電子科大MATLAB第13節(jié) 插值型積分

1、第五章第五章 數值積分數值積分第一節(jié)第一節(jié) 插值型積分插值型積分數值積分的概念( ),( )baf xf x dx目的：已知求1( )( )( )( )( )( )( )baf x dxF bF aF xf xF xf x 方法：牛頓-萊布尼茲公式： 其中，為原函數，clear allclose allclc syms x y = sin(x) * tan(x) int(y)積分的數值求法數值積分求法包括：數值積分求法包括：1、插值型數值積分、插值型數值積分2、高斯積分、高斯積分3、Monte-Carlo方法方法插值型積分求法 插值型積分思路：在被積函數上選擇等間隔插值型積分思路：在被積函數上

2、選擇等間隔n+1個點，做個點，做n階階多項式插值，用逼近多項式的積分值近似被積函數的積分值。多項式插值，用逼近多項式的積分值近似被積函數的積分值。 ( )( )( )( )( )( )( )=( )bbiiiiiiaabiiaf xf xxf x dxf xx dxa f xax dx 其中，矩形求積公式矩形求積公式0( )()f xf x0階多項式插值梯形求積公式梯形求積公式01010110( )()()xxxxf xf xf xxxxx1階多項式插值Simpson求積公式Simpson求積公式求積公式利用二階插值公式近似計算積分。利用二階插值公式近似計算積分。Simpson求積公式Simp

3、son求積公式Simpson求積公式的計算：求積公式的計算：2 , , ,22( -)( - )( - )( -)( - )( - )22 ( )( )()( )2( -)( - )(- )(- )( - )( -)22222 (ababa babLagrangeababxx bx a xx a x babP xf aff bababababaa babb a b：解： 步驟一、將區(qū)間 二等分： 步驟二、二次插值 222bbb()() ( )2()() ()()() ( )- )222( )( ) ( )4( )(62)bbaabaaaabaaxxb f axa xbb fxa xf bb a

4、f x dxPf affx dxP x dbx 步驟三、 Newton-Cotes求積公式 用更高階插值來構造數值積分方法，稱為用更高階插值來構造數值積分方法，稱為Newton-Cotes方法方法1020301015(4)012021:( ) ()()( )2122:( ) ()4 ()()( )3903:xxxxnTrapezoidalhhf x dxf xf xfxxnSimpsonhhf x dxf xf xf xfxxnSimps梯形（）積分公式： ， 其中，積分公式： ， 其中，30405(4)0123037(6)01234 3/8 33( ) ()3 ()3 ()()( )8804

5、:28( )7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()( )45945xxxxonhhf x dxf xf xf xf xfxxnhhf x dxf xf xf xf xf xf積分公式： ， 其中， ， 其中04xx，插值求積公式的誤差梯形公式的誤差：梯形公式的誤差：32 , ():( ),( )( )( , )12a bbaf xR ffa bC 定理 若 則有： : ( )( )( )( ( )( )bbbnnaaanR ff x dxP x dxf xP x dx定義 階插值公式誤差定義為： 插值求積公式的誤差133( )( )( )()()( , )2( )()()()( )

6、()()( )12()( )( )12babaff xxxa xba bPfxa xb dxabfxa xb dxfbaR ff 證明： 由插值公式余項： 插值求積公式的誤差4 , 55(4)(4)( ),:-( )( )-( )4 ()( )62( - )-( )-( )( , )902880a bbaf xCb aabR ff x dxf aff bhb aa bff 定理: 若 則 Simpson 求積公式的誤差：求積公式的誤差：Newton-Cotes求積公式誤差3002200(2)( )1-,( - )/( , )( )2( )( , )( ) ( )( )(1).()(2)!nii

7、ninnbninaniia f xnNewton Cotesxa xb hb ana bnf x nf xCa bhff x dxa f xtttn dtn定理： 設為點公式，且， 則存在滿足： 當 為偶數，且 階連續(xù)，即，時： 2(110)0( )1( )( , )( ) ( )( )(1).()(1)!nnbniiainnnf x nf xCa bhff x dxa f xt ttn dtn 當 為奇數，且 階連續(xù)，即，時：代數精度 (Degree of accuracy) 代數精度：若某個求積公式所對應的誤差代數精度：若某個求積公式所對應的誤差R f 滿足：滿足：R Pk =0 對任意對

8、任意 k n 階階的多項式成立，且的多項式成立，且 R Pn+1 0 對某對某個個 n+1 階多項式成立，則稱此求積公式的代數精度為階多項式成立，則稱此求積公式的代數精度為 n 。 即：如果某求積公式對于即：如果某求積公式對于但對于但對于，則稱此求積公式的，則稱此求積公式的 。代數精度的判定022211122( )()( )1, ,.,-1(-)2.1(-)11(-)2bnkkkankkknnnkknnnkkf x dxA fnxf xx xxAb aA xbaA xbanA xban。，一般地，若要使求積公式： 具有 次代數精確度只要對 能精確成立即 代數精度的判定223( )1-( )(

9、- ),2-14 1 1-( )6( )-( ),22-( - )()4( )622babababasimpsonf xb af x dxb asimpsonhb ab af xf xxbab af x dxsimpsonhb abab a ababf x 例：證明方法的代數精度為證明：當時，利用公式計算得到： 當時，利用公式計算得到： 23322222( )-( ),32-( - )()4 ()( )623babaf xxbab af x dxsimpsonhb abab a aabbabf x 當時，利用公式計算得到： 代數精度的判定3443223333455444( )-( ),42-(

10、 - )()4 ()( )624( )-( ),52-4 ()( )62babababaf xxbab af x dxsimpsonhb abab a aa bb ababf xf xxbab af x dxsimpsonhb abaabf x 當時，利用公式計算得到： 當時，利用公式計算得到： 3.simpson所以積分代數精度為由于龍格現(xiàn)象，階數越高，不穩(wěn)定性越大，積分誤差可能增加。由于龍格現(xiàn)象，階數越高，不穩(wěn)定性越大，積分誤差可能增加。復合求積公式 應用高階型插值求積公式計算積分會出現(xiàn)數值不穩(wěn)應用高階型插值求積公式計算積分會出現(xiàn)數值不穩(wěn)定，而低階公式（如梯形、辛普生公式）又因積分區(qū)定，而

11、低階公式（如梯形、辛普生公式）又因積分區(qū)間步長過大使得離散誤差大。間步長過大使得離散誤差大。 辦法：縮小辦法：縮小步長步長，即把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間，即把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階積分公式，再將結果加起來，在每個子區(qū)間上使用低階積分公式，再將結果加起來，這種公式稱為這種公式稱為復合求積公式復合求積公式。1211 ( )( )( ).( )nbxxbaaxxf x dxf x dxf x dxf x dx定積分的區(qū)間可加性：復合梯形求積公式121112111(1)(2)( )111( )111( )( )( ).( ) ( )( ).( )( ) ()(),1,.,2nnk

12、kbxxbaaxxxxbnaxxxkkkkkxf x dxf x dxf x dxf x dxPx dxPx dxPx dxxxPx dxf xf xkn其中， 復合梯形求積公式：復合梯形求積公式：復合梯形求積公式復合梯形求積公式誤差：復合梯形求積公式誤差：332max1()()()( ),( , )121212nkkhhhR ffn fba fa b （ ）1211(1)(2)( )1111111111( )( )( ).( ) ()()2 ()()2( )2()( )2nbxxbnaaxxnkkkkknknkkkkf x dxPx dxPx dxPx dxxxf xf xhf xhf af

13、 xf bf x復合梯形求積公式：復合梯形求積公式：復合Simpson求積公式111( ) ()4 ()()62kkxkkkkxxxhf x dxf xff x根據根據SimpsonSimpson求積公式，在單個積分子區(qū)間內有：求積公式，在單個積分子區(qū)間內有：111100( ) ( )4()2()( )62nnbkkkakkxxhf x dxf aff xf b4(4) ( )1802ba hR ff 復合求積公式10222-4?-( ,)( )12( )( )(0,1)( )-11( ,)( )1012122xnnnxnIdxennSTb aR fh fTf xfxxfxeeb aR fh fehT例：計算積分 保留五位有效數字。試用梯形積分公式計算 ， 和simpson積分公式計算 解：梯