天體運(yùn)動中的相遇急追及問題

1、天體運(yùn)動中的相遇急追及問題地面上的物體常常出現(xiàn)追及相遇問題，關(guān)鍵是找出它們的位移、速度和時(shí)間等關(guān)系，運(yùn)動路線應(yīng)該在同一軌道上。天體運(yùn)動中也有追及相遇問題，它與地面上的追及相遇問題在思維有上相似之處，即也是找出一些物理量的關(guān)系，但它也不同之處，有其自身特點(diǎn)。根據(jù)萬有引力提供向心力，即，所以當(dāng)天體速度增加或減少時(shí)，對應(yīng)的圓周軌道會發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能能在同一軌道上追及或相遇。分析天體運(yùn)動的追及相遇重點(diǎn)是角度、角速度和時(shí)間等關(guān)系的判斷。 1追及問題例1如圖1所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星M做圓周運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時(shí)刻兩行星相距最

2、近，則經(jīng)過多長時(shí)間，兩行星再次相距最近？經(jīng)過多長時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)？分析與解答：A、B兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力，因此T1<T2。可見當(dāng)A運(yùn)動完一周時(shí)，B還沒有達(dá)到一周，但是要它們的相距最近，只有A、B行星和恒星M的連線再次在一條直線上，且A、B在同側(cè)，從角度看，在相同時(shí)間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了2；如果A、B在異側(cè)，則它們相距最遠(yuǎn)，從角度看，在相同時(shí)間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了。所以再次相距最近的時(shí)間t1，由；第一次相距最遠(yuǎn)的時(shí)間t2，由。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去掉，那么結(jié)果如何？2相遇問題例2設(shè)地球質(zhì)量為M，繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，有一質(zhì)量為m的飛船由靜止開

3、始從P點(diǎn)沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，1年后在D點(diǎn)飛船掠過地球上空，再過3個(gè)月又在Q處掠過地球上空，如圖2所示（圖中“S”表示太陽）。根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大小。分析與解答：飛船開始與地球相當(dāng)于在D點(diǎn)相遇，經(jīng)過3個(gè)月后，它們又在Q點(diǎn)相遇，因此在這段時(shí)間內(nèi)，地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過的角度。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T，飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，則地球的公轉(zhuǎn)半徑為   所以 地球與太陽之間的萬有引力大小為  例3閱讀下列信息，并結(jié)合該信息解題：（1）開普勒從1609年1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)動三定律，其中第一定律為：所有的行

4、星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動，太陽在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。實(shí)踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運(yùn)動。（2）從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動，火星軌道半徑Rm為地球軌道半徑Re的1500倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動的人造衛(wèi)星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從

5、而使得探測器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上。當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖3所示，問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日），已知地球半徑為：；分析與解答：為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)燃探測器上的發(fā)動機(jī)，使探測器沿橢圓軌道到達(dá)火星軌道的相切點(diǎn)，同時(shí)，火星也恰好運(yùn)行到該點(diǎn)與探測器相遇，為此必須首先確定點(diǎn)燃時(shí)刻兩者的相對位置。如圖4所示。因探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)行周期Td與地球公轉(zhuǎn)周期Te相等，即Td=Te=365天探測器在點(diǎn)火前繞太陽轉(zhuǎn)動角速度 探測器沿橢圓軌道的半長軸由開普勒第三定律 得探測器在橢圓軌道上運(yùn)行周期天因此探測器從點(diǎn)火到達(dá)火星所需時(shí)間火星公轉(zhuǎn)周期天火星繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度由于探測器運(yùn)行至火星需255天，在此期間火星繞太陽運(yùn)行的角度即探測器在橢圓軌道近日點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，火星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前137°，亦即點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)時(shí)，探測器與火星角距離應(yīng)為2=180°1=43°已知某年3月1日零