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文檔簡介

1、March 28, 2012本章主要內(nèi)容 反常積分的定義； 反常積分?jǐn)可⑿缘呐袛? 反常積分的計算; 廣義積分的性質(zhì) 反常積分的定義 反常積分的定義方法是通過對定積分取極限來取極限來定義的定義的. . 分為兩類反常積分:無限區(qū)間上的反常積分和瑕積分. 不定積分、定積分和反常積分中可積可積的含義是不同的：不定積分可積是指其能用初等函數(shù)族表示；定積分可積是指其Riemann和的極限存在；反常積分可積指的是反常積分收斂。例題 舉例說明反常積分不具有乘積可積性 若反常積分 收斂,則稱f在a,b上平方可積.試在無窮限反常積分和瑕積分兩種情況下討論反常積分平方可積性與絕對可積性之間的關(guān)系.badxxf)(

2、2反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e 充要條件: Cauchy收斂原理: . 非負(fù)函數(shù)反常積分的判別法: i)比較判別法及極限形式: ii)Cauchy判別法及極限形式: 一般函數(shù)反常積分的判別法: i)Abel判別法: ii)Dirichlet判別法:例子 設(shè)f在 a,+), (a1)上內(nèi)閉可積, 且反常積分 收斂,證明 收斂 討論下列反常積分的斂散性: (1) (2) (3)adxxf)(adxxxf)(dxxppxx12)1(dxxp10ln0322) 1(xxdx例子 討論反常積分 的斂散性.若收斂判斷條件收斂還是絕對收斂? 設(shè)p0,證明反常積分 在 時發(fā)散,在 時條件收斂,在 時絕對收斂0sind

3、xxxpdxxxxp0sinsin210 p121p1p反常積分的計算 (Euler積分) (Froullani積分) 設(shè)函數(shù)f(x)在0,+上連續(xù),極限f(+)存在且有限,實數(shù)a,b0,求20sinlnxdxIdxxbxfaxf0)()(反常積分的性質(zhì) (1)絕對可積的反常積分必可積. (2)與定積分不同的一個性質(zhì):兩個反常積分收斂的被積函數(shù)之積的反常積分未必收斂(可積) (3)定積分具有絕對可積性,而反常積分沒有絕對可積性. (3)收斂無限反常積分的被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的性質(zhì):例子(注意結(jié)論): 若 收斂,且 ,則A=0 若 收斂,且單調(diào),則有 設(shè) 收斂,且被積函數(shù)f(x)在a,+上一致連續(xù),則adxxf)(adxxf)(Axfx)(lim0)(limxxfxadxxf)(0)(limxf

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