第五章__大數定律與中心極限定理

1、第一節(jié)第一節(jié) 大數定律大數定律第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理 第五章第五章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理第第5章概述章概述 大數定律和中心極限定理就是大數定律和中心極限定理就是使用使用極限極限方法方法研究大量隨機現象統計規(guī)律性研究大量隨機現象統計規(guī)律性. 闡明闡明大量重復試驗的平均結果具有穩(wěn)定性大量重復試驗的平均結果具有穩(wěn)定性的的一系列定律都稱為一系列定律都稱為大數定律大數定律. 論證論證隨機變量（試驗結果）之和漸進服從某隨機變量（試驗結果）之和漸進服從某一分布一分布的定理稱為的定理稱為中心極限定理中心極限定理. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式證明證明.,)(,)(222

2、成立成立不等式不等式則對于任意正數則對于任意正數方差方差具有數學期望具有數學期望設隨機變量設隨機變量定理定理XPXDXEX 對連續(xù)型隨機變量的情況來證明對連續(xù)型隨機變量的情況來證明.( ),Xf x設的概率密度為則有 切比雪夫不等式切比雪夫不等式.22XP 221()( )xf x dx.122 22( )x xf x dx22XP .122XP 得得XP ( )x f x dx定理說明定理說明, ,由隨機變量的數學期望和方差由隨機變量的數學期望和方差, ,也可以也可以對隨機變量取值的統計規(guī)律提供一些信息對隨機變量取值的統計規(guī)律提供一些信息. .例例1 在每次試驗中在每次試驗中,事件事件A發(fā)生

3、的概率為發(fā)生的概率為0.5.(1)利用切比雪夫不等式估計在利用切比雪夫不等式估計在1000次獨立試驗中次獨立試驗中,事件事件A發(fā)生的次數在發(fā)生的次數在400 600之間的概率之間的概率;(2)要使要使A出現的頻率在出現的頻率在0.35 0.65之間的概率不小之間的概率不小于于0.95, 至少需要多少次重復試驗至少需要多少次重復試驗?解解: 設設X表示表示1000次獨立試驗中事件次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數發(fā)生的次數, 則則X B(1000,0.5), E(X)=1000 0.5=500,D(X)=1000 0.5 0.5=250,400600PX400500500600500|()| 100P

4、XPXE X由切比謝夫不等式得由切比謝夫不等式得(2)設需要做設需要做n次獨立試驗次獨立試驗, 則則X B(n, 0.5), 求求n使得使得0.350.650.95XPn22()250110.975100100D X 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要成立成立,由切比謝夫不等式得由切比謝夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次獨立試驗次獨立試驗. 大數定律大數定

5、律 概率論中有關闡明概率論中有關闡明大量隨機現象平大量隨機現象平均結果的穩(wěn)定性均結果的穩(wěn)定性的一系列定理。的一系列定理。 迄今為止迄今為止,人們已發(fā)現很多人們已發(fā)現很多大數定律大數定律(laws of large numbers)所謂大數定律，簡單地說，就是所謂大數定律，簡單地說，就是大大量數目的隨機變量所呈現出的規(guī)律量數目的隨機變量所呈現出的規(guī)律，這種規(guī)律一般，這種規(guī)律一般用隨機變量序列的某種收斂性來刻畫。用隨機變量序列的某種收斂性來刻畫。1.1.伯努利大數定理伯努利大數定理lim | 1nnPpn,0,nEnApA定理設試驗 重復進行了 次 事件 在每次實驗中出現的概率為表示事件 發(fā)生的次

6、數,則對任意有證明證明: ( , ),nb n p因為(),()(1)nnEnp Dnpp故21(1)(),()()nnnppEp DDnnnn從而2| 1DXP XEX 由切比雪夫不等式，lim()1nnPpn從而22()(1)()11nnDppnPpnn n 令2(1)11ppn伯努利大數定律說明了伯努利大數定律說明了當重復獨立試驗次數當重復獨立試驗次數 n 很大時，頻率與其概率之差可為任意小很大時，頻率與其概率之差可為任意小， 即說明了其即說明了其頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性。從而在實際推斷中，當試驗次數較大時，可以從而在實際推斷中，當試驗次數較大時，可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替概率。用事

7、件發(fā)生的頻率來近似代替概率。1,(1,2)0iiAXiniA第次實驗中事件 發(fā)生 若記，第次實驗中事件 不發(fā)生1,nniiX則11,nniiXnn1111( )(),nniiipP AE Xnn從而定理可寫成：1111lim()1nniiniiPXE Xnn2.2.切比雪夫大數定律切比雪夫大數定律 1211,()(1,2)0,11lim()1ninniiniiXXXcD Xc iPXE Xnn設相互獨立的隨機變量序列的數學期望與方差都存在,且存在常數 ,使得,則對任意有211111111()1nnniiiiiiPXE XDXnnn 21cn 證明證明: 由期望與方差的性質知1111()()nn

8、iiiiEXE Xnn11()niiDXn211()niiD Xn21ncncn利用切比雪夫不等式,1111lim()1nniiniiPXE Xnn所以 切比雪夫大數定律切比雪夫大數定律表明，當表明，當n很大時，很大時，X1，X2 , ,，Xn的算術平均值的算術平均值 niiXnX11的取值，集中在其數學期望的取值，集中在其數學期望11()()niiE XE Xn附近。附近。121,()(),1lim()1niininiXXXE XD XPXn2推論 設隨機變量序列相互獨立,且具有相同的期望和方差：= ,=則對任意正數 ，有這使我們關于算術平均值的法則有了理論上的依據。這使我們關于算術平均值的

9、法則有了理論上的依據。12,nXXX由大數定律知，只要由大數定律知，只要n充分大，則以接近于充分大，則以接近于1的概率保證的概率保證這便是在這便是在n較大情況下反映出的客觀規(guī)律較大情況下反映出的客觀規(guī)律,故稱為故稱為“大數大數”定定律律 如我們要測量某段距離，在相同條件下重復進行如我們要測量某段距離，在相同條件下重復進行n次，得次，得n個測量值個測量值 ，它們可以看成是，它們可以看成是n個相個相互獨立的隨機變量具有相同的分布、相同的數學期望互獨立的隨機變量具有相同的分布、相同的數學期望和方差和方差 ， 2niiXn11例212,n 設隨機變量序列相互獨立 具有如下分布列nPna0na212n2

10、11n212n.問是否滿足切比雪夫大數定律解:由題意12,n 相互獨立 又222111()0 (1)022nEnanannn 22()()()nnnDEE2222222221110(1)022n an annn2a即每個隨機變量都具有即每個隨機變量都具有有限的數學期望有限的數學期望,有限的方差有限的方差,滿足定律滿足定律.lim | 1nnPXa則稱則稱 Xn 依概率收斂依概率收斂于于a, , 記作記作: :PnXa 12,nXXXa定義 設是一個隨機變量序列，是一個常數，若對任意正數 ，有 人們已經知道，在自然界和生產實踐中遇到大人們已經知道，在自然界和生產實踐中遇到大量隨機變量都服從或近似

11、服從正態(tài)分布，正因如此，量隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布，正因如此，正態(tài)分布占有特別重要的地位。正態(tài)分布占有特別重要的地位。 那么，那么，如何判斷一個隨機變量服從正態(tài)分布如何判斷一個隨機變量服從正態(tài)分布顯得尤為重要。如經過長期的觀測，人們已經知顯得尤為重要。如經過長期的觀測，人們已經知道，很多工程測量中產生的誤差道，很多工程測量中產生的誤差X都是服從正態(tài)分都是服從正態(tài)分布的隨機變量。布的隨機變量。 分析起來，造成誤差的原因有儀器偏差分析起來，造成誤差的原因有儀器偏差X1、大氣折射偏差大氣折射偏差X2, ,溫度變化偏差溫度變化偏差X3、估讀誤差、估讀誤差造成的偏差造成的偏差X4等等，這些偏差等

12、等，這些偏差Xi 對總誤差對總誤差 的影響都很微小，沒有一個起到特別突出的影的影響都很微小，沒有一個起到特別突出的影響，雖然每個響，雖然每個Xi的分布并不知道，但的分布并不知道，但 卻服從正態(tài)分布。卻服從正態(tài)分布。iXX例如：(1, )nXBp設隨機變量序列獨立同分布于兩點分布,1( , )nnkkYXB n p那么其部份和服從二項分布，5,10,20( ,0.5)nb n分別對畫出二項分布密度的圖形n 易知，當 變大時，這些圖形越來越接近正態(tài)分布的密度曲線.0246810121416182000.020.040.060.080.10.120.140.160.18024681012141618

13、2000.050.10.150.20.250246810121416182000.050.10.150.20.250.30.351. 1. 棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理221lim ( )(1)2txnnXnpPxedtxnpp1( , ), (1,2),nXB n pnxR定理設隨機變量則對任意有( , ),(,),:XB n pnXN np npq設隨機變量則當 很大時 近似地有從而可得推近似公式論()()()bnpanpP aXbnpqnpq ()()bnpanpnpqnpq aEXXEXbEXP aXbPDXDXDX證：anpXnpbnpPnpqnpqnpq例例3 3 在人壽

14、保險公司里有在人壽保險公司里有3000個同一年齡的人參加人個同一年齡的人參加人壽保險壽保險. .在一年里在一年里, ,這些人的死亡率為這些人的死亡率為0.1%. 參加保參加保險的人在一年的頭一天交付保險費險的人在一年的頭一天交付保險費10元元, ,死亡時死亡時, ,家家屬可以從保險公司領取屬可以從保險公司領取2000元元. . 求求: :保險公司一年中獲利不小于一萬元的概率保險公司一年中獲利不小于一萬元的概率; ; 解解: 設一年中死亡人數為設一年中死亡人數為X, 則則(3000,0.001)XB30000.0013(1)1.7312EXnpDXnpp2(3,1.7312 ) ()XN由定理知

15、近似(1.7329)0.96 30000200010000PX010PX3310 31.73121.73121.7312XP(4.04)( 1.733) 保險公司每年利潤為:3000 102000()X萬元注意:(1),0.1,ppnpnp泊松分布告訴我們 當時 二項分布可用泊松分布作近似計算,而上述定理不受 值的限制.但若 很大,很小(5),則用正態(tài)分布作近似不如泊松分布精確.(2),nnnn很大 是一個較為模糊的概念 經驗告訴我們 如果取50(有時可放寬到30),則近似程度便可以滿足一般要求.當然, 越大精度越好.棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: :lim ( )(1)nnXnpP

16、xxnpp ( , ), (1,2),nXB n pnxR設隨機變量則對任意有說明:1(1,2)0iAiinAi若 在第 次實驗中發(fā)生令若 在第 次實驗中不發(fā)生1nniiX則111()lim()( )()nniiiinniiEPxxD 即 n設為任一隨機變量序列，其和的標準化隨機變量111()()nniiiinniiEYDlim( )nnP Yxx 在什么條件下滿足？ 這是此后這是此后300多年來，概率論研究的一個多年來，概率論研究的一個中心，故稱作中心，故稱作中心極限定理中心極限定理（Central Limit Theorems）。）。 2.2.林德貝格林德貝格-勒維定理勒維定理( (獨立同

17、分布獨立同分布) ) 12111111,()()0(1,2).()()( ),1lim( )lim()( )2niiniinnniiiiiinniinniinnnXXXE XD XiXXEXXnYnDXF xxXnF xPxxn 2定理2 設是相互的隨機變量序列,且,= ,=則隨機變量之和的 的分布函數對任意實數 滿足獨立同分布具有數學期望和方差標準化隨機變量22txedt()()bnannn 1niiP aXb11()niianbnPXnnnn111(,)nnniiiiiiXNEXDX結論：21(,)niiXN nn即例例4 4 對敵陣地進行對敵陣地進行100次炮擊次炮擊, ,每次炮擊中每次

18、炮擊中, ,炮彈的命炮彈的命中顆數的數學期望為中顆數的數學期望為4, ,方差為方差為2.25, ,求在求在100次炮擊中次炮擊中, ,有有380顆到顆到420顆炮彈擊中目標的概率的近似值顆炮彈擊中目標的概率的近似值. .解解: 設第設第i次炮擊中炮彈命中顆數為次炮擊中炮彈命中顆數為Xi, , i=1,2,100. .由題意可知由題意可知: :100100100111()2.25225iiiiiDXDX4,2.25iiEXDX100100100111()4400iiiiiEXEX1001(400,225) ()iiXN由定理知近似2 (1.333) 1 0.8164. 1001380420iiPX1001400380400420400225225225iiXP44( )()33 例5 某車間有同型號機床200臺,它們獨立地工作著.每臺開工的概率為0.7,開工時每臺耗電15kw.問供電部門最少要供應該車間多少電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產.解:200,設 表示臺中開工的機床數 則(200,0.7)B( )140,( )42ED且:(140,42) ()N由中心極限定理近似x設 表示供電量,由題意(15)0.95Px1