微積分應(yīng)用論文

1、上海大學(xué)20132014學(xué)年秋季學(xué)期課程論文課程名稱： 信息化時(shí)代的數(shù)學(xué)探索與發(fā)現(xiàn) 課程編號(hào)：0100L602論文題目: 論微積分在我們生活中的應(yīng)用作者姓名: 方舟學(xué)號(hào): 13121376成績(jī): 論文評(píng)語(yǔ):評(píng)閱人: 評(píng)閱日期: 注:后附課程論文的正文淺談微積分在生活中的應(yīng)用作者姓名:方舟 學(xué) 號(hào): 13121376摘要:主要關(guān)于微積分在幾何，經(jīng)濟(jì)，物理以及我們生活方面的運(yùn)用。關(guān)鍵詞:微積分，幾何，經(jīng)濟(jì)學(xué)，物理學(xué)，極限，求導(dǎo)，微分方程（3-5個(gè)數(shù)學(xué)名詞）(5號(hào)宋體)正文（小4號(hào)宋體， 段首空兩格）前言作為一個(gè)剛剛上大學(xué)的新生，高等數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要的一部分，但在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我不禁慢慢產(chǎn)生

2、了一個(gè)問(wèn)題，老師都說(shuō)微積分就是高等數(shù)學(xué)的精髓，那么微積分的意義又是什么呢？它對(duì)人類的生活造成的影響又是什么呢？存在必合理，微積分的應(yīng)用一定很廣，帶著這個(gè)思想，我查找了一點(diǎn)資料，我想從幾何，經(jīng)濟(jì)，物理三個(gè)角度來(lái)闡述關(guān)于微積分在我們生活中的應(yīng)用，下面可能有些我在網(wǎng)上查找的題目，基本上都是直接摘錄的，在此特向老師說(shuō)明。我了解到微積分是從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之

3、一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。通過(guò)研究微積分能夠在幾何，物理，經(jīng)濟(jì)等方面的具體應(yīng)用，得到微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學(xué)工具科學(xué)地解決問(wèn)題。希望通過(guò)本文的介紹能使人們意識(shí)到微積分與其他各學(xué)科的密切關(guān)系，讓大家能意識(shí)到理論與實(shí)際結(jié)合的重要性。1微積分在幾何中的應(yīng)用微積分在我看來(lái)在幾何中主要是為了研究函數(shù)的圖像，面積，體積，近似值等問(wèn)題，對(duì)工程制圖以及設(shè)計(jì)有不可替代的作用。很高興我在網(wǎng)上找到了一些內(nèi)容與現(xiàn)在我們學(xué)的定積分恰巧聯(lián)系

4、上了。頓覺微積分應(yīng)用真的很廣！1.1求平面圖形的面積(1)求平面圖形的面積由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過(guò)求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。 例如：求曲線和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。 分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。 所以該曲邊梯形的面積為 (2)求旋轉(zhuǎn)體的體積 (I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(ab) 及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。()由連續(xù)曲線

5、y=g(y)與直線y=c、y=d(cd)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。(III)由連續(xù)曲線y=f(x)()與直線x=a、x=b( b)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。例如：求橢圓所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓，與y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(3)求平面曲線的弧長(zhǎng) (I)、設(shè)

6、曲線弧由參數(shù)方程給出其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為。()設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為，其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為。例如：求曲線從x=l到x=e之間一段曲線的弧長(zhǎng)。解：，于是弧長(zhǎng)微元為，。所以，所求弧長(zhǎng)為：。一、在幾何中的應(yīng)用 (一)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用 (1)求曲線切線的斜率 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=( x)在點(diǎn)處的切線等于過(guò)該點(diǎn)切線的斜率。即，由此可以求出曲線的切線方程和法線方程。 例如：求曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程和法線方程。 分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率為：，所以，所求切線的方程為y-l=2(x一1)，化解得切線方程為2x-y-1=0。又因?yàn)榉ň€的斜率為切線斜率的

7、負(fù)倒數(shù)，所以，所求法線方程為，化解得法線方程為2y+x-3=0。(2)求函數(shù)值增量的近似值 由微分的定義可知，函數(shù)的微分是函數(shù)值增量的近似值，所以通過(guò)求函數(shù)的微分可求出函數(shù)值增量的近似值。 例如：計(jì)算的近似值。 分析：令f(x)=sin(x)，則f(x)=cosx，取，則由微機(jī)分的定義可知2.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用在我所查找到的關(guān)于微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用中，我發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用十分基礎(chǔ)和廣泛，是學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué) 剖析現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的基本工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)是密不可分息息相關(guān)的。高等數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用增強(qiáng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的嚴(yán)密性和說(shuō)理性，將經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，將數(shù)

8、學(xué)中的極限，導(dǎo)數(shù)、微分方程知識(shí)在經(jīng)濟(jì)中的運(yùn)用。尤其我看到在經(jīng)濟(jì)管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)（即原函數(shù)），一般采用不定積分來(lái)解決，或求一個(gè)變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量，則采用定積分來(lái)解決。這個(gè)對(duì)一個(gè)企業(yè)的發(fā)展至關(guān)重要！1關(guān)于最值問(wèn)題例設(shè)：生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C（0）=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問(wèn)生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn) 解:總成本函數(shù)為C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000 總收益函數(shù)為R(x)=500x總利潤(rùn)L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，

9、L=400-2x，令L=0，得x=200，因?yàn)長(zhǎng)(200)0。所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(200)=400200-2002-1000=390009（元）在這里我們應(yīng)用了定積分,分析出利潤(rùn)最大,并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤(rùn),只有合理安排生產(chǎn)量,才能取得總大的利潤(rùn)。2關(guān)于增長(zhǎng)率問(wèn)題例：設(shè)變量y是時(shí)間t的函數(shù)y = f (t)，則比值為函數(shù)f (t)在時(shí)間區(qū)間上的相對(duì)改變量；如果f (t)可微，則定義極限為函數(shù)f (t)在時(shí)間點(diǎn)t的瞬時(shí)增長(zhǎng)率。對(duì)指數(shù)函數(shù)而言，由于，因此，該函數(shù)在任何時(shí)間點(diǎn)t上都以常數(shù)比率r增長(zhǎng)。這樣，關(guān)系式 （*）就不僅可作為復(fù)利公式，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有

10、廣泛的應(yīng)用。如企業(yè)的資金、投資、國(guó)民收入、人口、勞動(dòng)力等這些變量都是時(shí)間t的函數(shù)，若這些變量在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)以常數(shù)比率增長(zhǎng)，都可以用（*）式來(lái)描述。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r”在經(jīng)濟(jì)學(xué)中就一般的解釋為在任意時(shí)刻點(diǎn)t的增長(zhǎng)率。如果當(dāng)函數(shù)中的r取負(fù)值時(shí)，也認(rèn)為是瞬時(shí)增長(zhǎng)率，這是負(fù)增長(zhǎng)，這時(shí)也稱r為衰減率。貼現(xiàn)問(wèn)題就是負(fù)增長(zhǎng)。3.彈性函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量yy=f(x+x)-f(x)y與自變量的相對(duì)改變量xx之比，當(dāng)x0時(shí)的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的相對(duì)變化率，或稱為彈性函數(shù)。記為EyExEyEx=limx0 yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x) 在點(diǎn)

11、x=x0處，彈性函數(shù)值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)稱為f（x）在點(diǎn)x=x0處的彈性值，簡(jiǎn)稱彈性。EExf(x0)%表示在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，f（x）近似地改變EExf(x0)%。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱為需求彈性。對(duì)于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價(jià)格上漲時(shí)，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調(diào)減少函數(shù)，P與Q異號(hào)，所以特殊地定義，需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)為(p)=-f(p)pf(p)例 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時(shí)的需求彈性。解：(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(

12、-15)e-p5.pe-p5=p5；(2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2(3)=0.61，說(shuō)明當(dāng)P=3時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度。(5)=1，說(shuō)明當(dāng)P=5時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求也減少1%，價(jià)格與需求變動(dòng)的幅度相同。除了上述三個(gè)例子之外，還有“規(guī)模報(bào)酬、貨幣乘數(shù)、馬歇爾-勒那條件等無(wú)數(shù)的經(jīng)濟(jì)概念和原理是在充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、積分、全微分等各種微積分知識(shí)構(gòu)建的。他們極大的豐富了經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)涵，為政府的宏觀調(diào)控提供了重要幫助3.微積分在物理的應(yīng)用物理是我高中最喜歡的課程，在高中進(jìn)行物理競(jìng)賽是學(xué)到了不少關(guān)于微積分的思想，比如在考慮物體的運(yùn)

13、動(dòng)時(shí)，因?yàn)槠渌俣仍诓粩喔淖儯茈y求其在一點(diǎn)的速度，微積分中的微元的思想此刻閃現(xiàn)出它的光芒，把非勻速運(yùn)動(dòng)看成由一段一段勻速運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，再進(jìn)行計(jì)算，省了很多的時(shí)間。物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速直線運(yùn)動(dòng)開始，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)。實(shí)際中的復(fù)雜問(wèn)題，則可以化整為零，把它分割成在小時(shí)間、小空間范圍內(nèi)的局部問(wèn)題，只要局部范圍被分割到無(wú)限小，小到這些局部問(wèn)題可近似處理為簡(jiǎn)單的可研究的問(wèn)題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來(lái)，就是問(wèn)題的結(jié)果。微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)普遍，有許多重要的物理概念 ，物理定律就是直接以微積分的形式給出的，如速度，加速度，

14、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，安培定律，電磁感應(yīng)定律例：用微積分的方法解決變力做功的問(wèn)題變力作功的問(wèn)題是熱學(xué)和力學(xué)中的常見問(wèn)題。例如，質(zhì)點(diǎn)在恒力的作用下，沿直線產(chǎn)生位移過(guò)程中的功。但對(duì)一般情況，質(zhì)點(diǎn)沿曲線從運(yùn)動(dòng)到 ，且質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)上力的大小和方向都可能不斷改變，要計(jì)算力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功，可將運(yùn)動(dòng)曲線分成許多微小的線段，計(jì)算出在每一小段上所做的元功，再對(duì)整個(gè)軌道上所有元功求和。由于 極小，所以每一小曲段都可看成直線段，而質(zhì)點(diǎn)所受的力可視為恒力。這樣質(zhì)點(diǎn)所做的功為變力所做的功就是全部元功的和，寫成積分的形式就是：因此通過(guò)微積分的方法可以把物理問(wèn)題中變化的量轉(zhuǎn)化為不變的量，先求微元再求和的方法，從而求出變力在整個(gè)物理過(guò)程中做的總功，使看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。小結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的有效手段,在教學(xué)實(shí)踐中給學(xué)生樹立建模的思想對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)發(fā)展有很大的幫助,也有助于提高我們的學(xué)習(xí)積極性，因此，我們當(dāng)代大學(xué)生學(xué)