1講隨機抽樣最新考綱1理解隨機抽樣的必要性和重要性；2會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.基礎診斷梳理自狐理解記憶知識梳理1簡單隨機抽樣(1) 定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n<N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.(2) 最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.(3) 應用范圍：總體中的個體數(shù)較少.2系統(tǒng)抽樣(1) 定義：當總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽

2、樣.(2) 系統(tǒng)抽樣的操作步驟第一步編號：先將總體的N個個體編號；第二步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當N(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k=N；第三步確定首個個體：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號1(1<k)；第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將I加上間隔k得到第2個個體編號吐，再加k得到第3個個體編號(I+2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本.(3) 應用范圍：總體中的個體數(shù)較多.3分層抽樣(1) 定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.(2) 應

3、用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.診斷自測1 判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“X”)I精彩PPT展示(1) 在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關，第一次抽到的可能性最大.(X)(2) 系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.(V)(3) 要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平.(X)(4) 分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關.(X)2. (2014四川卷)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析在這個

4、問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A.總體B.個體C.樣本的容量D.從總體中抽取的一個樣本解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.答案A3. (2014重慶卷)某中學有高中生3500人，初中生1500人.為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A. 100B.150C.200D.250701n1解析樣本抽取比例為3議二50,該校總?cè)藬?shù)為1500+3500=5000，則

5、亍00)=帀，故n=100，選A.答案A4. (2014湖南卷)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為P1，P2，P3，則()A.P1=P2<P3B.p2=P3<P1C.p1=P3<P2D.p1=P2=P3解析由隨機抽樣的知識知，三種抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，故選D.答案D5為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況，銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況若用系統(tǒng)抽樣法，則抽樣間隔和隨機剔除的個體數(shù)分別為解析因為92=3X30+2,所以抽樣間隔為3,隨機剔除的個體數(shù)為2.答案

6、3,2考點突破分類講練"以例求法陌淸形PPT名少卅解考點一簡單隨機抽樣【例1】下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣？(1) 從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.(2) 盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里.(3) 從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗.(4) 某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽.解(1)不是簡單隨機抽樣因為被抽取的樣本總體的個體數(shù)是無限的，而不是有限的.(2) 不是簡單隨機抽樣因為它是放回抽樣.(3) 不是簡單隨機抽樣因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個

7、”抽取.(4) 不是簡單隨機抽樣因為不是等可能抽樣.規(guī)律方法(1)簡單隨機抽樣需滿足：被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；逐個抽取；是不放回抽取；是等可能抽取.(2)簡單隨機抽樣常有抽簽法(適用總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機數(shù)法(適用于個體數(shù)較多的情況)【訓練1】(1)總體由編號為01,02,，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A. 08B.

8、07C.02D.01(2)下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的有()A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗B.從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗解析(1)從第1行第5列、第6列組成的數(shù)65開始由左到右依次選出的數(shù)為08,02,14,07,01,所以第5個個體編號為01.(2)A，D中的總體中個體數(shù)較多，不適宜抽簽法，C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)別，也不適宜抽簽法，故選B.答案(1)D(2)B考點二系統(tǒng)抽樣【例2】(1)已知某單位有40名職工，

9、現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機按140編號，并按編號順序平均分成5組.按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個號碼.若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為.(2)為了解1000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A. 50B.40C.25D.20解析(1)由系統(tǒng)抽樣知識知，第一組18號；第二組為916號；第三組為1724號；第四組為2532號；第五組為3340號.第一組抽出號碼為2,則依次為10,18,26,34.(2)由系統(tǒng)抽樣的定義知，分段間隔為25.故答案為C.答案(1)2,10,18,26,34(2)C規(guī)律方法(1)系統(tǒng)抽樣又稱“等距

10、抽樣”，所以依次抽取的樣本對應的號碼就組成一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取的樣本號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼，但有時也不是按一定間隔抽取的.(2)系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行.【訓練2】(1)從編號為150的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是()A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32(2)(

11、2014臨沂模擬)某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A.10B.11C.12D.16解析(1)間隔距離為10，故可能編號是3,13,23,33,43.(2)因為29號、42號的號碼差為13,所以3+13=16,即另外一個同學的學號是16.答案(1)B(2)D考點三分層抽樣【例3】(1)(2014湖北卷)甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為件.(2)某學校高一

12、、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取學生.3解析(1)由題意知，甲乙兩套設備產(chǎn)品數(shù)量抽樣比為5：3，故乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品共4800X1800(件).3 33(2)高二年級學生人數(shù)占總數(shù)的3+3+4=10.樣本容量為50，則高二年級抽?。?0X=15(名)學生.答案(1)1800(2)15規(guī)律方法在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni:Ni=n:N.【訓練3】(2014云南檢測)某公司一共有職工20

13、0人，其中老年人25人，中年人75人，青年人100人，有關部門為研究老年人、中年人、青年人對公司發(fā)展的態(tài)度問題，現(xiàn)在用分層抽樣的方法從這個公司抽取m人進行問卷調(diào)查，如果抽到老年人3人，那么()A.16B.20C.24D.28解析由25=20，解得m=24，故選C.答案C課堂總結(jié)反思歸虬感悟提升思想方法三種抽樣方法中簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎，適用范圍不同，要根據(jù)總體的具體情況選用不同的方法；它們的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性，若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時，每一個個體被抽到的概

14、率都是N.易錯防范應用分層抽樣應遵循的三點：(1) 分層，將相似的個體歸為一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即不重復不遺漏.(2) 分層保證每個個體等可能被抽取，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等.(3) 若各層應抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，則應當調(diào)整樣本容量，先剔除“多余”的個體課時作業(yè)分層訓練，提升能力基礎鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1. 某中學進行了該學年度期末統(tǒng)一考試，該校為了了解高一年級1000名學生的考試成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下面說法正確的是()A.1000名學生是總

15、體B.每個學生是個體C.1000名學生的成績是一個個體D.樣本的容量是100解析1000名學生的成績是總體，其容量是1000,100名學生的成績組成樣本，其容量是100.答案D2. (2014西安質(zhì)檢)現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查： 從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查. 科技報告廳有32排，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請32名聽眾進行座談. 高新中學共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本.較為合理的抽樣方法是（）A簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層

16、抽樣B簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣C系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣，分層抽樣D分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣解析對于，個體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機抽樣法，是簡單隨機抽樣；對于，將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整數(shù)倍即為抽樣編號，是系統(tǒng)抽樣；對于，個體有明顯的差異，所以選用分層抽樣，故選A.答案A3某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2,，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為（）A.11B.12C.13D.14840720-480240解析

17、由茲=20,即每20人抽取1人，所以抽取編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為一帀=莎=伐（人）.答案B4.某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為（）A.800B.1000C.1200D.1500解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴.答案C5. （1）某學校為了了解2014年高考數(shù)學學科的考試成績，在

18、高考后對1200名學生進行抽樣調(diào)查，其中文科400名考生,理科600名考生，藝術和體育類考生共200名，從中抽取120名考生作為樣本.從10名家長中抽取3名參加座談會.1.簡單隨機抽樣法；U系統(tǒng)抽樣法；川分層抽樣法.問題與方法配對正確的是（）A.叭IB.（1）I，（2）nC.（1）n，（2）川D.（1）m，（2）n解析通過分析可知，對于（1），應采用分層抽樣法，對于（2），應采用簡單隨機抽樣法.答案A二、填空題6. （2014天津卷）某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年

19、級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5:5:6,則應從一年級本科生中抽取學生.4解析由題意知應抽取人數(shù)為300X=60.4+5+5+6答案607. （2015青島模擬）某班級有50名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號150號，并分組，第一組15號，第二組610號，第十組4650號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為的學生.解析因為12二5X2+2,即第三組抽出的是第二個同學，所以每一組都相應抽出第二個同學，所以第8組中抽出的號碼為5X7+2=37號.答案378.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽

20、樣方法，按1200編號為40組，分別為15,610,，196200,第5組抽取號碼為22,第8組抽取號碼為.若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應抽取人.解析將1200編號分為40組，則每組的間隔為5,其中第5組抽取號碼為22,則第8組抽取的號碼應為22+3X5=40x37；由已知條件200名職工中40歲以下的職工人數(shù)為200X50%=100,設在40歲以下年齡段中抽取x人，則冠=五，解得x=20.答案3720三、解答題初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z9某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表:已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(

21、1) 求x的值；(2) 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名?小x解v2"000=0.19.-x=380.(2)初三年級人數(shù)為y+z=2000-(373+377+380+370)=500,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在初三年48級抽取的人數(shù)為：2"000X500=12名.10. 某政府機關有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人上級機關為了了解政府機構改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽取.解用分層抽樣方法抽取.具體實施抽取如下：107020：20:100=1:

22、5，-弓=2，石=14,石=4，從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人.(2) 因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按110編號與120編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00,01,02,，69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人.(3) 將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11. 某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、

23、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,，270,使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號為1,2,，270,并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況： 7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.關于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()A、都不能為系統(tǒng)抽樣B.、都不能為分層抽樣C.、都可能為系統(tǒng)抽樣D.、都可能為分層抽樣解析在1108之間有4個,1091

24、89之間有3個,190270之間有3個，符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣.同時，從第二個數(shù)據(jù)起每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27,符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，則可能是系統(tǒng)抽樣得到的；同理符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣時，從第二個數(shù)據(jù)起每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27,符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，則可能是系統(tǒng)抽樣得到的，故選D.答案D12. 將參加夏令營的600名學生編號為001,002,，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第I營區(qū)，從301到495在第U營區(qū)，從496到600在第川營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A.26,

25、16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9解析由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學生按編號依次分成50組，每一組各有12名學生，第k(kN*)組抽中的號碼是3+12(k-1).103103令3+12(k-1)<300得kw，因此第I營區(qū)被抽中的人數(shù)是25;令300<3+12(k-1)<495得<kw42,因此第U營區(qū)被抽中的人數(shù)是4225=17.結(jié)合各選項知，選B.答案B13. 一個總體中有90個個體，隨機編號0,1,2,，89,依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1,2,3,9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定如果在第

26、1組隨機抽取的號碼為m,那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同，若8,則在第8組中抽取的號碼是.解析由題意知：m=8,k=8,則m+k=16,也就是第8組抽取的號碼個位數(shù)字為6,十位數(shù)字為81=7,故抽取的號碼為76.答案7614. 某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會.如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數(shù)增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，求n.解總體容量為6+12+18=36.當樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為36分層抽樣的比例是36抽取的工程師人數(shù)為

27、磊x6=n，技術員人數(shù)為36x12=n，技工人數(shù)為36X18=n所以n應是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n=6,12,18.3535當樣本容量為(n+“時，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為幣，因為帚必須是整數(shù)，所以n只能取6.即樣本容量n=6.第2講用樣本估計總體最新考綱1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；3能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差),并作出合理的解釋；4會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思

28、想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.基礎診斷梳理自狐理解記憶知識梳理1用樣本的頻率分布估計總體分布(1) 頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率,所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布.(2) 作頻率分布直方圖的步驟：求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中，縱軸表示組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1.(3) 總體密度曲線 頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，

29、就得到頻率分布折線圖. 總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線.(4) 莖葉圖：統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.2. 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1) 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2) 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組

30、數(shù)據(jù)的中位數(shù).1(3) 平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即x=n(X1+X2+比(4) 樣本方差、標準差標準差S=寸(X1Xf+(X2X(+(XnXf.其中Xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，7是平均數(shù).標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方.通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差.診斷自測1. 判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“X”)精彩PPT展示(1) 在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率.(X)(2) 平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(V)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體

31、數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.（V）莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次.（X）2對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是B.46,45,53D.45,47,53A.46,45,56C.47,45,56解析由題意知各數(shù)為12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,6中位數(shù)是46,眾數(shù)是45,最大數(shù)為68,最小數(shù)為12,極差為6812=56.答案A3. （201

32、4山東卷）為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗.所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為12,13），13,14），14,15），15,16），16,17，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，第五組.下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效D.18的人數(shù)為（）C.1220解析全體志愿者共有：20=50（人），（0.24+0.16X1所以第三組有志愿者：0.36X1X50=18（人），第三組中沒有療效的有6人,有療效的有186=12（人），故選C.答案C4. （2014陜西卷）某公司10位員

33、工的月工資（單位：元）為X1,X2,，X10,其均值和方差分別為7和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,解析X1+x2+X10X=10D.x+100,21222s=10(X1X)+(X2X)+(X10X),月工資增加100元后:10X1+100+X2+100+X10+100x'=X1+X2+X1010+100=x+100,s'2=10(X1+100x')2+(X2+100x')2+(X10+100x')2=s2.故選D.答案D5. （人教A必修3

34、P82A6改編）甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是:甲0102203124乙2311021101則機床性能較好的為.解析Tx甲=1.5,x乙=1.2,s甲=1.65,sis=0.76,S乙Vs甲,A乙機床性能較好.答案乙考點突破考點一頻率分布直方圖【例1】(2014新課標全國I卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)頻數(shù)62638228(2) 估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表

35、)；(3) 根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？解(1)(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為7=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2=(20)2x0.06+(-10)2X0.26+0X0.38+102X0.22+202X0.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的

36、這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于的規(guī)定.95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”規(guī)律方法解決頻率分布直方圖的問題，關鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系.這些數(shù)據(jù)中，直接的有組距頻率、組距，間接的有頻率、小長方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結(jié)合兩個等量關系：小長方形面積=組距X組距=頻率,小長方形面積之和等于1,即頻率之和等于1,就可以解決直方圖的有關問題.【訓練1】(2015鄭州質(zhì)量預測)某班的全體學生參加消防安全知識競賽，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學生人數(shù)是.解析依題意，低于60的人數(shù)的頻率為1(0.

37、020+0.015)X20=0.3,因此該班學生人數(shù)是150.3=50.答案50考點二莖葉圖【例2】(2014廣東卷)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2) 以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3) 求這20名工人年齡的方差.解由題意可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40-19=21.這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為7=20(19+3X28+3X29+5X30+4X31+3X32+40)=30，這20名工人年齡的方差為21

38、20s=20i=1(Xi-X)2=112+6X22+7X12+5X02+10225220="2012.6.規(guī)律方法(1)莖葉圖的繪制需注意：“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).(2)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關于該莖對稱,數(shù)據(jù)分布是否均勻等.【訓練2】(2015?？谡{(diào)研)某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為85,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.4x47851解析依題意得，將樣本

39、數(shù)據(jù)由小到大排列，中間的兩個數(shù)之和等于85X2=170，因此x=6,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于而(70X2+80X6+90X2+53)=85.3.答案85.3考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【例3】甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖.S./*/*得分集6543210第三次第二歎第一次(1) 分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價.解(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.10+13+12+14+165=1313+14+12+12+1

40、4x乙=5=13，s=1(1013)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2=4，sl=5(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8.由5甲可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.規(guī)律方法平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小.解析由題意知87+94+90+91+90+90+x+91721222291,解得x

41、=4.所以s2=7【(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2【訓練3】將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：87794010x91則7個剩余分數(shù)的方差為()11636A.9B.7C.36D.7+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2=7(16+9+1+0+1+9+0)=孚答案BC.9D.10思想方法1用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用.

42、在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致.通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計.2. 莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的.莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作.3. 若xi,X2,，xn的平均數(shù)為"x，方差為s2,貝Uaxi+b,ax2+b,，axn+b的平均數(shù)為a"x+b,方差為a2s2.易錯防范1. 在使用莖葉圖時，一定要注意看清楚所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中的數(shù)字特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的

43、含義.2 .利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，應注意這三者的區(qū)分：（1）最高的矩形的中點即眾數(shù)；（2）中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.3. 直方圖與條形圖不要搞混（1）條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)的多少，其寬度（表示類別）是固定的；直方圖是用面積表示各組頻率的多少，矩形的高度表示每一組的頻率除以組距，寬度則表示各組的組距，因此其高度與寬度均有意義.（2）由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，直方圖的各矩形通常是連續(xù)排列，而條形圖則是分開排列課時作業(yè)分層訓練提升能力基礎鞏固題組（

44、建議用時：40分鐘）、選擇題1. （2014青島檢測）如圖是一容量為100的樣本的質(zhì)量的頻率分布直方圖，樣本質(zhì)量均在5,20內(nèi)，其分組為5,10）,10,15）,D.4015,20，則樣本質(zhì)量落在15,20內(nèi)的頻數(shù)為（）A.10C.30解析由題意得組距為5,故樣本質(zhì)量在5,10）,10,15）內(nèi)的頻率分別為0.3和0.5,所以樣本質(zhì)量在15,20內(nèi)的頻率為10.3-0.5=0.2，頻數(shù)為100X0.2=20,故選B.答案B2. （2015西安檢測）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92

45、,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93下列說法中一定正確的是（）A.這種抽樣方法是一種分層抽樣B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D.該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)解析依題意，顯然不能確定題中的抽樣方法是屬于哪種抽樣，因此選項A,B均不正確；選項D，僅有5名男生，5名女生的數(shù)學成績，而不能得出該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)；對于C,注意到將這五個男生與女生的成績均按由小到大排列，這五名男生的成績相對較為分散，因此這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差，故選C.答案C3. （2014臨沂一模）某中學高

46、三從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生成績的眾數(shù)是85,乙班學生成績的中位數(shù)是83,則x+y的值為（）B.8解析由莖葉圖可知，甲班學生成績的眾數(shù)是85,所以x=5乙班學生成績的中位數(shù)是83,所以y=3,所以x+y=5+3=8.答案B4. （2015東北三省三校聯(lián)考）在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是（）A平均數(shù)B.標準差C.眾數(shù)D.中位數(shù)解析利用平均數(shù)、標準差、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計特征數(shù)的概念求解.由B樣本數(shù)據(jù)

47、恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，可得平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是原來結(jié)果減去5,即與A樣本不相同，標準差不變，故選B.答案B5. （2015沈陽監(jiān)測）某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試.現(xiàn)隨機調(diào)查了24名筆試者的成績，如下表所示：分數(shù)段60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)85,90人數(shù)234951據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是（）A.75B.80C.85D.901001解析因為參加筆試的400人中擇優(yōu)選出100人，故每個人被擇優(yōu)選出的概率P-4oo=4，因為隨機調(diào)查24名筆試者,1則估計能夠參加面試的人數(shù)

48、為24X4=6,觀察表格可知，分數(shù)在80,85）有5人，分數(shù)在85,90）的有1人，故面試的分數(shù)線大約為80分，故選B.答案B、填空題6. （2014甘肅診斷）如圖是根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運動員參加11場比賽的得分情況畫出的莖葉圖.若甲運動員的中乙運動員的眾數(shù)為b,則ab=位數(shù)為a,解析甲79fl57934621乙7S51 132 0100由莖葉圖可知甲運動員的中位數(shù)為a=19,乙運動員的眾數(shù)為b=11,所以ab=8.1,則樣本方差為答案7. 樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3若該樣本的平均值為=1,解得122a=1,所以樣本的方差為耳(11)+(01)+(12221)+(21

49、)+(31)=2.答案26組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2:8. （2015銀川檢測）將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成4 ：1,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n=解析第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1,二前三組頻數(shù)和為2+2+解析由題可知樣本的平均值為1,所以a+0+1+2+3（2）分數(shù)在80,90之間的頻數(shù)為2527102=4,頻率分布直方圖中80,90間的矩形的高為元勻0=0.016.n=27,故n=60.答案60、解答題9. 某校高一某班的某次數(shù)學測試成績（滿分為100分）的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下

50、列問題：（1）求分數(shù)在50,60的頻率及全班人數(shù);80,90間的矩形的高.（2）求分數(shù)在80,90之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中解分數(shù)在50,60的頻率為0.008X10=0.08.2由莖葉圖知，分數(shù)在50,60之間的頻數(shù)為2,所以全班人數(shù)為6應=25.10. （2014北京卷）從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,182合計100（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名

51、學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（3）假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）.解根據(jù)頻數(shù)分布表知，100名學生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6+2+2=10（名），所以樣本中的學生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是10100=0.9.故從該校隨機選取一名學生，估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.課外閱讀時間落在組4,6）內(nèi)的有17人，頻率為0.17,所以&=組距=乎=0.085.課外閱讀時間落在組8,10）內(nèi)的有25人，頻率為0.

52、25,所以b=頻率0.25組距=T=0.125.樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.能力提升題組11甲、乙兩位歌手在“中國好聲音”選拔賽中,（建議用時：25分鐘）5次得分情況如圖所示.記甲、乙兩人的平均得分分別為匚甲、x乙,則下列判斷正確的是（）H1乙67758RH4093A. x甲vx乙，甲比乙成績穩(wěn)定B. x甲7乙，乙比甲成績穩(wěn)定C. 7甲7乙，甲比乙成績穩(wěn)定D. 匚甲7乙，乙比甲成績穩(wěn)定解析76+77+88+90+94=85,75+88+86+88+93x乙=5=86,2122222s甲=耳(7685)2+(77-85)2+(88-85)2+(90-85)2+(94-8

53、5)2=52,2122222S"耳(75-86)+(88-86)+(86-86)+(88-86)+(93-86)=35.6,99所以x甲vx乙，S甲S乙，故乙比甲成績穩(wěn)定.答案B12. （2014益陽模擬）為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（）A.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次B.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次C.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人D.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人解析由題圖可知中位數(shù)是26.25次，眾數(shù)是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的頻率為0.2,所以估計該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人；1分