微3試題解答07

1、清華大學(xué)本科生考試試題專用紙 微積分期終考試 A卷2006年 1 月8 日 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí)一、填空題（每空題3分，共39分）1曲面在點(diǎn)的切平面方程是.2設(shè)為連續(xù)可微函數(shù)，.令，則(4,2,2)。解：，.3設(shè)為球面上的不與坐標(biāo)軸相交的一片，則上的點(diǎn)的外側(cè)單位法向量是；如果的面積等于，則.解：,.原積分.4常微分方程的通解為。5設(shè)常微分方程有三個(gè)線性無(wú)關(guān)解，和則微分方程的通解是.6假設(shè)函數(shù)滿足方程則0。7設(shè)空間光滑曲面的方程為，上側(cè)為正其中函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則。解：.8設(shè)，則三重積分可以化成球坐標(biāo)系下的累次積分.9是由曲線、直線，以及軸圍成的平面區(qū)域，則解：10錐面含在柱面內(nèi)部的面積等于。11設(shè)

2、為曲線，則。解：二、解答題12(分)是錐面與平面圍成的空間區(qū)域計(jì)算解. 解法：先一后二：由對(duì)稱性有分分. 分解法：先二后一：分其中是區(qū)域， 分分13（分）設(shè)是拋物在任意點(diǎn)一點(diǎn)的質(zhì)量密度為求的質(zhì)心 解.求質(zhì)量：分分分靜力矩有對(duì)稱性知道分分分分質(zhì)心的坐標(biāo)分有同學(xué)理解成三重積分。如果質(zhì)量和靜力矩寫(xiě)到下面的結(jié)果：.，則可以得8分。其后視具體情形而定.1(10分)如圖，是有向光滑曲線，起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為已知與線段圍成的區(qū)域的面積等于有連續(xù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算曲線積分解：根據(jù)格林公式得到于是對(duì)于后一個(gè)積分，取為參數(shù)，.10分15(8分)設(shè)為平面在第一卦限中的部分的邊界，方向是空間有一個(gè)力場(chǎng)求單位質(zhì)點(diǎn)在上某點(diǎn)出發(fā)，繞運(yùn)

3、動(dòng)一周時(shí)，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)所做的功解：設(shè)上側(cè)為正由斯托克斯公式, 單位質(zhì)點(diǎn)在上某點(diǎn)出發(fā)，繞運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)所做的功等于.3分16(10分)設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 又設(shè)對(duì)于空間中的任意一張光滑的閉合曲面，都有，求解：由題意，在任意一個(gè)由光滑簡(jiǎn)單封閉曲面圍成的區(qū)域上，由高斯公式有分所以由的任意性有分即滿足常微分方程齊次方程通解：，非齊次方程特解一般表達(dá)式分17 (12分) 設(shè)是任意一個(gè)正數(shù)，是圓周 (逆時(shí)針?lè)较?.計(jì)算積分如果將換成不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)但環(huán)繞原點(diǎn)的光滑、簡(jiǎn)單的閉合曲線(逆時(shí)針?lè)较?計(jì)算上述積分.向量場(chǎng)在右半平面有沒(méi)有勢(shì)函數(shù)？簡(jiǎn)述理由.設(shè)為從到的有向線段，計(jì)算 解：圓周參數(shù)方程：分在內(nèi)部做圓周(逆時(shí)針?lè)较?設(shè)為和包圍的區(qū)域由格林公式得到所以分右半平面是單連通區(qū)域，并且所以在右半平面有勢(shì)函數(shù)分求得向量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)為于是分18(分) 設(shè)是圓域: .在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且處處滿足方程 求證在恒等于常數(shù)如果是不包含原點(diǎn)的圓域，舉例說(shuō)明上述結(jié)論未必正確.解：按照下列三個(gè)要點(diǎn)給分要點(diǎn)1: 由條件推出沿徑向的方向?qū)?shù)恒等于零。要點(diǎn)