導數(shù)中參數(shù)問題

1、如何理解“恒成立、能成立、恰成立”設有條件p和條件q，具對應集合為A、B.若Aq恒成立。B，即A是B的充分條件，則稱在條件p下,.若AB，則稱在p下，q能成立。如果f(x)g(x)有解，f(x)maxg(x)min,如果f(x)g(x)有解，f(x)ming(x)max如果有兩個參變量時，存在，任意的情況下還有最大值大于最大值，最小值小于最小值。.若A=B,則稱p下，q恰成立能成立與最值問題1.(2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)1a已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR).x1當aw1時，討論f(x)的單調性；2設g(x)x22bx4.當a1時，若對任意x(0,2),存在x1,2,使4f(

2、x1)g(x2),求實數(shù)b取值范圍.解：本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力(1)直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性；(2)利用導數(shù)求出f(x)的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出g(x)在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù).21ala1axxa1/f(x)Inxax1(x0),f(x)-a-2-2(x0)xxxx令h(x)ax2x1a(x0)當a0時，h(x)x1(x0),當x(0,1

3、),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞減；當x(1,),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞增.1當a0時，由f(x)0,即ax2x1a0，解得x11,x2一1.a1 .當a時x1x2,h(x)0恒成立，此時f(x)0,函數(shù)f(x)單倜遞減；21 ,1當0a一時，-110,x(0,1)時h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞減;2 a1x(1,一1)時，h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單倜遞增；a1x(11,)時，h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞減.a1當a0時110,當x(0,1),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞減；a當x(1,),h(x)0,f(

4、x)0,函數(shù)f(x)單調遞增.綜上所述：當a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調遞減，(1,)單調遞增；1 ,當a時x1x2,h(x)0恒成立，此時f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)單倜遞減；21 11一,當0a1時，函數(shù)f(x)在(0,1)遞減，(1,11)遞增，(,1,)遞減.2 aa1.當a1時，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意x(0,2),4_1有f(x1)f(1)一，21 .一又已知存在x21,2,使f(x1)g(x2),所以一g(x2),x21,2,(派)2又g(x)(xb)24b2,x1,2當b1時，g(x)ming(1)52b0與(X)矛盾;1,

5、2時，g(x)ming(1)4b20也與(X)矛盾;.一，117當b2時，g(x)ming(2)84b-,b-.28一17綜上，實數(shù)b的取值范圍是17,).81a2.設函數(shù)f(x)lnxax1.x(i)當a1時，過原點的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于點P,求點P的坐標；1(n)當0a時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；2,、125.，一(出)當a-時，設函數(shù)g(x)x2bx一，右對于(0,e,x20,1312使f(xjgJ?)成立，求實數(shù)b的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底,1)解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,),f(x)1ax(i)設點P(x0,丫。)(0),當a1時，f(x)1a2xInxxq1,1

6、1彳In刈x01f(x)1,-f(x0)1xx0x。解得x0e2,故點P的坐標為(e2,1e2)2axaxa1(x1)(ax1(n)f(x)22一xx1 1a-0a-102a.當0x1,或x5時f(x)0,當1xa1aa)a(x1)(x)一2xan,時,af(x)011a故當0a時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,a);2a單調遞減區(qū)間為(0,1),(,)a1 x2(出)當a時，f(x)lnx1由(n)可知函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，333x在(1,2)上為增函數(shù)，在(2,e上為減函數(shù)，且f(1)2,f(e)-333e2 2f(e)f(1)2e-2e3(e”,又e打1,(e1)23,

7、3e3e2f(e)f(1),故函數(shù)f(x)在(0,e上的最小值為-3若對于(0,e,x20,1使f(x)gd)成立g(x)在0,1上的最小值不大于f(x)在(0,e上的最小值2(*)3又g(x)x22bx(xb)2b2,x0,1121252當b0時，g(x)在0,1上為增函數(shù)，g(x)ming(0)與(*)矛盾1235當0b1時，g(x)ming(b)b一，12,o521由b一一及0b1得，一b11232當b1時，g(x)在0,1上為減函數(shù)，.7172，一，g(x)ming(1)2b彳，此時b112123綜上，b的取值范圍是1，)23.(2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)2已知函數(shù)f(x

8、)xlnx,g(x)xax3.求f(x)在t,t2(t0)上的最小值；.,1一，一若存在x-,e(e是常數(shù)，e=2.71828)使不等式2f(x)g(x)成立，求實數(shù)a,e的取值范圍；,、，12一一證明對一切x(0,，都有l(wèi)nxr成立.(注：此問也是2014年新課標1理科21題eex第二問的原題內容，是全卷的壓軸內容)解：/r(x)=lnx+l?當時，單調遞減，當工e十口卜LjIK-動單調一弟憎，當0f(a)1lna10,解得a1,.1a1時，若關于x的不等式f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a0時,f(x)f,(x)exf(0)0,f(0)1,切線方程為(2)方法一f(x)ex

9、x2ax210x2._ex1a&2x設/g(x)exx2設(x)(x(x)在1,(xg(x)g(x)方法二設h(x)x0,1)ex，則，/、g(x)(x1)exx212x2x21,則2)上為增函數(shù)，2xx1)e122x3f(x)h(x)h(x)h(1)又f(x)eh(x)h(1)f(x)ea,h(x)ax,(x)x(ex1)0,10,a.(x)(1)0g(x)ax1,1,h(x)f(x)0,2x2xa在1,ax10恒成立，a0,f(x)exx1在1,)上為增函數(shù)，11在1,)上為增函數(shù)，)上為增函數(shù)0,f(x)f(1)3.(2010全國I文21,恒成立，一次，提出一部分再處理的技巧)設函數(shù)f(

10、x)xex1ax2.1若a=1,求f(x)的單調區(qū)間；2若當x0時f(x)0,求a的取值范圍.一1,V12斛：a一時，f(x)x(e1)-x,f(x)e1xex(e1)(x1).22當x,1時f(x);當*1,0時，f(x)0;當x0,時，f(x)0.故f(x)在，1,0,單調增加，在(1,0)單調減少.f(x)x(ex1ax).令g(x)ex1ax,貝Ug(x)exa.若a1,則當x0,時，g(x),g(x)為減函數(shù)，而g(0)0,從而當x0時g(x)0,即f(x)0,符合題意.若a，則當x0,lna時，g(x),g(x)為減函數(shù)，而g(0)0,從而當x0,lna時g(x)0,即f(x)mx

11、對所有的a0,x1,e2都成立，求實數(shù)m的2取值范圍.a解：(1)f(x)-2bx。1f(1)a2b0a1函數(shù)f(x)在x1處與直線y1相切1，解得12f(1)beb22Q1c11xf(x)Inxx,f(x)一x2xx,1，人，L1人當-xe時，令f(x)0得一x1;令ee上單調遞增，在1,e上單調遞減，f(x)max(2)當b=0時，f(x)alnx若不等式f(x)、一一，1f(x)0,得1xe,f(x)在一,1e1f(1)0.23,2-、mx對所有的a0,一,x1,e都成23.2、立，則alnxmx對所有的a0,x1,e都成立,232即malnxx,對所有的a0,-1,x1,e都成立，2令

12、h(a)alnxx,則h(a)為一次函數(shù)，mh(a)min.2.一.3.x1,e,lnx0,h(a)在a0,-上單倜遞增，h(a)minh(0)x,2一.2,，一mx對所有的x1,e者B成立.2221xe,ex1,m(x)mine.2(汪：也可令h(x)alnxx,則mh(x)所有的x1,e都成立，分類討論得mh(x)min2ae2對所有的a0,3都成立，m(2ae2)mine2,)b5.已知函數(shù)f(x)ax-Ca0)的圖象在點(1,f(1)處的切線萬程為yx1.x用a表tk出b、c;若f(x戶lnx在1,)上恒成立，求a的取值范圍；(反比例，作差構造)bf(x)a,則有xf(1)abcf(1

13、)ab1a1l2aa1由知，f(x)axa12a,x.a1令g(x)f(x)lnxax12alnx,x1,則g(1)0,x2g(x)axx(a1)2x1a、a(x1)(x)a2x11a.當0a，12a1ax，則g(x)0,g(x)是減函數(shù)，所以g(x)ag(l)of(x)lnx,故f(x)Inx在1,上恒不成立。1n,1a一時，2a若f(x)lnx,故當x1時，f(x)lnx。綜上所述，所求a的取值范圍為1,2(在2014年新課標高考文科21的討論中，與本題極其相似，兩個極值點，一定一變，值得細細品味，同時這題還可以將a分離利用洛必達法則)此時再看前幾周的聯(lián)考21題，是否會有一種豁然開朗的感覺即g(工)的最大值小于二伙-1)(2