線性控制理論第5章 線性系統(tǒng)的綜合設(shè)計(jì)

1、第第5章章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器知識(shí)要點(diǎn)： 串聯(lián)解耦和反饋解耦的可解耦性條件，解耦控制的設(shè)計(jì)方法步驟； 理解分離定理，分別獨(dú)立設(shè)計(jì)矩陣K 和L ，以構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。 利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn); 利用輸出到反饋任意配置觀測(cè)器的極點(diǎn)； 目 錄5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)5.2 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置5.4 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)5.5 帶狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)控制系統(tǒng)5.6 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋 和狀態(tài)觀測(cè)器 小結(jié)習(xí)題 5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 無(wú)論是在經(jīng)典控制理論中，還是在現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式。 經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來(lái)描述

2、系統(tǒng)的，因此，只能從輸出引出信號(hào)作為反饋量。 現(xiàn)代控制理論使用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)來(lái)描述系統(tǒng)，所以除了可以從輸出引進(jìn)反饋信號(hào)外，還可以從系統(tǒng)的狀態(tài)引出信號(hào)作為反饋量以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。 采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，而且它也是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。 5.1.1 狀態(tài)反饋 狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的狀態(tài)向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。 狀態(tài)反饋系統(tǒng)框圖如圖5-1所示。圖5-1多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)圖 圖5-1中被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 0CB,A,uDxCyuBxAx （5-1） 式中， n維狀態(tài)向量，

3、 r維輸入向量， m維輸出向量， nn矩陣， nr矩陣， mn矩陣， mr矩陣。 xuyBCDA狀態(tài)反饋控制律為 xruK （5-2） 式中, r維參考輸入向量， rn狀態(tài)反饋矩陣。對(duì)于單輸入系統(tǒng)， 1n行矩陣。 rKK 把式（5-2）代入式（5-1）中整理后，可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 DrxDKCyBrxBKAx)()(（5-3） 若 ，則 0DCxyBrxBKAx)(（5-4） 簡(jiǎn)記為 KCBBKA,),( 經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為 BssK1)()(BKAICG由此可見，經(jīng)過狀態(tài)反饋后: 輸入矩陣B B和輸出矩陣 沒有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣 發(fā)生了變化，變成了 ；

4、狀態(tài)反饋陣 的引入，沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但通過 的選擇可以有條件自由改變系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。 BCABKA KK圖5-2多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋結(jié)構(gòu)圖 5.1.2 輸出反饋 輸出反饋就是將系統(tǒng)的輸出向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。 圖5-2中被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為0,CBAuDxCyuBxAx （5-5） 式中， n維狀態(tài)向量， r維輸入向量， m維輸出向量， nn矩陣， nr矩陣， mn矩陣， mr矩陣。 uyBCADx輸出反饋控制律為 yHru （5-6） 式中, r維參考輸入向

5、量， rm輸出反饋矩陣。把式（5-5）的輸出方程代入式（5-6）中整理后，得 rH xHCrHDIu1 再將上式代入（5-5），可得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 rHDIDxHCHDIDCyrHDIBxHCHDIBAx1111（5-7） 若， 則 0DxCyrBxBHCAx （5-8） 簡(jiǎn)記為HCBBHCA,經(jīng)過輸出反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 BBHCAICG1)(ssH若原被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為 BAICG10)(ss則 和 有如下關(guān)系 )(0sG)(sHG100)()()(sssHHGIGG由此可見，經(jīng)過輸出反饋后: 輸入矩陣B和輸出矩陣C沒有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣 變成了 ； 閉環(huán)系統(tǒng)

6、同樣沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)。 由于系統(tǒng)輸出所包含的信息不是系統(tǒng)的全部信息，即mA=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1;b=1;1;1;rc=rank(ctrb(A,b);p=-1,-2,-3;K=acker(A,b,p)結(jié)果顯示K= -1 2 45.6.2 5.6.2 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)對(duì)于系統(tǒng)xCyuBxAx (5-73) 若系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則可構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器。式(5-59)為狀態(tài)觀測(cè)器的方程，式(5-63)為反饋陣L L的計(jì)算公式。 在MATLAB設(shè)計(jì)中，利用對(duì)偶原理，可使設(shè)計(jì)問題大為簡(jiǎn)化，求解過程如下：首先構(gòu)造系統(tǒng)式(5-73)的對(duì)偶系統(tǒng)zBwnCz

7、AzTTT (5-74) 然后，對(duì)偶系統(tǒng)按極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣K K K=acker(A AT,C CT,P P)或 K=place(A AT,C CT,P P)原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K的轉(zhuǎn)置。即 TKL 其中，P P為給定的極點(diǎn)，L L為狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣。例例5-135-13 已知開環(huán)系統(tǒng)uyxAxbcx其中 0100001,0 ,10061161 Abc設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的閉環(huán)極點(diǎn)為， ， -5。322j解解 為求出狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L L，先為原系統(tǒng)構(gòu)造一對(duì)偶系統(tǒng)。zBwnCzAzTTT 采用極點(diǎn)配置方法對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)的配置，得到反饋陣

8、K K，再由對(duì)偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L L。 MATLAB程序?yàn)?Example5_13.mA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;disp(The Rank of Obstrabilaty Matrix)r0=rank(obsv(A,C)A1=A;b1=C;C1=b;P=-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j -5;K=acker(A1,b1,P);L=K 執(zhí)行后得The Rank of Obstrabilaty Matrixr0 = 3L = 3.0000 7.0000 -1.0000 由于rankr0=3，所以系統(tǒng)

9、能觀測(cè)，因此可設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器。 5.6.3 5.6.3 帶狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)極點(diǎn)配置帶狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)極點(diǎn)配置 狀態(tài)觀測(cè)器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問題，為那些狀態(tài)變量不能直接量測(cè)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。設(shè)能控能觀測(cè)的被控系統(tǒng)為 xCyuBxAx （5-80） 狀態(tài)反饋控制律為xKru（5-81） 狀態(tài)觀測(cè)器方程為yLBuxLCAx)(（5-82） 由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為xCyrBxBKLCAxLCxrBxBKxAx)( （5-83） 根據(jù)分離原理，系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測(cè)器反饋陣L可分別設(shè)計(jì)。 例例5-155-15 已知開環(huán)系統(tǒng) xxx011006 .2010yu設(shè)計(jì)

10、狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為 -1.8j2.4，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器使其閉環(huán)極點(diǎn)為-8,-8。 解解 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)分開進(jìn)行。在設(shè)計(jì)之前，應(yīng)先判別系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，MATLAB的程序?yàn)?Example5_15.mA=0 1; 20.6 0;b=0;1;C=1 0;% Check Contrillability and Observablitydisp (The rank of Controllability Matrix)rc=rank (ctrb(A,b)disp (The rank of Observability Matrix)ro=rank(obsv(A,C)%Design RegulatorP=-1.8+2.4*j -1.8-2.4*j;K=acker(A,b,P)%Design State ObserverA1=A