四年級奧數(shù)教程第6講：利用等差規(guī)律計算

1、 四年級奧數(shù)教程第6講：利用等差規(guī)律計算若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。在這一章要用到三個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”跟求總和公式。求總和公式:總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2第幾項公式：第幾項=首項+（項數(shù)1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)=（末項首項）÷公差1【例題1】 有一個數(shù)列：4，10，16，22，52.這個數(shù)列共有多少項？項數(shù)=（末項首項）÷公差1=（52-4）&#

2、247;6+1=48÷6+1=9【思路】容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數(shù)，可直接帶入項數(shù)公式進(jìn)行計算。項數(shù)=（524）÷61=9，即這個數(shù)列共有9項?！揪毩?xí)1】1.等差數(shù)列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數(shù)列共有多少項？項數(shù)=（末項首項）÷公差1=（39-1）÷2+1=38÷2+1=202.有一個等差數(shù)列：2.5，8，11.，101.這個等差數(shù)列共有多少項？項數(shù)=（末項首項）÷公差1=（101-2）÷3+1=99÷3+1=343.已知等差數(shù)列11.16，21.26，10

3、01.這個等差數(shù)列共有多少項？項數(shù)=（末項首項）÷公差1=（1001-11）÷5+1=990÷5+1=199【例題2】有一等差數(shù)列：3，7，11，15，這個等差數(shù)列的第100項是多少？第幾項=首項+（項數(shù)1）×公差=3+（100-1）×4=3+99×4=399【思路】這個等差數(shù)列的首項是3.公差是4，項數(shù)是100。要求第100項，可根據(jù)“末項=首項+公差×（項數(shù)1）”進(jìn)行計算。第100項=3+4×（1001）=399.【練習(xí)2】1.一個等差數(shù)列，首項=3.公差=2.項數(shù)=10，它的末項是多少？第幾項=首項+（項數(shù)1

4、）×公差=3+（10-1）×2=3+9×2=212.求1.4，7，10這個等差數(shù)列的第30項。第幾項=首項+（項數(shù)1）×公差=1+（30-1）×3=1+29×3=883.求等差數(shù)列2，6，10，14的第100項。第幾項=首項+（項數(shù)1）×公差=2+（100-1）×4=2+99×4=398作業(yè)：熟背公式；P33頁，隨堂練習(xí)1三題；P36頁填空題15.作業(yè)寫在練習(xí)本上！書本不用帶！【例題3】有這樣一個數(shù)列：.4，99，100。請求出這個數(shù)列所有項的和。【思路】如果我們把.4，99，100與列100，99，相加

5、，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內(nèi)的兩個數(shù)的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式?！揪毩?xí)3】計算下面各題。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60【例題4】求等差數(shù)列2，4，

6、6，48，50的和?！舅悸贰窟@個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)=（末項首項）÷公差+1=（502）÷2+1=25首項=2.末項=50，項數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650.【練習(xí)4】計算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270【例題5】計算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個

7、數(shù)列其實是把1 100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分別對應(yīng)相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50【練習(xí)5】用簡便方法計算下面各題。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）【例2】計算:1+11+21+1991+2001+2011=第九屆“希望杯”初賽第2題

8、)分析根據(jù)題意可知:要求本題的和必須先求項數(shù),根據(jù)項數(shù)(末項一首項)÷公差+1,可求得項數(shù)再根據(jù)和=(首項+末項)×項數(shù)÷2,可求得和解項數(shù)=(2011-1)÷10+1=201+1=2021+11+21+1991+2001+2011能OE的=(1+2011)×202÷2=2012×202÷2=203212隨堂練習(xí)1計算(1)1+3+5+197+199=項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=（199-1）÷2+1=100總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（1+199）×100

9、÷2=10000(2)81+79+13+11=項數(shù)=（首項-末項）÷公差+1=（81-11）÷2+1=36總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（11+81）×36÷2=1656(3)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+2007-2008+2009-2010+2011=（1+3+5+7+9+2011）-（2+4+6+8+10+2010）（1+3+5+7+9+2011）=1012036-1011030=1006項數(shù)：（末項-首項）÷公差+1=（2011-1）÷2+1=1006總和=（首項+末項）

10、×項數(shù)÷2=（1+2011）×1006÷2=1012036（2+4+6+8+10+2010）=1011030項數(shù)：（末項-首項）÷公差+1=（2010-2）÷2+1=1005總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（2+2010）×1005÷2=1011030【例3】編號是1,2,3,36的36名同學(xué)按編號順序面向里站成一圈.第1次,編號是1的同學(xué)向后轉(zhuǎn);第2次,編號是2、3的同學(xué)向后轉(zhuǎn);第3次,編號是4、5、6的同學(xué)向后轉(zhuǎn)第36次,全體同學(xué)向后轉(zhuǎn)，這時,面向里的同學(xué)還有幾名？1+2+3+4+5+36=

11、（首項+末項）×項數(shù)÷2=（1+36）×36÷2=666（次）666÷36=18（次）1836-18=18人分析根據(jù)題意可知:第1次向后轉(zhuǎn)1個人,第2次向后轉(zhuǎn)2個人,第3次向后轉(zhuǎn)3個人第35次向后轉(zhuǎn)35個人.這時,向后轉(zhuǎn)的同學(xué)總數(shù)為:1+2+3+35=(1+35)×35÷2=630(名)可是,學(xué)生只有36名,所以630÷36=1718.這說明每個學(xué)生向后轉(zhuǎn)了17次后,各有18名同學(xué)面向里、面向外解1+2+3+35=(1+35)×35÷2=630(名)630÷36=17(次)。·

12、;18(名)這時,面向里的同學(xué)還有18名.第36次,全體同學(xué)向后轉(zhuǎn),這時,面向里的同學(xué)仍然是18名.了【例4】某體育館西側(cè)看臺有30排座位,后面一排都比前面一排多2個座位,最后一排有132個座位,體育館西側(cè)看臺共有多少個座位?項數(shù)：30；末項 ：132；公差：2第幾項：末項=首項+（項數(shù)-1）×公差 132=首項+（30-1）×2，首項=132-58=74總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（74+132）×30÷2=3090分析要求這30個數(shù)的和,必須知道第一排的座位數(shù),而最后一排座位數(shù)是由第一排座位數(shù)加上(30+1)×2得出

13、來的,這樣就可以求出第一排的座位數(shù).“解第一排座位數(shù)為子限的年:意原得(30-1)12-58-74(個),÷(首一頁末)所以(74+132)×30÷2=206×30÷2=3090(個答西側(cè)看臺共有3090個座位.隨堂練習(xí)2(1)按一定規(guī)律排列的算式:4+2,5+8,6+14,7+20,8+26,那么第100個算式是什么?第幾項：末項=首項+（項數(shù)-1）×公差作業(yè)：P35頁：隨堂練習(xí)3:1,2兩題；P37頁：選擇題7，8,9,10全寫，簡答題：11,12,14,15【例5】學(xué)校進(jìn)行乒乓球選拔賽,每個參賽選手都要和其他選手賽1場(1)若有

14、20人參賽,那么一共要進(jìn)行多少場選拔賽?19+18+17+16+1=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（19+1）×19÷2=190（場）(2)若一共進(jìn)行了78場比賽,有多少人參加了選拔賽?1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=7812+1=13人分析設(shè)20個選手分別是A1, A2,A順序分析比賽場次A20,我們從選手A1開始按A1必須和A2,A3,A4,A20這19人各賽1場,共計19場;詩得A2已和A1賽過,他只需和A3,A4,A5,A2這18名選手各賽1場,共計18場;A3已和A1,A2賽過,他只需與A4,A5,A6,A20這17名選手各賽

15、1場,共計17場依次類推,最后,A只能和A20賽1場然后對各參賽選手的場次求和即可.解(1)這20名選手一共需賽19+18+17+2+1=(19+1)×19÷2=190(場)(2)設(shè)參賽選手有n人,則比賽場次是平,平是去1+2+3+(n-1),長一民不根據(jù)題意有平1的不1+2+3+(n-1)=78經(jīng)過試驗可知1+2+3+.羊12=78,(“:于是n-1=12,n2=13所以,一共有13人參賽說明(1)也可這樣想:20人每人都要賽19場,但“甲與乙”、“乙與甲”只能算一場,因此,共進(jìn)行20×19÷2=190(場)比賽.曾5所次:米資(2)采用了試驗法,這是

16、一種很實用的方法,希望同學(xué)們能熟練掌握.隨堂練習(xí)3(1)有12個同學(xué)聚會,如果見面時每個人都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?1+2+3+4+5+10+11=66次項數(shù)：（末項-首項）÷公差+1=（11-1）÷1+1=11總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（1+11）×11÷2=66(2)聚會結(jié)束時,統(tǒng)計出一共握手36次,如果參加聚會的每個人都和其他人握手1次,問:有多少人參加聚會?36=1+2+3+4+5+6+7+88+1=9人填空題1、0+1+2+100+101=項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=（101-1）

17、7;2+1=51總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（1+101）×51÷2=51512、2+5+8+299=項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=（299-2）÷3+1=100總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（2+299）×100÷2=150503、(7+9+11+23+25)-(5+7+9+11+23)= 160-140=20(7+9+11+25)=160項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=（25-7）÷2+1=10總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（7+25）

18、15;10÷2=160(5+7+9+23)=140項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=（23-5）÷2+1=10總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=（5+23）×10÷2=1404、在1100這100個自然數(shù)中,能被3整除的數(shù)的和是：3+6+9+12+99=1683項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1=總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=5、1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+1997-1998-1999+2000=06、現(xiàn)有10個盒子,用下面方法往盒中裝小球兒:第1個盒裝1個,第2個盒裝4個,

19、第3個盒裝7個照這樣的裝法,則將10個盒都裝完,共需幾個小球.三、選擇題()將下面兩個式子的結(jié)果進(jìn)行比較,得到的結(jié)論是( A )(1)(2+4+6+100)-(1+2+3+·+48+49+50);(2)(1+3+5+99)-(50+49+48+3+2+1)(A)(1)式比(2)式多50(B)(2)式比(1)式多50(C)(1)式等于(2)式(D)以上答案都不對(8如果1,a2,a3,a4,25組成等差數(shù)列,那么a3是( B )(A)11(B)13(C)15(D)175第幾項：末項=首項+（項數(shù)-1）×公差25=1+（5-1）×公差 公差=6(9有一本書共169頁,小明第一天看了1頁,以后每天都比前一天多看2頁,則看完這本書需用( )試數(shù)法(A)12天(B)13天(C)14天(D)29天1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25=169（25-1）÷2+1=1310某班共買來66本課外書,把它們分別放在書架上,每次擺放都是下面層比上面一層多放1本書,則至多要放的層數(shù)為( C )(A)9(B)10(C)11D)121+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66簡答題 計算:880-3-6-9-57=880-（3+6+9+12+15+57）=880-570=3103+6+9+12+15+57=（3+57